數(shù)列極限和數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)有答案

1、數(shù)列極限和數(shù)學(xué)歸納法一、 知識(shí)點(diǎn)整理：數(shù)列極限：數(shù)列極限的概念、數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則、常見(jiàn)數(shù)列的極限公式以及無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和要求：理解數(shù)列的概念，掌握數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則和常見(jiàn)數(shù)列的極限，掌握公比當(dāng)時(shí)無(wú)窮等比數(shù)列前項(xiàng)和的極限公式及無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式，并用于解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。1、理解數(shù)列極限的概念：等數(shù)列的極限2、極限的四則運(yùn)算法則：使用的條件以及推廣3、常見(jiàn)數(shù)列的極限：4、無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和：數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法原理，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式和整除性問(wèn)題，會(huì)利用“歸納、猜想和證明”處理數(shù)列問(wèn)題（1）、證明恒等式和整除問(wèn)題（充分運(yùn)用歸納、假設(shè)，拆項(xiàng)的技巧，如證明能被64整除，），證

2、明的目標(biāo)非常明確；（2）、“歸納猜想證明”，即歸納要準(zhǔn)確、猜想要合理、證明要規(guī)范，這類題目也是高考考察數(shù)列的重點(diǎn)內(nèi)容。二、 填空題1、 計(jì)算：=_3_。2、 有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為 .3、4、 數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則=_.5、 設(shè)是公比為的等比數(shù)列，且，則3 6、 在等比數(shù)列中，已知，則_.7、 數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則 =_ .8、已知數(shù)列是無(wú)窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和是，若， 則的值為 . 9、設(shè)數(shù)列滿足當(dāng)（）成立時(shí)，總可以推出成立下列四個(gè)命題：（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則其中正確的命題是 （2）（3） （4） .（填寫你認(rèn)為正確

3、的所有命題序號(hào)）10、將直線：，：，：（，）圍成的三角形面積記為，則_11、 在無(wú)窮等比數(shù)列中，所有項(xiàng)和等于2， 12、設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為q，若，則q=_13、 已知點(diǎn)，其中為正整數(shù)，設(shè)表示的面積，則_2.5_14、 下列關(guān)于極限的計(jì)算，錯(cuò)誤的序號(hào)_（2）_（1）=（2）（+）=+=0+0+0=0（3）（n）=；（4）已知=（15）已知是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意，滿足，記，其中考察下列結(jié)論：；是上的偶函數(shù)；數(shù)列為等比數(shù)列；數(shù)列為等差數(shù)列.其中正確結(jié)論的序號(hào)有 二、選擇題：16、已知,若，則的值不可能是 （ （D） ）（A） . （B）. （C）. （D）. 17、若存在，

4、則的取值范圍是 （ （A） ）（A）或 ；（B）或；（C）或 ；（D）觀察下列式子：，可以猜想結(jié)論為(C) ) .(A) ；(B) (C) ；(D) 19、已知，是數(shù)列的前n項(xiàng)和（ (A） ）(A） 和都存在 ； (B) 和都不存在 。 (C) 存在，不存在 ； (D) 不存在，存在。20、設(shè)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為，則的為（ (A） ） （A） （B） （C） 0 （D）1三、綜合題：21、在數(shù)列中，。（1）求（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論。(1) ;(2) 22、已知數(shù)列滿足，雙曲線。（1）若，雙曲線的焦距為，求的通項(xiàng)公式；（2）如圖，在雙曲線的右支上取點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線

5、，在第一象限內(nèi)交的漸近線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，記的面積為。若，求。（關(guān)于數(shù)列極限的運(yùn)算，還可參考如下性質(zhì)：若，則。）29.（1）；（2）數(shù)列綜合題1. 定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“三角形”數(shù)列對(duì)于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，.(1)已知是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍；(2)已知數(shù)列的首項(xiàng)為2010，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列。 解：(1)顯然，對(duì)任意正整數(shù)都成立，即是三角形數(shù)列 因?yàn)閗>1，顯然有，由得，解得.所以當(dāng)時(shí)，是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”.

6、 (2) 由得,兩式相減得所以，經(jīng)檢驗(yàn)，此通項(xiàng)公式滿足 顯然，因?yàn)椋?是“三角形”數(shù)列 2. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（為正整數(shù)）. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，若對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，求的取值范圍?（3）已知集合，若以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列前n項(xiàng)和記為，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)于任意的.若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.23(1) 由題意知，當(dāng)時(shí)， 兩式相減變形得: 又時(shí)， ，于是 1分 故 是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列 4分(2) 由 得 = 5分當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，是的增函數(shù)， 于是，故 7分當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，是的減函數(shù)， 因?yàn)椋蔾19分綜上所述，k的取值范圍是 10分（3）

7、當(dāng)，若此不等式組的解集為空集.即當(dāng)a. 13分當(dāng)而是關(guān)于n的增函數(shù).且 15分因此對(duì)任意的要使解得18分3. 已知拋物線，過(guò)原點(diǎn)作斜率為1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，再過(guò)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，如此繼續(xù)。一般地，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)（1）求的值；（2）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3） 記 為點(diǎn)列 的極限點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）直線 的方程為，由解得，1分直線的方程為，即由得，2分直線的方程為，即由解得，所以 3分（2）因?yàn)?，由拋物線的方程和斜率公式得到5分 所以，兩式相減得 6分用代換得， 由（1）知，當(dāng)時(shí)，上式成立，所以是等比數(shù)列，通

8、項(xiàng)公式為 7分（3）由 得，8分 以上各式相加得10分所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為 12分4、 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)，且（1）證明：是等比數(shù)列；（2）若，中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項(xiàng)，若不存在說(shuō)明理由（3）若是遞增數(shù)列，求的取值范圍32 證明：（1）因?yàn)?，所以?shù)列是等比數(shù)列；3分（2）是公比為2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列通項(xiàng)公式為， 4分若中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，則必有，即解得，即成等差數(shù)列7分（3）如果成立，即對(duì)任意自然數(shù)均成立化簡(jiǎn)得 9分當(dāng)為偶數(shù)時(shí),因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以，即；10分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，,因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，即；11分故的取值范圍為12分5、 已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且

9、，其中.（1）求證：成等差數(shù)列；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足，且為其前項(xiàng)和，求證：對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立.證：（1）當(dāng)當(dāng) （2分）當(dāng)當(dāng) （4分）由此可得：成等差數(shù)列. （5分） （2）當(dāng)由故即 （7分）從而因此,故數(shù)列是等差數(shù)列. （10分）6、 已知數(shù)列、的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意，都有，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，（1） 求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式。7、 在數(shù)列中，已知，前項(xiàng)和為，且.（其中）。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求。（1）因?yàn)椋?，得，所以；?2分）（或者令，得）當(dāng)時(shí)， ，推得，（5分）又，所以當(dāng)時(shí)也成立，所以，（）（ 6分）（2）=（ 9分）8、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，N*（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知（N*），記(且)，是否存在這樣的常數(shù)，使得數(shù)列是常數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解】（1），所以1分由得時(shí)，2分兩式相減得，3分?jǐn)?shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以（）5分（2）由于數(shù)列是常數(shù)列=6分為常數(shù)7分只有,8分；解得,9分此時(shí)10分9、已知有窮數(shù)列各項(xiàng)均不相等，將的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列，稱為的“序數(shù)列”例如數(shù)列：滿