微積分在積分不等式證明中的應用

1、13屆分類號: 單位代碼:10452畢業(yè)論文（設計）微積分在積分不等式證明中的應用2013年3月20日摘要不等式是數(shù)學研究的一個基本問題,是初等數(shù)學的重要內容.積分不等式是含有未知函數(shù)積分的不等式，是不等式的一個重要類型.微積分是高等數(shù)學的核心，微積分思想方法是高等數(shù)學乃至整個數(shù)學的典型方法.微積分思想方法的引入可以為解決積分不等式證明的難題找到了突破口.本文在歸納和總結了幾種的證明積分不等式的方法，主要是利用Lagrange中值定理、Taylor公式、函數(shù)的單調性、函數(shù)的凹凸性一些微分知識和定積分的性質、Schwarz不等式、重積分法、積分中值定理一些積分知識探究了積分不等式的證明方法這些方

2、法突出了微積分的基本思想和基本方法，運用這些方法和技巧能夠使積分不等式的求解過程更為簡單.關鍵詞：微積分；積分不等式；證明方法；應用ABSTRACTInequality is a fundamental problem in the study of mathematics,and the important content of Elementary Mathematics.Integral inequality,one of the important inequality,contains integral with unknown functions. Calculusis the h

3、eart of higher mathematics, whose thought and method are the typical means to solve the problem in higher mathematics and even the whole mathematics.Calculus thought is introduced tofound the breakthrough to solve the problem of integral inequalitys proof.The paper concludes and summarizes some comm

4、on methods relatedto prove integral inequality,which are based on some knowledge about differential such as Lagrange mean value theorem,Taylor formula,properties of function,and some knowledge about integral, for instance ,integral quality, Schwarz inequality,integral method and the integral mean va

5、lue theorem.These methods highlight the basic idea and method of the differential and integral calculus, which make the computation of integral inequality easier.Key words: calculus; integral inequality; the method of proof;application目錄1 引言12 預備知識12.1 微分的基本概念及運算法則12.2 定積分的基本概念及性質22.3 積分不等式33 微積分在積分

6、不等式中的應用43.1 微分證明積分不等式43.2積分證明積分不等式11結論18參考文獻19致謝201 引言微積分是數(shù)學中的重要部分，是微分學和積分學的總稱.微積分是一種比較深刻的數(shù)學思想，是研究函數(shù)的性質，證明不等式，求曲線的斜率的常用工具微積分的應用為解決很多數(shù)學問題提供了新的方法.積分不等式的證明方法有很多，微積分在不等式證明中也發(fā)揮著至關重要的作用，靈活地運用微積分的性質及相關定理是解決很多積分不等式證明問題的關鍵本文在微積分知識的基礎之上，歸納和總結了幾種的證明積分不等式的方法，主要是利用Lagrange中值定理、Taylor公式、函數(shù)的單調性、函數(shù)的凹凸性、定積分的性質、Schwa

7、rz不等式、重積分法、積分中值定理探究積分不等式的證明方法這些方法突出了微積分的基本思想和基本方法，運用這些方法和技巧能夠使積分不等式的求解過程更為簡單突出了微積分的基本思想和基本方法，運用這些方法和技巧能夠使積分不等式的求解過程更為簡單 2 預備知識2.1微分的基本概念及運算法則定義2.1.17設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，當自變量在處有增量仍在該鄰域內，相應地函數(shù)有增量，如果與之比當時，極限存在，那么這個極限值稱為函數(shù)在點的導數(shù)，并且說，函數(shù)在點處可導，記作，即如果極限不存在，就說函數(shù)在點處不可導如果固定，令，則當時，有，故函數(shù)在處的導數(shù)也可表示為設函數(shù)與在點處可導,則有如下求導法則:(1

8、)；(2)；(3)（）特別地,當(為常數(shù))時,有定義2.1.27 若函數(shù)在點處的改變量可以表示成，其中為比高階無窮小，則稱函數(shù)在點處可微，并稱其線性主部為函數(shù)在點處的微分，記為或，即且有，這樣因為函數(shù)的微分等于導數(shù)乘以，所以根據(jù)導數(shù)的運算法則，就能得到相應的微分運算法則若函數(shù)與可微，則(1)，其中是常數(shù)；(2)；(3)；(4).2.2定積分的基本概念及性質定義10設函數(shù)在上有定義,任取分點，分為個小區(qū)間記.再在每個區(qū)間上任取一點，作乘積的和式：，如果時，上述極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為，其中稱為被積函數(shù)，為被積式，為積分變量，為積分區(qū)間，分別稱為積分的下限和上限從定積分的

9、定義出發(fā)可得如下的性質性質10若與在閉區(qū)間上可積,若，則.性質2.2.210若在在上可積，則在上也可積，且.性質2.2.310若，則.引理2.2.110 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又是的任一個原函數(shù)，則有(2.2.1)公式(2.2.1)叫做牛頓-萊布尼茨公式2.3積分不等式不等式是數(shù)學中的重要內容之一，是求解許多數(shù)學問題的有效工具。積分不等式是含有未知函數(shù)積分的不等式，是不等式的一個重要類型。積分不等式除了能用來解決一些關于不等量的實際問題，對研究函數(shù)的定義域和值域也有廣泛的應用考慮齊次變系數(shù)線性微分方程組， （）其中X是n維向量，是上的階連續(xù)的矩陣函數(shù)。盡管這個微分方程組求解十分困難，但是可以做

10、到下面的估計。由（）可以推出不等式， （）從這個不等式可以得到方程（）的解的模的估計.不等式（）就是積分不等式的最基本的形式.3 微積分在積分不等式中的應用不等式是數(shù)量之間大小的比較，而通過比較可以顯示出變量變化之間相互制約的關系因此，從某種意義上來講, 積分不等式也不例外.在數(shù)學分析中積分比等式的尤為重要許多的積分不等式在數(shù)學分析中都起到了至關重要的作用所以對積分不等式的研究無論是實際應用，還是理論分析都有重要的意義3.1微分證明積分不等式微分在積分不等式中的應用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調性、極值、最值、凸函數(shù)法等來證明積分不等式以下對這些方法分別做詳細的介紹.3.1.1L

11、agrange中值定理證明積分不等式引理.110(Lagrange中值定理) 如果函數(shù)，滿足下列條件:(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內可導，則在區(qū)間內至少存在一點，使得由于在之間，因此將有一個取值范圍，即有一個取值范圍，這樣就得到了一個不等式因此，可利用在區(qū)間內的特點證明積分不等式例.1 若函數(shù)在上具有連續(xù)的導數(shù)，且.試證明.證由于 ，記.由Lagrange中值定理知，其中，.，其中，.因此；.從而，即.例.2 設函數(shù)在上具有連續(xù)的導數(shù)，且，證明：.證 由Lagrange中值定理知，其中；，其中.所以；.因此 .例.3 設在上可導，且，求證：.證 由Lagrange中值定理知.其中又，故

12、.則.3.1.2Taylor公式證明積分不等式引理.110(Taylor中值定理） 如果函數(shù)中含有的某個開區(qū)間內具有直到階的導數(shù)，對意有 （.1）其中， （.2）這里是與之間的某個值公式（.1）稱為按的冪展開的帶有Lagrange型余項的階Taylor公式，而表達式（）稱為Lagrange型余項利用泰勒公式證明積分不等式的一般方法是將函數(shù)在所給區(qū)間的端點或特定點（如區(qū)間的中點、零點）展開，通過分析余項在點的性質，從而得到結果例.1 設函數(shù)在上具有連續(xù)的二階導數(shù)，,令，證明.證 對，由Taylor公式知注意到，因此有，移項，整理得.例.2 設函數(shù)在上具有連續(xù)的二階導數(shù)，且，證明：.

13、證由Taylor公式知，對，將在處展開，得，.由 ，有.故命題成立.例.3 設函數(shù)在上具有二階連續(xù)的導數(shù)，且，記，試證明：.證 將在點Taylor展開，并注意到.得，因此.故.3.1.3函數(shù)的單調性證明積分不等式單調函數(shù)是一類很重要的函數(shù)，常在積分不等式證明中使用，運用導數(shù)可以判斷出函數(shù)的單調性.引理10設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導.（1）如果在內，那么函數(shù)在上單調遞增；（2）如果在內，那么函數(shù)在上單調遞減.利用函數(shù)的增減性證明積分不等式的步驟為：（1）通過恒等變換(形)構造合適的輔助函數(shù)（構造輔助函數(shù)一般的方法是，直接將不等號右端項移至不等號左端，令不等號右端為零，左端即為所求的輔

14、助函數(shù)）；（2）求在所給區(qū)間上的一階導數(shù)，然后判別一階導數(shù)在此區(qū)間上的符號；（3）有時需要求在所給區(qū)間端點的函數(shù)值或極限，以便作出比較，即可得到所要證明的結果例 設在上連續(xù)，且單調遞減，.求證對滿足的任何，有.證令，由題意可知.因此在上單調遞增，從而.即.例.2設在上連續(xù)，且單調遞增，證明證構造輔助函數(shù)，顯然，對任意的，有，其中因為單調遞增，則，故單調遞增，因此.故例.3 設，和它們的平方在區(qū)間上可積，證明不等式（Schwarz不等式）.證 構造函數(shù)令，則當時，.于是可知單調不減，又，所以.即得證.3.1.4函數(shù)凹凸性證明積分不等式定義10設在區(qū)間上有定義,若對上的

15、任意任意兩點和任意實數(shù)恒有，則稱在上是凸函數(shù).反之，如果總有，則稱在上是凹函數(shù)如果函數(shù)在內具有二階導數(shù),那么就能利用二階導數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性.下面就是曲線凹凸性的判定定理.引理10 設在區(qū)間上二階可導,那么(1)若在上,則在上為凸函數(shù)；(2)若在上,則在上為凹函數(shù).例 設是上連續(xù)的凸函數(shù)，即對,，及，有.試證明：.證.從而得左不等式，下證右不等式，有，從而 .兩邊積分得.于是得右不等式.故命題成立.3.2 積分證明積分不等式3.2.1定積分性質證明積分不等式運用定積分的性質證明積分不等式是比較簡單的做法，在解某些積分不等式時，能得出良好的結果例.1 若函數(shù)在

16、上連續(xù)，且，求證：.證將區(qū)間進行n等分，并設，.于是， .利用在是凹函數(shù)，則.即 .由假設條件知，與在上都連續(xù)，因此可積，在上式中令，則由定積分定義及的連續(xù)性可得：.故.例.2 已知在上連續(xù)，對任意的x,y都有.求證：證 由于 因此.故命題成立.不等式證明積分不等式引理.111（Schwarz不等式）若函數(shù)在區(qū)間上皆可積，則.例.1 設函數(shù)在上連續(xù)，且，試證明：.證由Schwarz不等式知，.同理可得.因此 .例.2設，試證明：.證作變換，則.由Schwarz不等式可得.故結論成立.例.3 試證明：.證 由Schwarz不等式得.即積分不等式的右半邊為真.下證積分不等式的左半邊為真.因為，所以

17、，積分便得.綜上，命題得證.3.2.3 重積分證明積分不等式當積分不等式中出現(xiàn)兩個積分，可以將兩個積分的積分變量換成不同符號，即化為二重積分，從而再求出結果.例.1 設在上連續(xù)，且，證明：.證 記,且,兩式相加，得，其中，即.例.2設函數(shù)是上單調遞減且恒大于0的連續(xù)函數(shù)，求證：.證 令同理 兩邊相加整理得：.由于且在上單調遞減，因此，從而 ，故命題得證.3.2.4積分中值定理證明積分不等式引理.111（積分第一中值定理） 若在上連續(xù)，則至少存在一點，使得.引理.211（推廣的積分第一中值定理） 若與都在上連續(xù)，且在上不變號，則至少存在一點，使得.引理.311（積分第二中值定理） 設函數(shù)在上可積

18、.（i）若函數(shù)在上遞減，且，則存在，使得；（ii）若函數(shù)在上遞增，且，則存在，使得.引理.411（推廣的積分第二中值定理） 設函數(shù)在上可積.若為單調函數(shù)，則存在，使得.例.1 設在上連續(xù)且單調遞增，求證：.證1（推廣的積分第一中值定理）因為.又，其中，.故 .證2（推廣的積分第二中值定理）因為單調，由積分第二中值定理得,其中.而 ,.又因為單調遞增，故.例.2設函數(shù)在上有定義，而且單調不減，證明：對于任何有.證（推廣的積分第一中值定理）對任意，由，得.函數(shù)在上有定義，且單調不減，即是說在連續(xù).從而,其中，再在上有定義，且單調不減，而，于是，即.結 論積分不等式是數(shù)學中的重要內容之一，論證積分不

19、等式的方法很多，利用微積分的思想證明積分不等式, 可使積分不等式的證明過程大大簡化, 技巧性降低；同時能夠體現(xiàn)高等數(shù)學對初等數(shù)學的指導作用本文著重介紹用微積分知識證明積分不等式的幾種常用方法，常見的方法有Lagrange中值定理，Taylor公式，函數(shù)的單調性，函數(shù)的凹凸性，定積分的性質，Schwarz不等式,重積分法，積分中值定理這些方法能夠使積分不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解參 考 文 獻1Wilfred Kaplan.Advanced CalculusM. (Fifth Edition)China:Publishing House ofElectronics Industry,2004.2JamesStewart.CalculusM. (Fifth Edition)China:Higher Education Press,2004.3Marvin L.Bittinger.Calculus and Its ApplicationsJ.China Machine Press,2006,19:135-145.4PCalabrese. Calculus and Its Applications J.AmerMathMonthly,1999,20:215-217.