數(shù)學(xué)——高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測試

1、2011年高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測試（華約）數(shù)學(xué)注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設(shè)復(fù)數(shù)z滿足且，則（A）（B）（C）（D）【答案】D解：由得，已經(jīng)轉(zhuǎn)化為一個實數(shù)的方程。解得|z| =2（舍去），。2在正四棱錐P-ABCD中，M，N分別為PA，PB的中點，且側(cè)面與地面所成二面角的正切值為。則一面直線DM與AN所成交角的余弦值為（A）（B）（C）（D）【答案】B分析本題有許多條件，可以用

2、“求解法”，即假設(shè)題中的一部分要素為已知，利用這些條件來確定其余的要素。本題中可假設(shè)底面邊長為已知（不妨設(shè)為2），利用側(cè)面與底面所成二面角可確定其他要素，如正四棱錐的高等。然后我們用兩種方法，一種是建立坐標(biāo)系，另一種是平移其中一條線段與另一條在一起。解法一：如圖，設(shè)底面邊長為2，則由側(cè)面與底面所成二面角的正切為得高為。如圖建立坐標(biāo)系zONMDCBAPyx，則A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，)，則，。設(shè)所成的角為，則。解法二：如圖，設(shè)底面邊長為2，則由側(cè)面與底面所成二面角的正切為得高為。平移DM與AN在一起。即M移到N，D移到CD的中點

3、Q。于是QN = DM = AN。而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN = ，而AQ = ，容易算出等腰AQN的頂角。解法三：也可以平移AN與DM在一起。即A移到M，N移到PN的中點Q。以下略。3過點的直線與曲線相切，且不是切點，則直線的斜率是（A）2（B）1（C）（D）【答案】C4若，則的最小值和最大值分別為（A）（B）（C）（D）【答案】B分析首先盡可能化簡結(jié)論中的表達(dá)式，沿著兩個方向：降次：把三角函數(shù)的平方去掉；去角：原來含兩個角，去掉一個。解：，可見答案是BB A O1 O O2 C 5如圖，O1和O2外切于點C，O1，O2又都和O內(nèi)切，切點分別為A，B。，則 （A）

4、（B）（C）（D）【答案】B分析題目中的條件是通過三個圓來給出的，有點眼花繚亂。我們來轉(zhuǎn)化一下，就可以去掉三個圓，已知條件變?yōu)椋篛 O1 O2邊O1 O2上一點C，O O1、O O2延長線上分別一點A、B，使得O1A = O1C，O2B = O2C。解法一：連接，C在上，則，故，。解法二：對于選擇填空題，可以用特例法，即可以添加條件或取一些特殊值，在本題中假設(shè)兩個小圓的半徑相等，則，。6已知異面直線所成60°角，A為空間中一點，則過A與都成45°角的平面（A）有且只有一個（B）有且只有兩個（C）有且只有三個（D）有且只有四個【答案】D分析已知平面過A，再知道它的方向，就可以

5、確定該平面了。因為涉及到平面的方向，我們考慮它的法線，并且假設(shè)a，b為相交直線也沒關(guān)系。于是原題簡化為：已知兩條相交直線a，b成60°角，求空間中過交點與a，b都成45°角的直線。答案是4個。7已知向量，。則 的最小值為（A）1 （B）（C） （D）2【答案】B解：由得由于，可以用換元法的思想，看成關(guān)于x，y + z，y - z三個變量，變形，代入，答案B8AB過拋物線焦點F的弦，O為坐標(biāo)原點，且，C為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點，則的正切值為（A）（B）（C）（D）【答案】A解法一：焦點F（1，0），C（-1，0），AB方程y = x 1，與拋物線方程y2 = 4x聯(lián)立，解得，

6、于是，答案A解法二：如圖，利用拋物線的定義，將原題轉(zhuǎn)化為：在直角梯形ABCD中，BAD = 45°，EFDA，EF = 2，AF = AD，BF = BC，求AEB。BGCEDAF。類似的，有，答案ABACDEF9如圖，已知ABC的面積為2，D，E分別為邊AB，邊AC上的點，F(xiàn)為線段DE上一點，設(shè)，且，則BDF面積的最大值為（A）（B）（C）（D）【答案】D解：，于是。將，暫時將x看成常數(shù)，欲使yz取得最大值必須，于是，解這個一元函數(shù)的極值問題，時取極大值。10將一個正11邊形用對角線劃分為9個三角形，這些對角線在正11邊形內(nèi)兩兩不相交，則（A）存在某種分法，所分出的三角形都不是銳角

7、三角形 （B）存在某種分法，所分出的三角形恰有2個是銳角三角形（C）存在某種分法，所分出的三角形至少有3個銳角三角形 （D）任何一種分法所分出的三角形都恰有1個銳角三角形【答案】D解：我們先證明所分出的三角形中至多只有一個銳角三角形。如圖，假設(shè)ABC是銳角三角形，我們證明另一個三角形DEF(不妨設(shè)在AC的另一邊)的(其中的邊EF有可能與AC重合)的D一定是鈍角。事實上，D ADC，而四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，所以ADC = 180°-B，所以D為鈍角。這樣就排除了B，C。FEDBCA下面證明所分出的三角形中至少有一個銳角三角形。DBCA假設(shè)ABC中B是鈍角，在AC的另一側(cè)一定還有

8、其他頂點，我們就找在AC的另一側(cè)的相鄰(指有公共邊AC) ACD，則D = 180°-B是銳角，這時如果或是鈍角，我們用同樣的方法繼續(xù)找下去，則最后可以找到一個銳角三角形。所以答案是D。二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。11（本小題滿分14分）已知ABC不是直角三角形。（I）證明：；（II）若，且的倒數(shù)成等差數(shù)列，求的值。解：（I），整理得（II）由已知，與（I）比較知。又，而，代入得， ，12（本小題滿分14分）已知圓柱形水杯質(zhì)量為a克，其重心在圓柱軸的中點處（杯底厚度及重量忽略不計，且水杯直立放置）。質(zhì)量為b克的水恰好裝滿水杯，裝滿水后的水杯的重心還在圓柱軸的中

9、點處。（）若，求裝入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距離與水杯高的比值；（）水杯內(nèi)裝多少克水可以使裝入水后的水杯的重心最低？為什么？解：不妨設(shè)水杯高為1。（I）這時，水杯質(zhì)量 ：水的質(zhì)量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我們用位置指到水杯底面的距離）為，水的重心位置為，所以裝入半杯水的水杯的重心位置為(II) 當(dāng)裝入水后的水杯的重心最低時，重心恰好位于水面上。設(shè)裝x克水。這時，水杯質(zhì)量 ：水的質(zhì)量 = a ：x。水杯的重心位置為，水的重心位置為，水面位置為，于是，解得13（本小題滿分14分）已知函數(shù)，令，。（）求數(shù)列的通項公式；（）證明：。解：由(I)先求出，猜想。用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n = 1

10、顯然成立；假設(shè)n = k顯然成立，即，則，得證。(II) 我們證明。事實上，。我們注意到，于是14（本小題滿分14分）已知雙曲線（），分別為C的左、右焦點，P為C右支上一點，且使，又F1PF2的面積為。（）求C的離心率e；（）設(shè)A為C的左頂點，Q為第一象限內(nèi)C上的任意一點，問是否存在常數(shù)，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：如圖，利用雙曲線的定義，將原題轉(zhuǎn)化為：在P F1 F2中，E為PF1上一點，PE = PF2，E F1 =2a，F(xiàn)1 F2 = 2c，求。設(shè)PE = PF2 = EF2 = x，F(xiàn) F2 = ， ，。E F1 F2為等腰三角形，于是，。15（本小題滿分1

11、4分）將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示未出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率。（）求和；（）探究數(shù)列的遞推公式，并給出證明；（）討論數(shù)列的單調(diào)性及其極限，并闡述該極限的概率意義。解答：（1），。（）如果第n次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面是等價的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率是；如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面是等價的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率是；如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)3次正面是等價的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率是。如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，那么已經(jīng)出現(xiàn)連續(xù)3次正面，所以不需要考慮。綜上，有（）。其中，。我們先定義幾個函數(shù)：f(n)：將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，至少有連續(xù)3次相同，總共有f(n)種情況。g(n)：將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，至多連續(xù)2次相同（可以有不同的連續(xù)2次相同），且最后2次連續(xù)相同，總共有g(shù)(n)種情況。h(n)：將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲