選修2-1 3.1.4《空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示》教案

1、.3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計(jì)鎮(zhèn)海中學(xué) 陳科鈞一、教材分析本節(jié)課是普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)?選修2-1中第三章空間向量與幾何體：第一節(jié)“空間向量及其運(yùn)算的第四課時(shí)；空間向量是平面向量的推廣，是近代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，是聯(lián)絡(luò)代數(shù)、幾何、三角的重要橋梁，為用空間向量解決立體幾何問題做好鋪墊，同時(shí)通過不斷與平面向量的正交分解及根本定理進(jìn)展類比學(xué)習(xí)，不斷將三維空間問題向二維平面問題轉(zhuǎn)化，充分表達(dá)了類比與轉(zhuǎn)化思想在研究問題過程中的作用。二、教學(xué)目的1.理解空間向量根本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，并會(huì)選用空間三個(gè)不共面向量作為基底表示其他向量。2.通過類

2、比，轉(zhuǎn)化，歸納，推廣等思想，進(jìn)步觀察、分析、抽象概括的才能,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。3.通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的積極探究，合作學(xué)習(xí)，不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。三、學(xué)情分析學(xué)生在這之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第二章：點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系以及第四章第四節(jié)：空間直角坐標(biāo)系。已經(jīng)掌握了平面向量的相關(guān)知識(shí)，空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，同時(shí)體會(huì)到平面向量與空間向量的高度和諧性。但同時(shí)學(xué)生對(duì)向量的推廣到空間還缺乏深化的考慮，思維還具有片面性、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，對(duì)問題解決的一般性過程認(rèn)識(shí)還不到位。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：理解空間向量根本定理及其意義；掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

3、。難點(diǎn)：理解平面向量根本定理及其意義及其證明過程任意性、唯一性、任意性。五、教學(xué)策略 1.教法分析為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，采用問題引入，啟發(fā)誘導(dǎo)、類比探究的形式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，使學(xué)生在解決問題的同時(shí)，形成一般性的方法，另外恰當(dāng)運(yùn)用多媒體技術(shù)輔助教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)步課堂效率。2.學(xué)法分析讓學(xué)生通過觀察、分析、類比，合作、總結(jié)、歸納，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題、解決問題的才能，培養(yǎng)不斷創(chuàng)新、追求精益求精的“工匠精神。六、教學(xué)過程一復(fù)習(xí)引入開門見山微課復(fù)習(xí)：微課展示共線向量、共面向量的表示方法，提出探究的問題“空間任一向量如何來表示飛機(jī)PO師生活動(dòng)：假設(shè)某一時(shí)刻我們對(duì)空中的一架

4、飛機(jī)進(jìn)展定點(diǎn)監(jiān)測，如圖，提出向量此時(shí)能否被向量表示出來？生：學(xué)生會(huì)說不可以.師：追問要想把此時(shí)飛機(jī)P定位，既向量表示出來，那我們需要如何改進(jìn)呢？ 生：再添加一個(gè)向量.師：怎樣添加？在地平面上任意取一個(gè)可以嗎？生：不可以，向量必需與向量不在同一平面.師：換句話說，向量有什么約束條件?生：既不共面的三個(gè)設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)共線向量、平面向量的表示，引導(dǎo)學(xué)生類比到空間向量的表示；達(dá)成兩點(diǎn)共識(shí)：可以表示；需要三個(gè)不共線的向量。二獨(dú)立作圖，分組探究，生成定理，定理運(yùn)用1獨(dú)立作圖嘗試1：如圖1，在長方體中，請(qǐng)標(biāo)出表示的向量.嘗試2：如圖2，是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，且有公共起點(diǎn)O，請(qǐng)你通過作圖,嘗試用向量表

5、示向量.圖2圖1師生活動(dòng)：通過這兩個(gè)問題的解決，啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生，當(dāng)我們選三個(gè)兩兩垂直的向量去表示任意向量時(shí)，我們總是可以找到一個(gè)長方體，把放在以O(shè)為起點(diǎn)的三條側(cè)棱上，把放在體對(duì)角線上.設(shè)計(jì)意圖：通過作圖嘗試，使學(xué)生直觀的體會(huì)，并能用長方體模型處理，為一般情況的提出做好鋪墊.2小組探究問題1假如用任意三個(gè)不共面的向量代替兩兩垂直的向量，你覺得能得出怎么樣的結(jié)論？問題2根據(jù)問題1的一般方法，及類比平面向量根本定理，請(qǐng)你嘗試給出空間向量根本定理該如何表述？，同時(shí)指出空間向量根本定理與平面向量根本定理的區(qū)別問題3你覺得空間向量的根本定理有哪些注意點(diǎn)，改如何證明任意性、存在性、唯一性師生活動(dòng)：老師先將學(xué)

6、生分成假設(shè)干組，每組假設(shè)干人；學(xué)生分組探究，組內(nèi)每個(gè)學(xué)生發(fā)表自己的意見，由一名同學(xué)負(fù)責(zé)記錄，每組再推選一名代表準(zhǔn)備發(fā)言；在學(xué)生充分討論的前提下，老師選定一個(gè)小組展示探究結(jié)果，如何將空間任意向量用給定的三個(gè)不共面向量表示作出分解圖形：平行六面體模型；并且引導(dǎo)學(xué)生給出嚴(yán)謹(jǐn)、完好的證明；設(shè)計(jì)意圖：分組討論探究，使每個(gè)學(xué)生經(jīng)歷利用給定的三個(gè)不共面向量，表示空間任意向量的一般化過程，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)從抽象到詳細(xì)，從模糊到明晰。3生成定理在解決問題1的前提下，類比平面向量根本定理，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)空間向量根本定理；并且觀察、分析它們之間的區(qū)別與聯(lián)絡(luò)：注意聯(lián)絡(luò)有：1空間向量根本定理是平面向量根本定理的

7、推廣，平面向量根本定理是空間向量根本定理的特殊情況2解決空間向量問題可轉(zhuǎn)化為平面向量問題；主要區(qū)別：1基底向量的個(gè)數(shù)不同，2幾何背景不同，3表達(dá)形式不同。在得到空間向量根本定理后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解基底選取的任意性問題用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，在基底確定的情況下，任意向量表示的存在性問題與唯一性問題；設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)兩個(gè)定理的類比探究，小組討論，小組展示，通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)完成對(duì)概念的辨析，從而到達(dá)共識(shí)，打破本節(jié)課的難點(diǎn)4定理運(yùn)用例 假設(shè)9月3日大閱兵現(xiàn)場有兩個(gè)地面測定點(diǎn)A、B和一個(gè)高空測定點(diǎn)C來測定空中直升機(jī)編隊(duì)每架飛機(jī)的詳細(xì)位置.O為長安街上一固定位置，O、A、B三點(diǎn)不共線.假設(shè)2號(hào)直升機(jī)恰

8、好位于的重心位置，試用向量表示.變式1：假設(shè)在平面內(nèi),試用表示師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解決，學(xué)生上臺(tái)展示解題想法，老師選擇學(xué)生答復(fù)以下問題，并聆聽和鼓勵(lì).設(shè)計(jì)意圖：通過解決一個(gè)詳細(xì)的問題，穩(wěn)固空間三個(gè)不共面向量作為基底表示表示其他向量的一般化過程，同時(shí)以生活實(shí)例為背景表達(dá)了向量在實(shí)際生活的工具性作用，進(jìn)步學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，變式的作業(yè)主要為了照應(yīng)書本P88的問題2，同時(shí)為接下來解決詳細(xì)的立體幾何問題做鋪墊。三坐標(biāo)表示1.播放微課：展示單位正交基底，類比平面向量的坐標(biāo)表示，給出空間向量的坐標(biāo)表示，并給出當(dāng)向量的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)向量的終點(diǎn)P坐標(biāo)即為.2.坐標(biāo)運(yùn)用：變式2：假設(shè)是一組單位正交基底，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.假設(shè)2號(hào)直升機(jī)恰好位于的重心位置G，那么向量的坐標(biāo)是多少？設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例操作，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問題向量建模的思想，并且與例題前后照應(yīng)，整節(jié)課一個(gè)問題的解決貫穿始終,脈絡(luò)明晰.四 例題講解例2 如圖，正方體中，交平面于G，求證：G是的重心師生活動(dòng)：老師選擇學(xué)生答復(fù)以下問題，學(xué)生共同參與，解決問題.設(shè)計(jì)意圖：通過空間向量根本定理以及平面向量的坐標(biāo)表示，解決一個(gè)實(shí)際的立體幾何問題，為本章學(xué)習(xí)點(diǎn)明重點(diǎn)，體會(huì)空間向量在解決立體幾何問題的重要