2007年考研高數(shù)一真題(附答案)

1、2007年考研數(shù)學(xué)一真題一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi)）（1） 當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是 ( )A. B. C. D.(2) 曲線y= ), 漸近線的條數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.3(3)如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3，-2，2，3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間-2，0，0，2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)F(x)= .則下列結(jié)論正確的是 ( )A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)= (4)設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，下列命

2、題錯(cuò)誤的是 ( )A. 若存在，則f（0）=0 B. 若 存在，則f（0）=0 C. 若 存在，則=0 D. 若 存在，則=0(5)設(shè)函數(shù)f（x）在（0, +）上具有二階導(dǎo)數(shù)，且, 令=f(n)=1,2,.n, 則下列結(jié)論正確的是 ( )A.若，則必收斂 B. 若，則必發(fā)散 C. 若，則必收斂 D. 若，則必發(fā)散(6)設(shè)曲線L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)），過(guò)第象限內(nèi)的點(diǎn)M和第象限內(nèi)的點(diǎn)N,T為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到N的一段弧，則下列小于零的是 ( )A. B. C. D. （7）設(shè)向量組，線形無(wú)關(guān)，則下列向量組線形相關(guān)的是： ( )（A） （B） （C） （D）（8）設(shè)

3、矩陣A=，B=，則A于B ( )(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為： ( )（A）(B) (C) (D) (10) 設(shè)隨即變量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，分別表示X，Y的概率密度，則在Yy的條件下，X的條件概率密度為 ( )（A） (B) (C) (D)二填空題：1116小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上（11） _.（12）設(shè)為二元可微函數(shù)，則_.(13)二階常系數(shù)非齊次線性方程的通解為y_.

4、(14)設(shè)曲面：，則_. (15)設(shè)矩陣A，則的秩為_(kāi).（16）在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為_(kāi).三解答題：1724小題，共86分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(22)設(shè)3階對(duì)稱矩陣A的特征向量值是A的屬于的一個(gè)特征向量,記其中為3階單位矩陣驗(yàn)證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩陣.(23)設(shè)二維變量的概率密度為 求；求的概率密度.(24)設(shè)總體的概率密度為 ,是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是樣本均值求參數(shù)的矩估計(jì)量；判斷是否為的無(wú)偏估計(jì)量,并說(shuō)明理由.2007年考研數(shù)學(xué)一真題解析一、選擇題（本題共1

5、0小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi)）（2） 當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是 (B)A. B. C. D.(2) 曲線y= ), 漸近線的條數(shù)為 (D)A.0 B.1 C.2 D.3(3)如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3，-2，2，3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間-2，0，0，2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)F(x)= .則下列結(jié)論正確的是 (C)A. F(3)= B. F(3)= C. F(3)= D. F(3)= (4)設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是 (C)A. 若存在，則f（0）=

6、0 B. 若 存在，則f（0）=0 C. 若 存在，則=0 D. 若 存在，則=0(5)設(shè)函數(shù)f（x）在（0, +）上具有二階導(dǎo)數(shù)，且, 令=f(n)=1,2,.n, 則下列結(jié)論正確的是(D)A.若，則必收斂 B. 若，則必發(fā)散 C. 若，則必收斂 D. 若，則必發(fā)散(6)設(shè)曲線L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)），過(guò)第象限內(nèi)的點(diǎn)M和第象限內(nèi)的點(diǎn)N,T為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到N的一段弧，則下列小于零的是 (B)A. B. C. D. （7）設(shè)向量組，線形無(wú)關(guān)，則下列向量組線形相關(guān)的是： (A)（A） （B） （C） （D）（8）設(shè)矩陣A=，B=,則A于B， (B)(A) 合同

7、，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為： (C)（A）(B) (C) (D) (10) 設(shè)隨即變量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，分別表示X，Y的概率密度，則在Yy的條件下，X的條件概率密度為 (A)（A） (B) (C) (D)二填空題：1116小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上。（11） .（12）設(shè)為二元可微函數(shù)，則.(13)二階常系數(shù)非齊次線性方程的通解為y. (14)設(shè)曲面：，則. (15)設(shè)矩陣A，則的秩

8、為.（16）在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為.三、解答題：1724小題，共86分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟?！驹斀狻浚骸驹斀狻俊驹斀狻孔C明：設(shè)在內(nèi)某點(diǎn)同時(shí)取得最大值，則，此時(shí)的c就是所求點(diǎn).若兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不同則有設(shè)故有，由介值定理，在內(nèi)肯定存在由羅爾定理在區(qū)間內(nèi)分別存在一點(diǎn)0在區(qū)間內(nèi)再用羅爾定理，即【詳解】(1) 將已知條件中代入到微分方程中，整理即可得到：(2) 解題如下【詳解】：因?yàn)榉匠探M(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組的解.即距陣方程組(3)有解的充要條件為.當(dāng)時(shí)，方程

9、組(3)等價(jià)于方程組(1)即此時(shí)的公共解為方程組(1)的解.解方程組(1)的基礎(chǔ)解系為此時(shí)的公共解為：當(dāng)時(shí)，方程組(3)的系數(shù)距陣為此時(shí)方程組(3)的解為，即公共解為： (22)設(shè)3階對(duì)稱矩陣A的特征向量值是A的屬于的一個(gè)特征向量,記其中為3階單位矩陣驗(yàn)證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩陣.【詳解】：（）可以很容易驗(yàn)證，于是 于是是矩陣B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B與A的關(guān)系得到，即 ， 所以B的全部特征值為2，1，1. 前面已經(jīng)求得為B的屬于2的特征值，而A為實(shí)對(duì)稱矩陣， 于是根據(jù)B與A的關(guān)系可以知道B也是實(shí)對(duì)稱矩陣，于是屬于不同的特征值的特征向量正交，設(shè)B的屬于1的特征向量為，所以有方程如下： 于是求得B的屬于1的特征向量為（）令矩陣，則，所以 (23)設(shè)二維變量的概率密度為 求；求的概率密度.【詳解】：（），其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得 （）