平面向量及其加減運算的教材分析

1、平面向量及其加減運算的教材分析崇明縣實驗中學 郭洪星向量是一個量，它既有大小又有方向。從數(shù)量到向量，是學生認識過程中的一個跨越。為此，在教平面向量及其加減運算這一節(jié)內(nèi)容之前，我曾有一個擔憂：初中學生能接受向量這個抽象的數(shù)學概念嗎？為了回答這個問題，就要首先對學生及教材的地位進行分析。從學生的角度來看，應(yīng)該說學生具有與向量有關(guān)的生活經(jīng)驗，在生活中可以抽象成兩個點的相對位置關(guān)系的實際問題比比皆是，借助于學生熟悉的生活情景可以激發(fā)學生學習向量知識的內(nèi)在動機，調(diào)動每一個學生的學習積極性。從教材地位來看，屬于第二十二章四邊形的幾何內(nèi)容，安排在平行四邊形、梯形的教學內(nèi)容之后。因此，學生在學習向量知識之前已

2、具備四邊形的基礎(chǔ)知識，已具有在學習論證幾何中習得的邏輯思維的方法，已經(jīng)為我們以有向線段為主要工具，以簡單圖形為主要背景的向量知識學習打下了足夠的數(shù)學知識的基礎(chǔ)。為此，無論從學生的生活經(jīng)驗還是從學生已有的知識儲備來看，我們應(yīng)該相信學生能夠?qū)W好平面向量及其加減運算這一節(jié)內(nèi)容。平面向量及其加減運算的主要內(nèi)容：平面向量的概念（包括相等的向量、互為相反的向量、平行向量等系列概念）；平面向量加法與加法的三角形法則、加法的多邊形法則；向量減法和減法的三角形法則；向量加法和減法的平行四邊形法則。平面向量及其加減運算的學習重點是：向量概念及其引入方法；平面向量加法及加法的三角形法則、多邊形法則、平行四邊形法則；

3、平面向量的減法及其減法的三角形法則。平面向量及其加減運算學習的難點是：理解向量的概念、理解向量的加減法法則以及靈活應(yīng)用向量所滿足的運算律。平面向量及其加減運算學習的關(guān)鍵是：充分利用平行四邊形和其他基本圖形，用有向線段畫出表示的相關(guān)向量及其它們的和向量與差向量，在動手操作中直觀感知向量的概念及其加減法的過程與結(jié)論。下面，我就向量概念及其引入、向量的加減法法則以及靈活應(yīng)用向量所滿足的運算律這三個方面談一下自己的教學想法。一、向量概念及其引入上面我們依據(jù)學生的生活經(jīng)驗及已有的知識儲備認為學生能夠?qū)W好向量知識，但向量對學生來講畢竟是一個全新的認知內(nèi)容，而且與學生熟悉的數(shù)量比較又有質(zhì)的不同，為此，在引進

4、向量時要做好足夠的鋪墊，要精心創(chuàng)設(shè)問題情景，要讓學生在問題解決的過程中切身體驗知識的形成過程。課本創(chuàng)設(shè)了“問路”和“指路”的情景，讓學生看到它們的本質(zhì)特征是既有“距離”又有“方向”，獲得對向量的感性認知。在此基礎(chǔ)上，教師要引導學生把“問路”、“指路”等情景抽象成點與點的相對位置關(guān)系的數(shù)學問題，顯然學生在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)只用大小一個要素難以解決以上問題，引起學生在認知上的沖突以往知識不能描述相應(yīng)的問題，在這個時候教材引進了有向線段，滿足了學生學習既有大小又有方向的量向量的需要。因此，有向線段的引入，不僅讓學生感知“距離”和“方向”的幾何表示，同時也使學生獲得對向量的直觀認識。教學時要講解畫有

5、向線段的方法，特別要注意按“比例尺”定線段長度，使學生今后會正確應(yīng)用有向線段表示物理量。但學生在畫有向線段時，不必寫畫法。二、向量的加減法法則 向量的加法可解釋為“向量的合成”，直觀地描述是指“把兩個向量合在一起的運算”?！跋蛄康暮铣伞庇袆e于“數(shù)的合成”，向量有方向，兩個向量“合在一起”必須考慮方向問題。因此，向量的加法對學生來講是一次數(shù)學觀念的突破和提升。為了讓學生獲得對向量加法的直觀體驗，教材以簡明的實際問題導入，結(jié)合圖形對兩個向量相加進行了直觀描述，并在直觀描述的基礎(chǔ)上引進了“和向量”的概念、向量加法的意義及向量加法的法則。值得注意的是：關(guān)于向量加法的合理性，一般不必向?qū)W生解釋，如要說明

6、，主要指出和向量的方向和大小是唯一確定的，與點O位置的選取無關(guān)。這樣的處理符合教材對向量教學的一個基本要求，即在理論方面應(yīng)降低難度，能經(jīng)得起推敲但不要展開。因此，對向量加法的教學，重點放在學生對法則的掌握和運用上。在教加法法則時，要注意講清兩個層次，第一層次是不平行的兩個向量相加，其法則直觀地呈現(xiàn)出“三角形”的特征；第二層次是平行的兩個向量相加，同樣以“第二個向量與第一個向量首尾相接”求和向量，也可以說是依據(jù)三角形法則進行運算。在運用法則時要向?qū)W生強調(diào)我們是用畫圖的方式來求兩個向量的和向量。在向量減法的教學時依然要強調(diào)讓學生親身體驗知識的形成過程。在師生共同參與的操作活動中，理解向量減法的意義

7、，歸納出向量減法的三角形法則及向量的減法轉(zhuǎn)化為加法運算的法則。在運用減法法則作圖時，要強調(diào)兩點：1、是共起點即被減向量與減向量共起點；2、是從終點到終點，且差向量與被減向量共終點。在向量加法法則、向量減法法則教完之后，教師要指導學生結(jié)合圖形觀察和分析兩種運算的三角形法則之間的差別和聯(lián)系。在學習完向量加法法則、向量減法法則后，學生面臨的是向量的加減混合運算。這里教師幫助學生弄清兩點：1、是進行向量加減混合運算時，運算順序的規(guī)定是與數(shù)的運算順序一致；2、是在進行向量加減混合運算時，通常將減法轉(zhuǎn)化為加法，這樣便于利用幾個向量相加的多邊形法則進行作圖。三、靈活應(yīng)用向量所滿足的運算律 向量的加法滿足交換

8、律和結(jié)合律。關(guān)于向量加法的交換律和結(jié)合律，只要求學生確認，課本中沒有呈現(xiàn)“證明”，教學時也不要講證明，可指出我們驗證了向量加法滿足交換律和結(jié)合律。在利用向量運算律化簡算式時，要注意引導學生總結(jié)有關(guān)規(guī)律。1、是把互為相反向量的向量結(jié)合在一起；2、是把首尾相接的向量結(jié)合在一起；3、結(jié)合圖形用一個向量代替與它相等的向量。最后，我想談一下自己教學后的幾點反思：一、在初中進行向量教學，要強調(diào)以簡明的實際問題導入，讓學生在有目的的操作活動中體驗知識的形成過程。課本中向量概念的引入、向量加法意義及向量加法的三角形法則的引入都以簡明的實際問題作為導入，然后鼓勵學生根據(jù)問題的指向進行動手操作，在動手操作的基礎(chǔ)上

9、引入新的概念、歸納總結(jié)出有關(guān)法則。這樣的教學方法，注重學生對知識的感性認識，有利于學生對向量知識的理解和掌握。二、在向量教學中，要注重突出數(shù)學思想和方法的講解。在向量學習中大量涉及“看圖說話”，并由“看圖說話”逐步上升為“讀文畫圖”，這就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的學習方法。教師要有意識地加強文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化的訓練，培養(yǎng)、提高學生數(shù)形結(jié)合的能力。同時，在這一節(jié)的教學過程中多次出現(xiàn)類比的數(shù)學思想。如將向量0與數(shù)0類比、將向量的減法法則與數(shù)的減法法則類比、將向量的混合運算與數(shù)的混合運算類比等等。教師在教學時要注重類比思想的傳授，一方面通過類比實現(xiàn)知識的遷移，另一方面通過類比提高學生主動學習的興趣。三、在向量教學中，要充分利用圖形、尤其是平行四邊形進行學習。向量加法的交換律、向量的減法可轉(zhuǎn)化為向量的加法、向量加法的平行四邊形法則等內(nèi)容都與平行四邊形有密切關(guān)系。大量的問題，如向量的表示、向量的運算都以平行四邊形為圖形展開探究。而學生對平行四邊形的性質(zhì)和判定普遍掌握得較好，這就為教師利用平行四邊形進行向量的教學提供了基礎(chǔ)。事實也證明，借助平行四邊形確實能有效幫助學生的學習。四、在向量教學中，我們清晰地看到：從向量內(nèi)容的呈現(xiàn)方式看，它可用有向線段來表示，它的運算可以用畫圖的方法進行；從向量的定義的角度看，它又是一個既有大小