空間幾何體的外接球與內切球(學生版)

1、空間幾何體的外接球與內切球一、有關定義1 .球的定義：空間中到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫球面，簡稱球2 .外接球的定義：若一個多面體的各個頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球.3 .內切球的定義：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球 .二、外接球的有關知識與方法1 .性質：性質1:過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質2:經過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓；性質3:過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：

2、圓的垂徑定理）；性質4:球心在大圓面和小圓面上的射影是相應圓的圓心；性質5:在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應的圓面的直線相交，交點是球心（類比：在同圓中， 兩相交弦的中垂線交點是圓心）2 .結論：結論1:長方體的外接球的球心在體對角線的交點處，即長方體的體對角線的中點是球心；結論2:若由長方體切得的多面體的所有頂點是原長方體的頂點，則所得多面體與原長方體的外接球相同；結論3:長方體的外接球直徑就是面對角線及與此面垂直的棱構成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對角線與一條高（棱）構成的直角三角形的外接圓是大圓；結論4:圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點處；結論

3、5:圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對角線（外接圓直徑）是球的直徑；結論6:直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結論7:圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結論8:圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結論9:側棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球3 .終極利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求線段長度）；三、內切球的有關知識與方法1 .若球與平面相切，則切點與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結論有一致性）2 .內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.（類比：與多邊形的內切圓）.3

4、 .正多面體的內切球和外接球的球心重合4 .正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合5 .基本方法：（1）構造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺體相關的，此略.10五、八大模型第一講柱體背景的模型方法:找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2 =a2+b2+c2,即 2R = Ja2 +b2 +c2 ,求出 R例1A.（1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4 ,體積為16,則這個球的表面積是（D . 32n（2）若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為J3,則其外接球的表面積是 （3）在正三棱錐 S-ABC中,M、N分別

5、是棱SC、BC的中點，且正三棱錐S-ABC外接球的表面積是 .解：引理：正三棱錐的對棱互相垂直 .證明如下：如圖（3） -1 ,取AB,BC的中點D,E ,連接AE,CD , AE,CD交于H ,連接SH則H是底面正三角形 ABC的中心，SH_L平面 ABC,二 SH_LAB,AM _1_ MN ,若側棱 SA= 2J3 ,則丁 AC =BC , AD =BD ,二 CD _L AB, ，AB_L平面 SCD ,（3）題-i（引理）AB _L SC ,同理：BC ISA, AC .L SB ,即正三棱錐的對棱互垂直，本題圖如圖（3）-2, 丁 AM .L MN , SB/MN ,a AM _L

6、SB, 丁 AC1SB, a SB_L平面 SAC,.SB_LSA, SB ISC, v SB ISA, BC 1 SA,二 SA，平面 SBC,二 SA.L SC,故三棱錐S - ABC的三棱條側棱兩兩互相垂直，（2R）2 =（2"；3）2 十（23）2 +（273）2 =36 ,即 4R2 =36，二正三棱錐（3）題-2 （解答圖）S ABC外接球的表面積是 36n.（4）在四面體SABC中，SA_L平面ABC ,2BAC =120 ：SA = AC =2, AB =1,則該四面體的外接球的表面積為（）A.11-：B.7 二10C. 一二3(5)如果二棱錐的二個側面兩兩垂直，它們

7、的面積分別為(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為何體外接球的體積為40D. ：36、4、3,那么它的外接球的表面積是 _1的等腰直角三角形和邊長為 1的正方形，則兩i類型二、對棱相等模型(補形為長方體)題設：三棱錐(即四面體)中，已知三組對棱分別相等， 求外接球半徑第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；第二步：設出長方體的長寬高分別為a,b,c, AD = BC=x,AB=CD=y, AC=BD=z,列方程組,L 2a也222c =' =(2R)2 =a2 b2 c2a21 .1 .補充：圖 2-1 中，Va_bcd =abcabcM4= abc. 63第三

8、步：根據(jù)墻角模型, 2222.22 x y z2R = . a b c2(AB = CD , AD = BC , AC = BD )A2y2 z28' *x2 y2z28，求出R.例2 (1)如下圖所示三棱錐 A-BCD ,其中AB =CD =5, AC =BD =6, AD = BC =7,則該三棱錐外接球的表面積為.(2)在三棱錐ABCD中,球的表面積為(i)題圖AB = CD=2, AD = BC=3, AC = BD=4,則三棱錐A-BCD外接（3）正四面體的各條棱長都為 <2 ,則該正面體外接球的體積為 （4）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的

9、一個截面如下圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是類型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）圖3-1題設：如圖 3-1，圖3-2 ,圖3-3,苜 任意三角形）三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是第一步：確定球心 。的位置，O1是AABC的外心，則OO1_L平面ABC；11第二步：算出小圓 O1的半徑AO1=r, OO1 =-AA1 =1h （ AA1 = h也是圓枉的局）；22h h h h h hh ho第三步：勾股定理： OA2 =O1A2 +0102n R2=（_）2+r2= r= 1+（_）2,解出 R.2-2例3 （1） 一個正六棱柱的底面上正六邊形

10、，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，9且該六棱柱的體積為 9,底面周長為3 ,則這個球的體積為 8（2）直三棱柱 ABC A B1C1的各頂點都在同一球面上，若 AB = AC = AA1 = 2 , / BAC =120*,則此球的表面積等于（3）已知AEAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB = 3, AD = 2,/AEB = 601則多面體E - ABCD的外接球的表面積為 冗一（4）在直三棱柱ABCAB1C1中，AB=4,AC=6,A=-,AA =4,則直三棱柱 ABC A1B1C1的外接3球的表面積為第二講錐體背景的模型類型四、切瓜模型

11、（兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一一正弦定理求大圓直徑是通法）1 .如圖4-1 ,平面PAC_L平面ABC,且AB_LBC （即AC為小圓的直徑），且P的射影是AABC的外 心u三棱錐P-ABC的三條側棱相等 w 三棱P-ABC的底面 MBC在圓錐的底上，頂點 P點也是圓 錐的頂點.解題步驟： 第一步：確定球心 。的位置，取 MBC的外心O1,則P,O,O1三點共線；第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1 = r ,再算出棱錐的高 PO1=h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2 =O1A2 +0102 n R2 =（hR）2+r2 ,解出 R；事實上，AACP的外接圓就是大圓，直接用

12、 正弦定理也可求解出R.2 .如圖4-2 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC （即AC為小圓的直徑），且PA_L AC ,則 利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 =PA2+（2r）2u 2R= %；PA2 +（2r）2 ; R2 =r2 0012 = R = . r2 00123 .如圖4-3 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB_L BC （即AC為小圓的直徑）0C2 =01C2 0102= R2 =r2 0102= AC =2、R2二01024 .題設：如圖4-4 ,平面PAC _L平面ABC，且AB_L BC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心 。必是AP

13、AC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC = 2r ;第二步：在 APAC中，可根據(jù)正弦定理 一a=b= =2R,求出R.sin A sin B sin C例4 （1）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為2 J3,則該球的表面積為 .（3） 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為 三棱錐的體積是（）A.乎 B ,C（2）正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側棱長都為 J2 ,各頂點都在同一球面上，則此球體積為 1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正.33T D .瓦（4）在三麴隹P ABC中，PA = PB = PC = <3，側棱PA與

14、底面ABC所成的角為60二，則該三棱錐外接球的體積為（A.二 B. C. 4（5）已知三棱錐 S _ ABC的所有頂點都在球JTD.。的求面上,AABC是邊長為1的正三角形,SC為球。的直徑，且SC = 2 ,則此棱錐的體積為（A. 2B, 11 C66"D,132類型五、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1.題設：如圖5, PA_L平面ABC,求外接球半徑圖5解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑 AD，連接PD,則PD必過 球心O ；第二步：O1為 MBC的外心，所以 OO1 .L平面ABC ,算出小圓O1的半徑O1D = r （三角形的

15、外接圓直徑算法：利用正弦定理，得一a= b= = 2r）, OO1=1PA；sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 =PA2+（2r）2u 2R =PA2 + （2r）2 ; R2 =r2 0012 M R= r2 OO：.2.題設：如圖5-1至5-8這七個圖形，P的射影是AABC的外心u 三棱錐P-ABC的 三條側棱相等 u三棱錐P-ABC的底面 MBC在圓錐的底上，頂點 P點也是圓錐的 頂點.圖5-7圖5-8第一步：確定球心 O的位置，取ABC的外心Oi,則P,O,Oi三點共線;第二步:先算出小圓 O1的半徑AO1 = r ,再算出棱錐的高

16、PO1=h （也是圓錐的高）；第三步:勾股定理： OA2 =O1A2 +O1O2 = R2 =(h R)2 + r2 ,解出方法二:小圓直徑參與構造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑例A.B.5 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為C.3 二2 二16 二D.3以上都不對側視圖第三講 二面角背景的模型類型六、折疊模型題設：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊 （如圖6） 7圖616第一步：先畫出如圖 6所示的圖形，將 ABCD畫在小圓上，找出 ABCD和AABD的外心H1和H2；第二步：過Hi和H 2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點即為球心 O,連

17、接OE,OC ；第三步：解 AOEH1,算出OH1,在RtAOCH1中，勾股定理： OH； + CH； = OC2注：易知O,Hi,E,H2四點共面且四點共圓，證略例6 (1)三棱錐P - ABC中，平面PAC _L平面ABC , PAC和 ABC均為邊長為2的正三角形，則 三棱錐P-ABC外接球的半徑為 .(2)在直角梯形 ABCD中，AB/CD , /A=90； /C=45：, AB = AD=1,沿對角線BD折成四面體A'-BCD ,使平面ABD _L平面BCD ,若四面體 A'-BCD的頂點在同一個球面上，則該項球的表面積為(3)在四面體S ABC中,AB _L BC

18、,AB = BC = J2 ,二面角S-AC B的余弦值為面體S - ABC的外接球表面積為 (4)在邊長為2/3的菱形ABCD中，/BAD =60 ：沿對角線BD折成二面角A BD C為120二的四 面體ABCD ,則此四面體的外接球表面積為 (5)在四B隹 ABCD 中，/BDA=120： /BDC =150： AD=BD = 2, CD =V3,二面角 ABDC的平面角的大小為120 1則此四面體的外接球的體積為 類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型P圖7題設：如圖7, NAPB =NACB =90：求三棱錐 P - ABC外接球半徑(分析：

19、取公共的斜邊的中點O,1 .連接OP,OC ,則OA =OB =OC =OP =1AB ,二。為三棱錐P ABC外接球球心，然后在 OCP中2求出半徑)，當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關，只要不是平角球半徑都為定值.例7 (1)在矩形ABCD中，AB=4, 則四面體ABCD的外接球的體積為BC = 3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 B - AC - D ,A,也：B12125ji9)125n6125n3(2)在矩形ABCD中, 的外接球的表面積為AB=2, BC=3,沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC所得三棱錐A-BCD第四講多面體的內切球問題模型類型八、錐體

20、的內切球問題1 .題設：如圖8-1 ,三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其內切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內切球的截面圖，E,H分別是兩個三角形的外心；1一 一一 一一第二步：求DH= BD, PO = PHr, PD是側面AABP的高； 3第三步：由APOE相似于APDH ,建立等式：-OE-=PO ,解出rDH PD2 .題設：如圖8-2,四棱錐P-ABC是正四棱錐，求其內切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內切球的截面圖，P,O,H三點共線;1第二步：求FH=1BC, PO = PHr, PF是側面PCD的高;第三步：由APOG相似于APFH ,建立等式：OG=_PO 解出HF PF3.題設：三棱錐 P - ABC是任意三棱錐，求其的內切球半徑方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積;第二步：設內切球的半徑為 r ,建立等式VP /BC =VO/BC ' VO _PAB ' V