三角形五心性質(zhì)概念整理(超全)

1、重心1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2: 1。2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離平方的和最小。證明方法：設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)為(xi,yi),(x 2,y2),(x 3,y3)平面上任意一點(diǎn)為(x, y)則該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離平 方和為：(xi-x) 2+(y i-y) 2+(X2-x) 2+(y 2-y) 2+(X3-x) 2+(y 3-y) 2=3x2-2x(x i+x2+x3)+3y 2-2y(y i +y2+y3)+x i2+x2+x32+yi2+y22+y32=3x-1/3*(x i+xz+x?) 2+3y-i/3*(y i+y2+

2、y3) 2+xi2+x22+x32+y：+y22+y32-i/3(x i+x2+x3)，-i/3(y i+yz+y?)?顯然當(dāng) x=(x i+x2+x3)/3,y=(y i+y2+y3)/3 (重心坐標(biāo))時(shí)上式取得最小值 x，+x22+x32+yi2+y22+y32-i/3(x i+x2+x3) 2-i/3(y i+y2+y3) 2最終得出結(jié)論。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其坐標(biāo)為(X i+X+X3)/3,(Y i+Y+Y)/3;空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(Xi+X+K)/3，縱坐標(biāo)：(Yi+Y+Y3)/3，縱坐標(biāo)：(Zi+22+Z)/35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最

3、大的點(diǎn)。6、在ABCt 若M雨量+M前J量+MQSJ量=0 (向量)，則M點(diǎn)為4ABC的重心， 反之也成立。7、設(shè)ABC1心、為G點(diǎn)，所在平面有一點(diǎn) O,則向量OG=i/3(向量OA枸量OB+向量OC內(nèi)心設(shè)4ABC的內(nèi)切圓為。I(r) , /A、/R /C的對(duì)邊分別為a、b、c, p=(a+b+c)/2 .1、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑2、/ BIC=90 +/ BAC/2.3、在RtA ABC中，/ A=90° ,三角形內(nèi)切圓切 BC于D,則SJA ABC=B DCD4、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I向量 OI=a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 O

4、C)/(a+b+c)5、在 ABC中，若三個(gè)頂點(diǎn)分別是 A(x1, y1) , B(x2, y2) , C(x3, y3),那么 ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是:(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)6、(歐拉定理)AABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，。和I分別為其 外心和內(nèi)心，則 OI2=R2-2Rr.7、zABC中：a,b,c分別為三邊，S為三角形面積，則內(nèi)切圓半徑 r=2S/(a+b+c)8、雙曲線上任一支上一點(diǎn)與兩交點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對(duì)應(yīng)支 的頂點(diǎn)內(nèi)切圓的半徑(1)

5、在 RtAABC中，/C=90 , r=(a+b-c)/2 .(2)在 RtAABC中，/C=90 , r=ab/(a+b+c)(3)任意 ABC中 r= (2*SAABC /CAABC ( C為周長(zhǎng))9、 ABC中，內(nèi)切圓分別與 AB, BQ CA相切于P, QR,則 AP=AR=(b+c-a)/2 , BP =BQ =(a+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=(b+c-a)tan(A/2)/210、三角形內(nèi)角平分線定理:Q R P,則 BQ/QC=c/h BP/PA=a/b, CR/RA=a/cABC中，I為內(nèi)心，/ BAC、/ ABC /ACB的內(nèi)角平分線分別交 BG

6、AG AB于外心設(shè)/AB"勺外接圓為。G(R),角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c, p=(a+b+c)/2 .祝第三角界的外心在三角戲內(nèi)國(guó)角二中形的外心在斜邊上，與斜拉申點(diǎn)重合:或角三用形的外心在三角假外性質(zhì)1: (1)銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；(2)直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合；(3)鈍角三角形的外心在三角形外.(4)等邊三角形外心與內(nèi)心為同一點(diǎn)。性質(zhì) 2: Z BGC=2A,(或/ BGC=2(180 - ZA).性質(zhì) 3: Z GAC£ B=90證明：如圖所示延長(zhǎng)AG與圓交與P(B、C下面的那個(gè)點(diǎn)).A、C、B、P四點(diǎn)共圓. / P=Z B, / P+

7、/GAO90 . / GAC£ B=90性質(zhì)4:點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCk任意一點(diǎn)，那么點(diǎn) G是/ABC 外心的充要條件是：(1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(tanA+tanB+tanC).或(2)向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC.性質(zhì)5:三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點(diǎn)的距離相等。性質(zhì)6:點(diǎn)G是平面ABC±一點(diǎn)，那么

8、點(diǎn)G是/ABC外心的充要條件(向量GA狗量GB) 向量AB=(向量GB祠量GC)-向量BC=(向量GC+J量GA) 向量CA=0.三角形外接圓半徑：R=abc/ (4SIAABC)垂心1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外 .2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在 ABC的外接圓4、 ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組（每組四個(gè)）相似的直角三角形，且AH- HD=BH HE=CH HF。5、H、A B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心 （并稱這樣的四點(diǎn) 為一一垂

9、心組）。6、 AAB（C AABFH BCH ACH的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過(guò) H的直線交AR AC所在直線分別于P、Q則AB/AP - tanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC。8、三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。9、設(shè)Q H分別為 ABC的外心和垂心，則/ BAOM HAC / ABHW OBC, / BCO= HCA10、銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。11、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形（頂點(diǎn)在原三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。12、西姆松（Simson）定理（西姆松線）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接 圓上。13、設(shè)銳角/ABC內(nèi)有一點(diǎn)巳 那么P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC *CA向量PA*向量PB響量PB*向量PC乖J