高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備求數(shù)列通項(xiàng)公式的常規(guī)解法

1、求數(shù)列通項(xiàng)公式的常規(guī)解法1、由數(shù)列前幾項(xiàng)寫出其通項(xiàng)公式例1、寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 1 ,2 ,3,4,5, 2 ,4 ,6,8 ,10, 1 ,3 ,5,7,9, 1 ,2 ,4,8 ,16,L的通項(xiàng)公式為an n ,L的通項(xiàng)公式為an 2n,L的通項(xiàng)公式為an 2n 1,L的通項(xiàng)公式為an 2n 1,0-1 1 1 11,-,-,-, L的通項(xiàng)公式為an2 4 8 161,4,9,16,25, L的通項(xiàng)公式為ann2, 1)1) 1)1) 1)1)L的通項(xiàng)公式為an( 1)n 1 1, 。，1, 。，1,。，L的通項(xiàng)公式為an1 ( 1)n1n n2 2nn n 1 n 1an-12

2、341 ,2 ,3 - ,4 ,L L的通項(xiàng)公式為an2345n 2 ( 1)nL 的通項(xiàng)公式為 an ( 1) 一或 n1、, 一一-,門為正整數(shù)n3, n為正偶數(shù)n2、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng).例1、等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,且a，a3, a9成等比數(shù)列，S5 a2.求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式解：設(shè)數(shù)列an公差為d(d 0) 2- a1，a3, a9成等比數(shù)列， a3 a1a9,即(a 2d)2 2俎 8d),得 d2 add 0 , a1 d S5 a55 425a1 d (a1 4d)2由得:ai(n1)例2、已知 an滿足an353n5112 an，而

3、a12 ,求 an .an 1anan是以2為首項(xiàng)，公式為1 一，一1的等比數(shù)列2an23、累加法 對(duì)形如ananf (n)(f(n)為等差或等比數(shù)列)的數(shù)列通項(xiàng)，可用累加法求出例1、已知數(shù)列an中,a1=1,對(duì)任意自然數(shù)n都有an an 1n(n1)'求 an.解:由已知得anan 1n(n 1)an 1a3an 2(n 1)n1a23a1得ana1(n 2)(n 1)一 ,(n 1)n n(n 1)2 n 1an例2、已知 an中解由已知可得an 1 a n_1 4n2(a2一 an1,2,a1)a114n2 1，求 an.2 2n 112n,(n(a31),代入得(n1)個(gè)等式累

4、加，即a2)(anan 1)a12(12n 3 2n 1一 an即an4n 212n 14n 34n 2評(píng)注：只要和f(1) f (2)f(n 1)是可求的，就可以由a。1 an f(n)以n 1,2,(n 1)代入，可得n 1個(gè)等式累加而求an ,稱為累加法.例3、已知數(shù)列an, a1 7,an 1 2an 1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.分析：由題目可知an 1與an的系數(shù)不相等，直接累加不能達(dá)到前后相消的目的，故可構(gòu)造新 的數(shù)列，使相鄰項(xiàng)的系數(shù)相等，然后再考慮使用這種方法解：Q an 1 2an 1 ,an 12 an2n令bn12nan12n 1 .bn2n(bnbnbn1)1bn(bna

5、n 12n 112n 1，bn 2)blan2na1212n 1722 1.4、累乘法f (n)的數(shù)列的通項(xiàng)，可用累乘求出對(duì)形如aan例1、已知a13,an 11),求 an 。3n 1.;ran (n3n 2解：an亞山3(n 1)3(n 2) 1L3(n2) 23 2 13 1a13 2 2 3 23n 43n 13n 3n 45-38 56O3n 1例2.設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為2的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足(n 1)an 12nan an 1an求通項(xiàng)公式an解：由anW0 在等式兩邊同除以a2整理得(n1)(且)2ana2a3a2a4a3ann 1, r相乘得n所以，an =2 n5、公式法ana4

6、ai a2 a3an 1an1a11，即ana1nnn點(diǎn)評(píng):f(n)類型的題，可用累乘法n(2n 1)3,求通項(xiàng)公式an.1例3、已知數(shù)列an中，a1 -,前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系是Sn 3解：由 Sn n(2n 1)an得 S1 (n 1)(2n 3)4 1兩式相減得：(2n1)an(2n3)an1,an 2n3412n5a21，,L L , an 1 2n1an 22n1a15將上面n-1個(gè)等式相乘得：an(2n 3)(2n 5)(2n 7)L 3 1a1(2n 1)(2n 1)(2n 3)L 7 53(2n 1)(2n 1)1an-(2n 1(2n 1)n 1例3：在數(shù)列J a n中，a

7、1 =2, an 1 =an，求數(shù)列J a n的通項(xiàng)公式。n分析：由題意可得:an 1 n 1 =,an n所以,a22=一 , a11a33a44=,=,a22a33an n，=，an 1n 1a把以上各式疊乘，倚 =n,又a1 =2, a1若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式Snn 1an求解 .n Sn Sn 1 n 2例 1 已知下面數(shù)列的前n 項(xiàng)和為Sn ，求其通項(xiàng)公式anSnn2 n 1 ；Sn2n1分析：數(shù)列 an中，an與Sn有關(guān)系：HnS1 ,SnSn(n=1)利用這一關(guān)系，1, (n 2)在知Sn時(shí)可求an.2解：(1) Sn n2n1n &g

8、t;2 時(shí),2anSn Sn 1 (n1)(n21)2 (n 1) 1 2n 2a1S11 ，不滿足上式1, an 2n(n= 1)2,(n2)Sn2nanSnSn 1(2n 1)(2n 1 1) 2n1又n = 1時(shí),a1S121 11 ，滿足上式n1an 2 ,n說(shuō)明：解這類題時(shí)一定要檢驗(yàn)a1 是否適合anSnSn 1 ，只有適合時(shí)才能合并為一個(gè)表達(dá)式，如(2)題；不適合時(shí)則應(yīng)用分段函數(shù)表示，如(1)題.例 2 ：已知數(shù)列a n 前 n 項(xiàng)和 Sn3n5 ，求 a n 。解：由題意，易知a1S132 時(shí)， an SnSn 13n 5 3n 1 5 23n 1an22 3n 1n1n2an

9、2Sn 0.求數(shù)列an 的通例 3、 已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為Sn ,且滿足a2n項(xiàng)公式.1 o解：由 an an 2sn 0,知 S0- (an3n),21,2、當(dāng) n2 時(shí),Sn i (an 1 an 1 ),21 oo兩式相減得an(ananan 1an J2 a2ana2 1 an 10,.(anan 1)(anan 11)0,.an各項(xiàng)為正，anan 11.又 a1 1 ,an n (n N ).例4、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn 2an ( 1)n,n1.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;解：由 a1 S1 2a1 1,得 a11.當(dāng) n 2時(shí)，有 an Sn Sn

10、1 2(an am) 2 ( 1)n, n 1an2an12 ( 1),an12an22 ( 1)n 2,a22a12.3 2n1al 2n1 ( 1) 2n 2 ( 12 L 2 ( 1j 12n 1 (2n 1 (22n2 31)n(2)n1( 2)n 21)n21 ( 2)n13(1)".經(jīng)驗(yàn)證a16、迭代法(2)1也滿足上式，所以an -2n 2 ( 1)n 1 3例 1、已知 a1 3,an 1a2, nN ,求an.解：條件 an1 a2 理解為 f(n 1) f2(n),而 f(n) f 2(n 1), L f(2)f2(1),利用函數(shù)的迭代得f(n) (f(1)2)K

11、)2=32nn n 1即 an 32例2、已知數(shù)列an滿足a1 = 1, 且 an+1 = 3an +1 ,求 an .解：an=3an-1+1=3(3a n-2+1)+1=3 解-2+3 1+1 =3n-1 a1+3n-21+3n-3 1 +33n 11+1 =27、分類討論法1例1、已知數(shù)列an中a1=1且anan+1=2(一),求通項(xiàng)公式.4一111a 1 一斛：由 anan+1=2 ()及 an+1an+2=2 ( 一),兩式相除，得 =一,貝U a1,a3,a5,必-1 ,和44an 4a2,a4,a6,22n,都是公比為1的等比數(shù)列，又a1=1,a2= 1 ,則：(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

12、，42.n 11 n. n 21 n1n1 Fk11 -kKan 1 () 24 2 ； (2)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，an - (-) 2 4 2 .綜合得 an 4 242 48、化歸法1例1、已知數(shù)列an滿足a-,5且當(dāng)n 1,n N*時(shí)，有蟲(chóng)2aq.求防an1 2an解：當(dāng)n 2時(shí)，由2 空八一1 an 1 2an得 an 1 an 4an 冏 0兩邊同除以anan1得，L JL 4，an an 1即L 1_ 4n 1且n N*成立，an a n 1，1_是以首項(xiàng)為5,公差為4的等差數(shù)列.an111一 一 (n 1)d 4n 1,所以，an .an a14n 1例2 已知數(shù)列an, a1 5

13、, an 2an 1 3,(n> 2),求an的通項(xiàng)公式.分析：遞推公式an項(xiàng)與an 1項(xiàng)的系數(shù)不相等，不是等差數(shù)列，需構(gòu)造轉(zhuǎn)化解：: an 2an 1 3(n 1),令 an m 2(an 1 m).與式相比較對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得m=3.an 3 2(an 1 3).令 bn an 3,則 bn 2由 1, D a1 5 5 3 2.，bn是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列. .bn 2g2n 1 2n. an 2n 3.31a (n 1),評(píng)注：一般的形如'',(其中a, p, q, r都是常數(shù)且p q , p、qwQpan qan 1 r(n 1)都可利用這種方法轉(zhuǎn)化成等

14、比數(shù)列來(lái)解.同學(xué)們可以把例1按這種方法轉(zhuǎn)化一番.例3、已知正項(xiàng)數(shù)列an,a11,an1an,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.an 2分析：遞推公式中一邊是整式，一邊是分式，可通過(guò)分別取倒數(shù)，統(tǒng)一成分式解：: an 1 二 , an 212.1.c1.1 1,1 2 1 ,令 bn 1 ,an 1anan 1anan則 bn1 2bn, b1 - 1 2, a1bn 2g2n 1 2n，工 1 2n，故可得 an n.an21a a評(píng)注：一般的形如pqn.其中a,p,q,r為常數(shù)，且r布，p、rwQ都可運(yùn)用此種方an 15qan r法；若r p,則取倒數(shù)可轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列.22例8.設(shè) an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)

15、數(shù)列，且 (n 1)an 1 nan an 1 an 0(n 1,2,3,L ),求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：: an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列an an 10在已知式兩邊同除以 an an 1得 (n加1 里1 0anan 1令 a1At，得(n 1)t2 t n 0an分解因式得(n 1)t n(t 1) 0t ,t 1 (舍去)，即a,到此可采用:n 1ann 1法一：累乘法a2a3a4a5La1 a2 a3a4即 an1 ,又 a11 ,an1 .a1nn法二：迭代法n an 1 an3= Ln 1 n 1 n 1 n 2 an an 1 an 2nn n 1n 1 n 2 n 3 . 1La

16、1n n 1 n 221 n 法三：特殊數(shù)列法.Jnann 1(n 1聞1nan.數(shù)歹U ( n1）an 1是一個(gè)以a1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列nan a11 an n9、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）（1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列例1設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或 等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.an的前n項(xiàng)和為 Sn,對(duì)于任意正整數(shù)n,都有等式:%+2雙刊=4£上田、生工p*”成立，求an的通項(xiàng)an.af +2a - 45.& m &,凡+2口口 ="：一：+2% = 4（ &口一

17、 ）二解：I I 1, X X XT ' R 一 比 h 2） = 0"h/0 a -= 2?.即卜j是以2為公差的等差數(shù)列，且嚀+% =4的=%=?.",1+ 2 （廳 - 1）2打例2數(shù)列況）中前n項(xiàng)的和工=2壯一% ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式 .解：力"'I1當(dāng)n*時(shí)，一%=2吁即一做一 1）一%=乜+2+/% =；聾A1+1 = % Z = ；（4T 2）A = A 九二胡.一2a= 1 - 2 = -1令塾R ，則 * ，且11優(yōu)是以I為公比的等比數(shù)列,=-1廣尸例3、已知數(shù)列 an滿足ai1, an 1 2an 1(n N ) .求數(shù)列 an的

18、通項(xiàng)公式.解：因?yàn)?an i 2an 1 ,所以 an i 1 2(an 1),所以數(shù)列an 1是以小1 2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)歹U.所以an 12n,即an 2n1.(n N )例4、已知數(shù)列 an , a11a22，an 1 3an 2an1 0 (n N解an 13an2an1 0,一 an 1an2( an an 1).一 an 1一 anan 2(anan(an是以2為公比，a?a1為首項(xiàng)的等比數(shù)列.2n 1an2n設(shè)an 2)a n 11)(an 1an 2)2120(a2 a1) ai2n 1pan 1qan可an,則可從形為：an 2 an 1(anp解得qan是公比為

19、的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型(2)構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一 數(shù)列的通項(xiàng)公式.例1、設(shè)也是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且d - “3 -S J 二° , (ne N*),求數(shù) 列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得J一aK = % + (% zt)+ (%一) -I (% %4)1 +2 -b3 5 ='(二 +1)例2、數(shù)列W中, 式an.2心=3,且見(jiàn)初二(片+ 3)%.1 .(丙+ 2)% , (ne N*),求通項(xiàng)公解：;4 喊=(鹿+ 2)(%“一.)=(附 + 2)5.1)(。=(打+2)(加 + 1)*-4x3

20、(£z2= (/i+2)!,4 門+ (門上一門 i ) + (" j -? )+"' + n., 一 . t)1 + 2-KH3 3)、構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法1例5數(shù)列an中，an ,前n項(xiàng)的和6 n%n ,求an1.2解：口 w.i”二),、一“,，j血 "一1=> =建 2n +1?%a2fl_ 1 2111iXg = 1- -口 = * - X = "I"一口nil篤321(4)、構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，

21、使問(wèn)題得以解決a例 an 1 (n 2)的兩邊取倒數(shù)，轉(zhuǎn)化為2an 11 ：數(shù)列 an 滿足 a1 1, an (n 2),求 an。2a n i 1解：將an1,1 十2(n 2),則為首項(xiàng)an 1an1、，為工,公差為2的等差數(shù)歹U,a1111-(n 1) 2 2n 1, an ana12n 1例2:數(shù)列an滿足a1八2 ,3, anan 1 (n 2)，求 an.解：將an an12(n 2)的兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得lg an 2lg an 1(n 2)，則 ig an 為首項(xiàng)為lg a1,2n 1公比為2的等比數(shù)列，則igan 2n 1 lg3 ,an3。例3、已知數(shù)列an中a =1且an 1 -an(n N),求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 1an 1即an1 an 11斛：an 1 =(n N)1an 1an 1ana n設(shè)bn1 6一人Jbn 1bn 1an則bn一 1,、一是以b1_1 1為首項(xiàng),a11 n 1 n11bn n1為公差的等差數(shù)列例4:數(shù)列an滿足a11, an 2an 11(n 2),求 an。解：可將an 2an 1 1(n 2)的兩邊同加1,轉(zhuǎn)化為an 1 2(an 1 1),(n 2),可知an 1為首項(xiàng)為a1 1,公比為2的等比數(shù)列，an 1 (a1 1) 2n1 2n,. an 2n 1o(5)、構(gòu)