必修一函數(shù)及其表示講義

1、必修一函數(shù)及其表示講義1.2.1函數(shù)及其表示一、映射根據(jù)題意填空。(1) (2) (3) (4)映射概念：一般地，設(shè) A, B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè) 確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中 都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f: A-B是集合A到 集合B的映射。如上圖：是映射。象與原象：給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且6 A, 6 B,如果 元素和元素對(duì)應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象， 元素叫做元素的原 象。注意：（1）集合A、B、對(duì)應(yīng)關(guān)系是一個(gè)整體；（2）對(duì)應(yīng)關(guān)系 有“方向”，強(qiáng)調(diào)從A到B; （3）集合Axx元素在集合Bxx都有象 并且是唯一的，這個(gè)唯一

2、性是構(gòu)成映射的核心；（4）集合Axx不同 的元素，在集合Bxx對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)，集合Bxx元素對(duì)應(yīng)集合 Axx的元素可能不止一個(gè)。對(duì)應(yīng)可以為“一對(duì)一”或“多對(duì)一”，但 不能是“一對(duì)多”；（5）集合Bxx的元素在Axx不一定有原象。（6） 如果A有m個(gè)元素，B有n個(gè)元素，則從集合Axx到集合B的映射（不 加限制）有個(gè)。例1:設(shè)集合A= N+ , B= N+,對(duì)應(yīng)關(guān)系f : x-y=2x,則（ 1）集合 Axx 元素 2 所對(duì)應(yīng)的象是 。（2）集合Bxx元素2所對(duì)對(duì)應(yīng)的原象是 【解析】：（ 1） 4（ 2） 1變式練習(xí)：設(shè)f: A-B是從集合A到集合B的映射，A= B= （x , y） 1 x

3、6 R, y 6 R,若 f : （x, y） （ x y, x + y）（ 1）求集合Axx 元素（1 ， 2）在集合Bxx 對(duì)應(yīng)的元素。（ 2）求集合Bxx 元素（1 ， 2）在集合Axx 對(duì)應(yīng)的元素。【解析】：（ 1） （ 3， 1） （2） （ ， ）二、函數(shù)（一）、函數(shù)的概念：設(shè) A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確 定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有 唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f : A-B為從集合A到集合B 的一個(gè)函數(shù)。記作：y = f（x） , x£A。其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域 （集合） ； 與

4、x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x） 1x6 A 叫 做函數(shù)的值域（集合）。定義域、值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系f統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的三要素。例2:下面哪一個(gè)圖形可以作為函數(shù)的圖象（）ABCD變式練習(xí)：設(shè) A= x | 0<x<2, B= y | 1<y<2,如下圖, 能表示從集合A到集合B的映射是（）【解析】：D（二）區(qū)間的概念：設(shè)，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且我們規(guī)定：（1）滿足不等式w xw的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為,;（2）滿 足不等式< x<的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，表示為（，）；（3）滿足 不等式w 乂<或< xw的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分

5、別表示為 左閉右開(kāi)和xx閉區(qū)間。必修一函數(shù)及其表示講義定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示定義符號(hào)xa <x <b閉區(qū)間a,bx |< x < +=c(_o0 , +cC )abxa <x <b開(kāi)區(qū)間(a,b)x | x 之 aa,f)abx|a <x <b左閉右開(kāi)區(qū)間a,b)x | x > a(a*)abx|a <x <b左開(kāi)右閉區(qū)間(a,bx | x < b(-oo,bab(三)、函數(shù)的定義域：自變量 x的取x | x < b(-oo,b)值范圍。1、簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的類(lèi)型及求法：(1)分式函數(shù)中分母不等于零；(2)偶次根式函數(shù)被

6、開(kāi)方式大于或等于 0;(3) 一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)?R;(4) y= ( >0 且# 1), y = sin x , y = cos x ,定義域均為 R;(5) y = tan x 的定義域?yàn)閤 | x6 R 且 x#k+ , k Z；(6) 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是真數(shù)大于 0;(7) 函數(shù)f(x)=的定義域與指數(shù)的關(guān)系，對(duì)于不同的值，定義 域不同。(8)由實(shí)際問(wèn)題建立的函數(shù)，還要符合實(shí)際問(wèn)題的要求。2、對(duì)于抽象函數(shù)定義域的求法:( 1)若已知函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?， ，則復(fù)合函數(shù)fg(x) 的定義域由不等式w g(x) w求出；( 2)若已知函數(shù)fg(x) 的定義域?yàn)?， ，

7、則 f(x) 的定義域?yàn)間(x) 在 ， 上的值域。例 3：求下列函數(shù)的定義域。(1) f(x) = (2) f(x) = (3) f(x) = +(4) f(x) = (6) f(x)=【解析】：(1) x> (2) x手一(3) xA1 且 x#3(5) xn2或 XW3 (5) -4<x<1變式練習(xí) 1：設(shè) A= x ly = , B= x ly = ,則 AC B=c【解析】：變式練習(xí)2:函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)椤窘馕觥浚?2k-, 2k + ) , k6 Z變式練習(xí) 3:設(shè) A= x ly = , B= x ly = ,則 AC B=c【解析】：A=(2k, 2k

8、+ ), B=4, 3,則 AA B=例 4： 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為 20， 請(qǐng)將底邊 y 表示為腰 x 的函 數(shù)，并寫(xiě)出 x 的取值范圍。【解析】y=20-2x, 5cx<105c x< 10例 5：( 1 )已知函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?1 ， 4 ，則 f (x 2) 的定義域?yàn)?。( 2)已知函數(shù)f(2x 1) 的定義域?yàn)?( 1， 0) ，則 f(x) 的定義域?yàn)??！窘馕觥?1) / 1<x + 2<4, /. - 1<x<2(2) 1<x<0,.一2<2x<0,.一 1<2x+1<1變式練習(xí)：( 1)已知函

9、數(shù)f(x) 的定義域?yàn)?5， 5 ，則 f (3 2x) 的定義域?yàn)?。(2)已知函數(shù)f(x 1) 的定義域?yàn)?0 ， 3 ，則 f(x2) 的定義域?yàn)??！窘馕觥?1) 1,4, (2) 0<x<3, 1<x+1<4, 1<x2<4, 則2WxW 1 或 1WxW2例 6：下列說(shuō)法中正確的是()A： y = f(x)與y = f(t)表示同一個(gè)函數(shù)B： y = f(x)與y = f(x +1)不可能是同一函數(shù)C： f(x) = 1與f(x) = x0表示同一函數(shù)D：定義域和值域都相同的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)【解析】 A變式練習(xí)：判斷下列各組函數(shù)，哪些是同一函數(shù)

10、(1) f(x) =x 與 g (x) = (2) f(x) =x 與 g(x)=(3) f(x) = | x 1 與 g(x) = (4) f(x) =x2 與 g (x) =(x+1)2(5) f(x) =x 與 g(x) = (6) f(x)=與 g (x) =x- 1 (7) f(x) =x22x+1 與 g(t) =t22t + 1必修一函數(shù)及其表示講義例7:已知函數(shù)f(x) =x22x3,求( 1) f(1) ， f(2)( 2) f() ， f( 1)( 3) f( 1) ， ff( 1) ， f f( 2) (4)若 g(x)=,則求 fg(x) 和 gf(x)變式練習(xí)1:已知

11、函數(shù)f(x)=,求( 1)計(jì)算：f (1)， f(2)， f()(2)計(jì)算：f (1)f(2)f()f (3) f () f (4) f ()f (5) f ()f (6)f()變式練習(xí)2：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x +y)=f(x) +f(y)+ 2xy (x、y6R),且 f(1) =2,則 f( -3)=()A： 2B： 3C： 6D： 9【解析】：f(1) =f(1 +0)=f(1) +f(0) +0,得 f(0) =0f(0) =f( -1 + 1) =f( 1)+f(1) 2,得耳1)=0f( -2) =f( -1-1)=f( -1)+f( 1)+2,得式2)=2f( 3)

12、=f( -1-2)=f( -1)+f( 2)+4,得式3)=6變式練習(xí)3:函數(shù)滿足則常數(shù)c等于()A 3BCD:【解析】：=乂得c = - 3 B三、函數(shù)的值域(一)、值域：函數(shù)，我們把函數(shù)值的集合稱(chēng)為函數(shù)的值域。(二)、基本函數(shù)的值域：1、一次函數(shù)的值域?yàn)镽;2、二次函數(shù)；xR的值域.2. 2a>0時(shí)，值域是絲七b-,+g)；a<0時(shí)，值域是(-% 生也4a4a3、反比例函數(shù)的值域?yàn)?4、指數(shù)函數(shù)y= ( >0且#1)的值域?yàn)?0, +85、對(duì)數(shù)函數(shù)y= ( >0且#1)的值域?yàn)镽;6、正弦 y = sin x , xx 函數(shù) y = cos x 的值域1, 1;7、

13、正切函數(shù)y = tan x的值域?yàn)镽;8、函數(shù)f(x)=的值域與指數(shù)的關(guān)系，對(duì)于不同的值，值域不同。(三)求值域的具體方法1、觀察法(直接法)：例8:求函數(shù)f(x) =2x+1, x1 , 2, 3,4， 5【解析】：y63, 5, 7, 9, 11變式練習(xí)：求函數(shù)的值域：(1) f(x) =+1 (2) f(x)=【解析】：(1) y>1 (2) yO2、配方法：利用二次函數(shù)求值域【二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)(，)】；例9:求函數(shù)f(x) =x2-6x-7, xR的值域解：f(x) =x2-6x-7=(x -3)2 -16>- 16,所以函數(shù)的值域y I y>- 16或

14、。變式練習(xí)：求函數(shù)的值域必修一函數(shù)及其表示講義(1) f(x) =x2 4x3, xR f(x) = x2 6x+7, xR(3)f(x) =x2-4x- 3, x1,3(4) f(x) =-x2-6x + 7,x 1， 3(5)設(shè)、是方程4x24m奸2 (x6R)的兩實(shí)根，當(dāng)m為何 值時(shí)，有最小值？求出這個(gè)最小值?！窘馕觥浚?、分離常數(shù)法：【形如反比例函數(shù)的值域y = (k?0),例10:求函數(shù)f(x)=的值域?！窘馕觥浚篺(x) = = =2 y#3變式練習(xí)：求函數(shù)f(x)=的值域?！窘馕觥浚篺(x) =5+ y#54、單調(diào)法：先判斷函數(shù)f(x) 的區(qū)間上的單調(diào)性，再代入端點(diǎn)求值域的方法。

15、例11:已知函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的最大值和最小值。【解析】：函數(shù)f(x) 在 2 ， 6 上是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)端點(diǎn)分別取得最大值與最小值，當(dāng)x = 2函數(shù)取最大值2,當(dāng)x6 函數(shù)取最小值0.4 。變式練習(xí)1:求函數(shù)f(x)=的值域?！窘馕觥浚?9 ， 12變式練習(xí)2：求下列函數(shù)的值域(1) f(x) = (2) f(x)=【解析】：(1) f(x) = (2) f(x)=5、換元法例12:求函數(shù)f(x) =x +變式練習(xí)1：分別求下列函數(shù)的值域(1) f(x) =2x+(2) f(x) =2x-變式練習(xí)2：分別求下列函數(shù)的值域(1) f(x) = + 6X 3 (2) f(x)

16、 =sin2x+2cosx36、基本不等式法【基本不等式章節(jié)重點(diǎn)講解】例13:求函數(shù)f(x) =x + (x >1)的最小值例14:求函數(shù)f(x) =xX(3 2x) (0<x<)的最大值7、三角函數(shù)法【三角函數(shù)章節(jié)重點(diǎn)講解】8、導(dǎo)數(shù)法【導(dǎo)數(shù)章節(jié)重點(diǎn)講解】9、三角代換法( 參數(shù)法 ) 【極坐標(biāo)與參數(shù)方程章節(jié)重點(diǎn)講解】四、函數(shù)的表示法(一)表示函數(shù)的方法有：有解析法、列表法和圖象法三種。(1)、解析法：如果函數(shù)y = f(x) (x6A)中，f(x)是用代數(shù)式(或解析式)來(lái)表達(dá)的，則這種表達(dá)函數(shù)的方法叫做解析法(公 式法)。( 2)列表法：通過(guò)列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格來(lái)表示

17、函數(shù) 關(guān)系的方法叫做列表法。( 3)、圖象法：用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法，叫做圖像法。(二)求函數(shù)解析式1、拼湊法：已知 f g(x) 的解析式，要求f(x) 的解析式，從fg(x)的解析式中拼湊出“ g(x) ”，兩邊用“ X”代替“ g(x) ”即可 得到 f(x) 的解析式。例 13:若 f()=，求 f(2)【解析】f ()=. f (x)= . f(2)=變式練習(xí)：(1)已知f (x +)=x2+ ,求f (x)(2)已知 f ( +1) =x + 2,求 f (x)【解析】：(1) f(x) =x2 2(2) f (x)=x212、換元法：已知函數(shù)f g(x)的解析

18、式，令g(x) =t,求f(t)的解析式，用 x 代替兩邊所有的 t ，即可。例 14:已知函數(shù) f (2x +1) =x2 2x,求 f (1)【解析】令 2x+1 = t，則 x =. f (t )=()2 -2X =. f (x) = f (1)= = 0變式練習(xí)：(1)已知 f ( +1)=x + 2,求 f (x)(2)已知 g(x) =1 2x, f g(x)=(x?0),求 f ()(3)已知 f () =x+,則 f(1) =。(4)已知 f () =4xX + 233,則 f+f(4) +f(8) +f(28) 的值等于 ?！窘馕觥浚?1) f (x)=x21(2) f ()

19、 =15(3) f(1)=1(4)令=1，貝U x=，貝U f (t) =4+233,故 f(2) +f(4) + f(8) + + f(28)=4+8+12 + + 32+ 233X 8= 20083、 方程組法： 已知 f(x) 與 fg(x) 滿足的關(guān)系式， 要求 f(x) 時(shí)， 用 g(x) 代替兩邊所有的x ，得到關(guān)于f(x) ， fg(x) 的方程組，解方程組得 f(x) 。例 15:已知函數(shù) f (x)滿足，f(x) -2 f () =3x+2,求 f (x)的解析式?！窘馕觥浚河么鎥得：f () -2 f (x) =3X + 2解之得：f (x) =-x-2變式練習(xí)：已知函數(shù)

20、f(x)滿足：f (x) +2 f ( x)=x2 + x,求 函數(shù) f(x) 的解析式。必修一函數(shù)及其表示講義【解析】：f(x)=4、待定系數(shù)法：( 1)、初中所學(xué)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法。一次函數(shù)：f(x) =kx + b (k ?0); 反比例函數(shù)：f (x)= ()，二次函數(shù)：( 2)若已知f(x) 函數(shù)的類(lèi)型，求 f(x) 的解析式，可根據(jù)類(lèi)型設(shè)其解析式，然后確定其系數(shù)即可。例16:已知一次函數(shù)f(x)滿足曲(x)=4x + 3,求f (x)的解析式?！窘馕觥吭O(shè)：f(x) =kx + b (k ?0) ff(x)= f (kx +b)= k(kx +b)+b =k2

21、x+kb + b =4x3解之得或. f (x) =2x+1 或 f (x)=-2x-3必修一函數(shù)及其表示講義例17:已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且2 f (1) +3 f (2) =3, 2 f ( -1)-3 f (0) =1,求 f (x)的解析式?！窘馕觥吭O(shè)：f(x) =kx + b (k ?0),由題意得解之得：(x) =x-變式練習(xí)：(1)已知一次函數(shù)f(x)滿足曲(x)=9x + 8,求f (x)的解析式。(2)已知一次函數(shù) f(x)滿足：3f(x +1)2f(x 1) = 2x+17, 求 f (x) 的解析式?！窘馕觥?1)f(x)=3x + 2 或 f (x) =-3x-4

22、(2)f(x)= 2x+7四、分段函數(shù)：在定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x 的不同取值范圍，對(duì)應(yīng)關(guān)系(對(duì)應(yīng)法則)不同，這樣函數(shù)通常稱(chēng)為分段函數(shù)。由此可知，作分段函數(shù)的圖像時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出。注意： ( 1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)；(2)在分段時(shí)端點(diǎn)不重也不漏；(3)分段函數(shù)的定義域?yàn)槊慷畏秶牟⒓?，值域也是每個(gè)區(qū)域內(nèi)值域的并集。(一)分段函數(shù)的圖象例18:作出函數(shù)f(x) = 1 x 1的圖象。【解析】：f(x) = 1 x I =變式練習(xí)：作出分段函數(shù)的圖像(二)分段函數(shù)的求值。例 19:已知函數(shù) f (x)=求：(1) f (3)(2) f f (3)3) f f f (3) 【

23、解析】：:(1) 3>2,.f (3) =324X3=3;(2) 3<2,. f f =f ( 3) = X(3)=-(3) .2< <2, . f f ( 3 ) =f (-)=變式練習(xí)1:已知函數(shù)f (x)=,(1)求 f f (-1) (2)若 f() =3,求的值?！窘馕觥浚?1) f f (-1) =2(2)=或=必修一函數(shù)及其表示講義變式練習(xí)2:設(shè)于0,函數(shù)f(x)=,若煩 )=4,則f()等于( )A: 8 B: 4 C: 2 D: 1【解析】A課后綜合練習(xí)【解析】：(2) (3)2、函數(shù)y = f(x)的圖象與直線乂 =的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A:必'有1個(gè) B: 1個(gè)或2個(gè)C:至多1個(gè) D:可能2個(gè)以上3、若函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)的取值范圍是必修一函數(shù)及其表示講義4、已知f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)