點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)渲R點(diǎn)

1、第4章 連通性重要知識點(diǎn) 本章討論拓?fù)淇臻g的幾種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，包括連通性，局部連通性和弧連通性，并且涉及某些簡單的應(yīng)用這些拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)的研究也使我們能夠區(qū)別一些互不同胚的空間 §41 連通空間 本節(jié)重點(diǎn): 掌握連通與不連通的定義.掌握如何證明一個集合的連通與否?掌握連通性的拓?fù)洳蛔冃?、有限可積性、可商性。 我們先通過直觀的方式考察一個例子在實(shí)數(shù)空間R中的兩個區(qū)間（0，l）和1，2），盡管它們互不相交，但它們的并（0，1）Ul，2）（0，2）卻是一個“整體”；而另外兩個區(qū)間（0，1）和（1，2），它們的并（0，1）U（1，2）是明顯的兩個“部分”產(chǎn)生上述不同情形的原因在于，對于前一種情

2、形，區(qū)間（0，l）有一個凝聚點(diǎn)1在1，2）中；而對于后一種情形，兩個區(qū)間中的任何一個都沒有凝聚點(diǎn)在另一個中我們通過以下的定義，用術(shù)語來區(qū)別這兩種情形 定義411設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個子集如果 則稱子集A和B是隔離的 明顯地，定義中的條件等價于 和 同時成立，也就是說，A與B無交并且其中的任何一個不包含另一個的任何凝聚點(diǎn) 應(yīng)用這一術(shù)語我們就可以說，在實(shí)數(shù)空間R中，子集（0，1）和（1，2）是隔離的，而子集（0，l）和1，2) 不是隔離的 又例如，易見，平庸空間中任何兩個非空子集都不是隔離的，而在離散空間中任何兩個無交的子集都是隔離的 定義412 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g如果X中有兩個非空的隔離子

3、集A和B使得X=AB，則稱X是一個不連通空間；否則，則稱X是一個連通空間 顯然，包含著多于兩個點(diǎn)的離散空間是不連通空間，而任何平庸空間都是連通空間 定理411設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g則下列條件等價： （l）X是一個不連通空間； （2）X中存在著兩個非空的閉子集A和B使得AB= 和 AB X成立； （3） X中存在著兩個非空的開子集A和B使得AB= 和 AB X成立； （4）X中存在著一個既開又閉的非空真子集證明（l）蘊(yùn)涵（2）: 設(shè)（1）成立令A(yù)和B是X中的兩個非空的隔離子集使得ABX，顯然 AB=，并且這時我們有 因此B是X中的一個閉子集；同理A也是一個X中的一個閉子集這證明了集合A和B滿足條件（

4、2）中的要求 （2）蘊(yùn)涵（3）如果X的子集A和B滿足條件（2）中的要求，所以A、B為閉集，則由于這時有AB/和B=，因此A、B也是開集，所以A和B也滿足條件（3）中的要求 （3）蘊(yùn)涵（4）如果X的子集A和B滿足條件（3）中的要求，所以A、B是開集，則由A和B= 易見A和B都是X中的閉集，因此A、B是X中既開又閉的真（A、B，AB=X，A、BX）子集，所以條件（4）成立 （4）蘊(yùn)涵（l）設(shè)X中有一個既開又閉的非空真子集A令B=則A和B都是X中的非空的閉子集，它們是無交的并且使得AB=X易見兩個無交的閉子集必定是隔離的（因?yàn)殚]集的閉包仍為自己）因此（l）成立 例4. 11 有理數(shù)集Q作為實(shí)數(shù)空間R

5、的子空間是一個不連通空間這是因?yàn)閷τ谌魏我粋€無理數(shù)rR-Q，集合（-，r）Q（，rQ是子空間Q中的一個既開又閉的非空真子集 定理412 實(shí)數(shù)空間R是一個連通空間證明 我們用反證法來證明這個定理假設(shè)實(shí)數(shù)空間R是不連通空間則根據(jù)定理411，在R中有兩個非空閉集A和B使得AB= 和 AB R成立任意選取aA和bB，不失一般性可設(shè)ab令=Aa,b，和=Ba,b于是和是R中的兩個非空閉集分別包含a和b，并且使得=和=a，b成立集合有上界b，故有上確界，設(shè)為由于是一個閉集，所以，并且因此可見b，因?yàn)閎將導(dǎo)致b，而這與=矛盾因此（，b由于是一個閉集，所以這又導(dǎo)致，也與=矛盾 定義413設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個

6、子集如果Y作為X的子空間是一個連通空間，則稱Y是X的一個連通子集；否則，稱Y是X的一個不連通子集 拓?fù)淇臻gX的子集Y是否是連通的，按照定義只與子空間Y的拓?fù)溆嘘P(guān)(即Y的連通與否與X的連通與否沒有關(guān)系.)因此，如果，則Y是X的連通子集當(dāng)且僅當(dāng)Y是Z的連通子集這一點(diǎn)后面要經(jīng)常用到 定理413 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個子集，A，BY則A和B是子空間Y中的隔離子集當(dāng)且僅當(dāng)它們是拓?fù)淇臻gX中的隔離子集 因此，Y是X的一個不連通子集當(dāng)且僅當(dāng)存在Y中的兩個非空隔離子集A和B使得ABY(定義)當(dāng)且僅當(dāng)存在X中的兩個非空隔離子集A和B使得ABY證明 因?yàn)橐虼烁鶕?jù)隔離子集的定義可見定理成立 定理414 設(shè)Y是拓?fù)淇?/p>

7、間X中的一個連通子集如果X中有隔離子集A和B使得 YA U B，則或者 YA，或者 YB 證明 如果A和B是X中的隔離子集使得YAUB，則這說明AY和BY也是隔離子集然而 （AY）（BY）（AB）YY因此根據(jù)定理413，集合AY和BY中必有一個是空集如果 AY=，據(jù)上式立即可見 YB，如果 BY ，同理可見YA 定理415設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集，ZX滿足條件則 Z也是X的一個連通子集證明 假設(shè)Z是X中的一個不連通子集根據(jù)定理413，在 X中有非空隔離子集A和B使得Z=AB因此 YAUB由于Y是連通的，根據(jù)定理414，或者YA，或者YB,同理,。這兩種情形都與假設(shè)矛盾 定理416 設(shè)是拓

8、撲空間X的連通子集構(gòu)成的一個子集族如果，則是X的一個連通子集 證明 設(shè)A和B是X中的兩個隔離子集，使得，AB任意選取x，不失一般性，設(shè)xA對于每一個，由于連通，根據(jù)定理 4. 1 4，或者或者 ；由于 x A，所以根據(jù)定理 4 1 3，這就證明了是連通的 定理417 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個子集如果對于任意x，y Y存在X中的一個連通子集使得x，y Y，則Y是X中的一個連通子集證明 如果 Y=，顯然 Y是連通的下設(shè) Y,任意選取a Y，容易驗(yàn)證Y并且a應(yīng)用定理416，可見Y是連通的 我們曾經(jīng)說過，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)（參見§22）所謂拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，乃是為一個拓?fù)淇臻g具

9、有必為任何一個與其同胚的拓?fù)淇臻g所具有的性質(zhì)事實(shí)上，如果拓?fù)淇臻g的某一個性質(zhì)，它是藉助于開集或者藉助于經(jīng)由開集定義的其它概念表達(dá)的，則此性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì) 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)由于同胚是連續(xù)的滿射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì) 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性質(zhì)是一個可商性質(zhì)由于拓?fù)淇臻g到它的商空間的自然的投射是一個連續(xù)的滿射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是可商性質(zhì) 以下定理418指出，連通性（即一個

10、拓?fù)淇臻g是連通的這一性質(zhì)）是一個在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)因此，它是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是可商性質(zhì) 定理418 設(shè)f: XY是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個連續(xù)映射則f（X）是Y的一個連通子集證明 如果f（X）是Y的一個不連通子集，則存在Y的非空隔離子集A和B使得f（X）A B于是（A）和（B）是X的非空子集，并且 所以 （A）和（B）是 X的非空隔離子集此外， （A）（B）（AB）= (f(X)=X這說明X不連通與定理假設(shè)矛盾 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)P稱為有限可積性質(zhì)，如果任意n0個拓?fù)淇臻g都具有性質(zhì)p，蘊(yùn)涵著積空間也具有性質(zhì)p 例如，容易直接證明，如果拓?fù)淇臻g都是離散空間（平庸空間），則積空間也是

11、離散空間（平庸空間），因此我們可以說拓?fù)淇臻g的離散性和平庸性都是有限可積性質(zhì) 根據(jù)定理329以及緊隨其后的說明可見：假設(shè)已知拓?fù)淇臻g的某一個性質(zhì)p是一個拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)為了證明性質(zhì)p是一個有限可積性質(zhì)我們只要證明任何兩個具有性質(zhì)p的拓?fù)淇臻g的積空間也是具有性質(zhì)p的拓?fù)淇臻g定理419設(shè)是n個連通空間則積空間也是連通空間 證明 根據(jù)前一段中的說明，我們只要對于n=2的情形加以證明 首先我們指出：如果兩個點(diǎn)有一個坐標(biāo)相同，則有一個連通子集同時包含x和y不失一般性，設(shè) 定義映射k：使得對于任何有由于是取常值的映射，為恒同映射，它們都是連續(xù)映射，其中分別是到第 1和第 2個坐標(biāo)空間的投射因此，k是一個連續(xù)映

12、射根據(jù)定理418，k()是連通的此外易見，因此它同時包含 x和y 現(xiàn)在來證明：中任何兩個點(diǎn)同時屬于的某一個連通子集這是因?yàn)檫@時若令，則根據(jù)前段結(jié)論，可見有的一個連通子集同時包含 x和 z，也有的一個連通子集同時包含y和z由于z，所以根據(jù)定理41. 6，是連通的，它同時包含x和y 于是應(yīng)用定理417可見是一個連通空間 由于n維歐氏空間是n個實(shí)數(shù)空間R的笛卡兒積，而實(shí)數(shù)空間R又是一個連通空間，所以應(yīng)用這個定理可見，n維歐氏空間是一個連通空間 作業(yè): P.116 3. 5. 6. 8. 14. §42 連通性的某些簡單應(yīng)用本節(jié)重點(diǎn): 掌握實(shí)數(shù)空間R中的連通子集的”形狀” 掌握實(shí)數(shù)空間R的子

13、集中常見的連通子集與不連通子集.掌握常見的幾種空間的同胚與否的事實(shí). 讓我們回憶實(shí)數(shù)集合R中區(qū)間的精確定義：R的子集E稱為一個區(qū)間，如果它至少包含兩個點(diǎn)，并且如果a，bE，ab，則有 a，b=xR | axbE 讀者熟知，實(shí)數(shù)集合R中的區(qū)間共有以下九類： （-，），（a，），a，），（-，a），(-，a （a，b），（a，b，a，b），a，b因?yàn)?，一方面以上九類集合中的每一個顯然都是區(qū)間；另一方面，如果ER是一個區(qū)間，可視E有無上（下）界，以及在有上（下）界的情形下視其上（下）確界是否屬于E，而將E歸入以上九類之一在定理412中我們證明了實(shí)數(shù)空間R是一個連通空間由于區(qū)間（a，），（，a）和（a

14、，b）都同胚于R（請讀者自己寫出必要的同胚映射），所以這些區(qū)間也都是連通的；由于 根據(jù)定理415可見區(qū)間a，），（，a，a，b），（a，b和a，b都是連通的 另一方面，假設(shè)E是R的一個子集，并且它包含著不少于兩個點(diǎn)如果E不是一個區(qū)間，則, 也就是說,存在a<c<b,使得；從而，若令 A=（，c）E，B=(c，)E則可見A和B都是E的非空開集，并且有AB=E和AB=，因此E不連通. 綜合以上兩個方面，我們已經(jīng)證明了： 定理421 設(shè)E是實(shí)數(shù)空間R的一個子集E是包含著不少于兩個點(diǎn)的一個連通子集當(dāng)且僅當(dāng)E是一個區(qū)間 定理422設(shè)X是一個連通空間，f: XR是一個連續(xù)映射則f(X)是R中的

15、一個區(qū)間因此，如果x，yX，則對于f(x)與f(y)之間的任何一個實(shí)數(shù)t（即當(dāng)f(x)f(y)時，f(x)tf(y)；當(dāng)f(y)f(x)時，f(y)tf(x)，存在zX使得f(z)=t 證明 這個定理的第一段是定理418和定理421的明顯推論以下證明第二段設(shè)x，yX如果f（x）f（y），則沒有什么要證明的現(xiàn)在設(shè)f（x）f（y），并且不失一般性，設(shè)f（x）f（y）由于f（X）是一個區(qū)間，所以f（x），f（y）f（X）因此對于任何t，f(x)tf(y)，有tf(X)，所以存在zX,使得f（z）=t. 根據(jù)定理422，立即可以推出數(shù)學(xué)分析中的介值定理和不動點(diǎn)定理 定理423 介值定理設(shè)f: a，bR

16、是從閉區(qū)間a，b到實(shí)數(shù)空間R的一個連續(xù)映射則對于f（a）與f（b）之間的任何一個實(shí)數(shù)r，存在za，b使得f(z)=r 定理424不動點(diǎn)定理設(shè)f:0，10，1是一個連續(xù)映射則存在z0，1使得f(z)=z證明 如同數(shù)學(xué)分析中的證法那樣,只須構(gòu)造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可證得. 容易證明歐氏平面中的單位圓周是連通的.這是因?yàn)槿绻x映射f: R使得對于任意tR有f(t)=(cos2t,sin2t)，則易于驗(yàn)證f是一個連續(xù)映射，并且f(R)因此 是連通空間R在一個連續(xù)映射下的象，所以它是連通的設(shè)點(diǎn)稱為點(diǎn)x的對徑點(diǎn)映射r：使得任何x, 有r(x)=-x，稱為對徑映射對徑映射是一個連續(xù)映

17、射，因?yàn)樗菤W氏平面到自身的反射l：在單位圓周上的限制其中，映射l定義為對于任何,有l(wèi)（x）-x，容易驗(yàn)證（請讀者自行驗(yàn)證)是一個連續(xù)映射定理 4.2.5 Borsuk-Ulam定理 設(shè)f: R是一個連續(xù)映射則在中存在一對對徑點(diǎn)x和-x，使得f(x)=f(-x) 證明 (略) 我們已經(jīng)知道n維歐氏空間是連通空間，下面進(jìn)一步指出： 定理 426 n1維歐氏空間的子集-0是一個連通子集，其中0=（0，0，0） 證明 我們只證明 n2的情形根據(jù)定理 419，中的子集(-，0)×R和（0，）×R都是連通的由于所以根據(jù)定理415，中的子集A=0，）×R-0是連通的；同理，子

18、集B=(-，0×R-0是連通的由于AB以及AB=-0，所以根據(jù)定理4. 16可見，-0是連通的 一般情形的證明類似，請讀者自行補(bǔ)證. 定理426可以得到進(jìn)一步的改善（參見習(xí)題第4題）定理42. 7歐氏平面和實(shí)數(shù)空間R不同胚 證明 假設(shè)與R同胚，并且設(shè)f: R是一個同胚因此對于連續(xù)映射我們有但根據(jù)定理426，-0是連通的，而根據(jù)定理421，R-f(0)是不連通的這與定理418矛盾 定理427給出了利用拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)判定兩個空間不同胚的第一個實(shí)例 定理424，定理425和定理427盡管簡單但確有意思，特別是這幾個定理都有高維“版本”，我們分別陳述如下： 定理 4 2 8 Brouwer不動

19、點(diǎn)定理 設(shè)f：是一個連續(xù)映射，其中是n維球體則存在z 使得f（z）= z 定理 429BorsukUlam定理設(shè)f： 是一個連續(xù)映射，其中nm，則存在x 使得f（x）=f（-x） 定理4210如果nm，則歐氏空間和不同胚這些定理的證明（除去我們已經(jīng)證明過的情形）一般都需要代數(shù)拓?fù)渲R，例如同調(diào)論或同倫論，請參閱有關(guān)的專門書籍作業(yè)：P.121 4. §43 連通分支本節(jié)重點(diǎn):掌握連通分支的定義.(即連通”類”的分法) 掌握連通分支的性質(zhì)(定理4.3.1) 從前面兩節(jié)中的內(nèi)容可以看出，知道一個拓?fù)淇臻g是否連通給我們處理一些問題帶來很大的方便這導(dǎo)致我們?nèi)タ疾煲粋€我們并不知道是否連通的拓?fù)淇?/p>

20、間中的“最大”連通子集（即連通分支） 定義431設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，x，yX如果X中有一個連通子集同時包含x和y，我們則稱點(diǎn)x和y是連通的(注意:是點(diǎn)連通) 根據(jù)定義可見，如果x，y，z都是拓?fù)淇臻gX中的點(diǎn)，則 （1）x和x連通（因?yàn)槊恳粋€單點(diǎn)集都是連通子集）； （2）如果x和y連通，則y和x也連通；（顯然） (3) 如果x和y連通，并且y和z連通，則x和z連通（這是因?yàn)?，這時存在X中的連通子集A和B使得x，yA和y，zB從而由于yAB可見AB連通，并且x，zAB因此x和z連通） 以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的連通關(guān)系是一個等價關(guān)系 定義432 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g對于X中的點(diǎn)的連通關(guān)系而言的每

21、一個等價類稱為拓?fù)淇臻gX的一個連通分支 如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個子集Y作為X的子空間的每一個連通分支稱為X的子集Y的一個連通分支 拓?fù)淇臻gX的每一個連通分支都不是空集；X的不同的連通分支無交；以及X的所有連通分支之并便是X本身此外，x，yX屬于X的同一個連通分支當(dāng)且僅當(dāng)x和y連通 拓?fù)淇臻gX的子集A中的兩個點(diǎn)x和y屬于A的同一個連通分支當(dāng)且僅當(dāng)A有一個連通子集同時包含點(diǎn)x和y 定理431設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，C是拓?fù)淇臻gX的一個連通分支則 （1）如果 Y是X的一個連通子集，并且 YC； （2）C是一個連通子集； （3）C是一個閉集 本定理中的條件（1）和（2）說明，拓?fù)淇臻g的每一個連通分支都是X

22、的一個最大的連通子集 證明 （1）任意選取x YC對于任何yY由于x和y連通，故yC這證明YC （2）對于任何x，yC，根據(jù)定義可見，存在X的一個連通子集使得x，y顯然C，故根據(jù)（1），C應(yīng)用定理417可知，C是連通的 （3）由于C連通，根據(jù)定理415，連通顯然，。所以根據(jù)（1），從而C是一個閉集 但是，一般說來連通分支可以不是開集例如考慮有理數(shù)集Q（作為實(shí)數(shù)空間R的子空間）設(shè)x，yQ，xy不失一般性，設(shè)xy如果Q的一個子集E同時包含x和y，令A(yù)=(-，r)E和B=(r，)E，其中r是任何一個無理數(shù)，xry此時易見A和B都是Q的非空開集，并且EAB因此E不連通以上論述說明E中任何一個包含著多于

23、兩個點(diǎn)的集合都是不連通的，也就是說，Q的連通分支都是單點(diǎn)集然而易見Q中的每一個單點(diǎn)集都不是開集 記住這個事實(shí):任一個集合A都可以由含于它內(nèi)部的所有連通分支的并而成(且這些連通分支互不相交).即使是離散空間,它的每一個點(diǎn)自成連通分支,這個結(jié)論也成立. 作業(yè): P.123 1. 3. 4. 8. §44局部連通空間 本節(jié)重點(diǎn): 掌握局部連通的定義與性質(zhì)(定理4.4.1-4.4.3) 掌握連通與局部連通的關(guān)系.引進(jìn)新的概念之前，我們先來考察一個例子 例441在歐氏平面中令S=(x,sin(1/x) | x(0,1T=0×-1,1,其中S被稱作拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線，它是區(qū)間（0，1在

24、一個連續(xù)映射下的象，因此是連通的此外，也容易驗(yàn)證 ST，因此 ST也是連通的盡管如此，倘若我們查看中的點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)它們明顯地分為兩類：S中的每一個點(diǎn)的任何一個“較小的”鄰域中都包含著一個連通的鄰域，而T中的每一個點(diǎn)的任何一個鄰域都是不連通的.我們用以下的術(shù)語將這兩個類型的點(diǎn)區(qū)別開來 定義441設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，xX如果x的每一個鄰域U中都包含著x的某一個連通的鄰域V，則稱拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處是局部連通的 如果拓?fù)淇臻gX在它的每一個點(diǎn)處都是局部連通的，則稱X是一個局部連通空間 回到例441中所定義的拓?fù)淇臻g容易證明，在其屬于S的每一個點(diǎn)處是局部連通的，而在其屬于T的每一個點(diǎn)處都不是局部連通的也因

25、此，盡管是一個連通空間，但它卻不是一個局部連通的空間 局部連通的拓?fù)淇臻g也不必是連通的例如，每一個離散空間都是局部連通空間，但包含著多于兩個點(diǎn)的離散空間卻不是連通空間又例如，n維歐氏空間的任何一個開子空間都是局部連通的（這是因?yàn)槊恳粋€球形鄰域都同胚于整個歐氏空間，因而是連通的），特別，歐氏空間本身是局部連通的另一方面，歐氏空間中由兩個無交的非空開集的并作為子空間就一定不是連通的（請讀者自己證明）此外根據(jù)定義立即可見：拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)xX處是局部連通的當(dāng)且僅當(dāng)x的所有連通鄰域構(gòu)成點(diǎn)x處的一個鄰域基，定理 441設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g則以下條件等價： （1）X是一個局部連通空間； （2）X的任何一個開集

26、的任何一個連通分支都是開集； （3）X有一個基，它的每一個元素都是連通的 證明（1）蘊(yùn)涵（2）設(shè)C是X的一個連通分支,如果xC，由于U是x的一個鄰域，所以當(dāng)（1）成立時x有一個連通鄰域V包含于U又由于VC包含著點(diǎn)x,所以不是空集，根據(jù)定理431可見因此C這證明C是屬于它的任何一個點(diǎn)x的鄰域，因此C是一個開集 （2）蘊(yùn)涵（3）若（2）成立，則X的所有開集的所有連通分支（它們都是開集）構(gòu)成的集族，由于每一個集合是它的所有連通分支之并，恰是X的一個基 （3）蘊(yùn)涵(1)顯然 我們常用到定理441的一個推論：局部連通空間的每一個連通分支都是開集 定理442 設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，其中X是局部連通的又設(shè)f

27、: XY是一個連續(xù)開映射 則 f（X）是一個局部連通空間證明 根據(jù)定理441，可設(shè)B是X的一個基，其中的每一個元素都是連通的對于每一個BB，集合f(B)是連通的，并且由于 f是一個開映射，f（B）是 Y中的一個開集，因此也是 f（X）的一個開集這證明集族B1=f（B）| BB是一個由f（X）的連通開集構(gòu)成的族我們指出B1是f(X)的一個基，這是因?yàn)?，如果U是f(X)中的一個開集，則（U）是X中的一個開集，因此 是B1中某些元素之并于是根據(jù)定理44l可知f（X）是局部連通的根據(jù)定理442易見，拓?fù)淇臻g的局部連通性是一個拓?fù)洳蛔冃再|(zhì). 定理443設(shè)是n1個局部連通空間則積空間也是局部連通空間 證明

28、 (略) 應(yīng)用這些定理，有些事情說起來就會簡單得多例如，實(shí)數(shù)空間R由于所有的開區(qū)間構(gòu)成它的一個基，所以它是局部連通的；n維歐氏空間是n個R的積空間，所以它也是局部連通的當(dāng)然這些事情我們早就知道了 作業(yè): P.127 1. 2. 3. §45 道路連通空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握道路連通的概念、性質(zhì)。 掌握連通、局部連通、道路連通之間的聯(lián)系與區(qū)別。 掌握道路連通分支的概念。 掌握中子集的連通性質(zhì)。較之于連通空間的概念，道路連通空間這個概念似覺更符合我們的直覺因而易于理解些我們先定義“道路”定義451設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g從單位閉區(qū)間0，1X的每一個連續(xù)映射f: 0，1X叫做X中的一條道路，并且此時f

29、(0) 和f(1) 分別稱為道路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)當(dāng)xf（0）和yf（1）時，稱f是X中從x到y(tǒng)的一條道路起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的道路稱為閉路，并且這時，它的起點(diǎn)（也是它的終點(diǎn)）稱為閉路的基點(diǎn) 如果f是X中的一條道路，則道路f的象集f(0，l)稱為 X中的一條曲線或弧，并且這時道路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)也分別稱為曲線f(0,1)的起點(diǎn)和終點(diǎn) 或許應(yīng)當(dāng)提醒讀者，“道路”這個詞在這里所表達(dá)的意思已經(jīng)與我們對它原有的理解頗有不同，希望讀者不要因此而混淆了我們在這里嚴(yán)格定義的道路和曲線這兩個不同的概念 定義452 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g如果對于任何x，y，存在著X中的一條從x到y(tǒng)的道路（或曲線），我們則稱X是一個道路連通空間

30、X中的一個子集Y稱為X中的一個道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個道路連通空間(Y是否道路連通與X是否道路連通沒有關(guān)系) 實(shí)數(shù)空間R是道路連通的這是因?yàn)槿绻鹸，yR，則連續(xù)映射f:0，1R定義為對于任何t0,1有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點(diǎn)以y為終點(diǎn)的道路、也容易驗(yàn)證任何一個區(qū)間都是道路連通的 定理451如果拓?fù)淇臻g X是一個道路連通空間，則X必然是一個連通空間證明 對于任何x，yX，由于X道路連通，故存在從x到y(tǒng)的一條道路f:0，lX這時曲線f（0,1），作為連通空間0，l在連續(xù)映射下的象，是X中的一個連通子集，并且我們有x，yf（0，1）因此根據(jù)定理4.1.7可

31、見X是一個連通空間。 連通空間可以不是道路連通的我們已經(jīng)指出例44l中的是一個連通空間不難證明（留作習(xí)題，見習(xí)題第3題）它不是道路連通的 道路連通與局部連通之間更沒有必然的蘊(yùn)涵關(guān)系、例如離散空間都是局部連通的，然而包含著多于兩個點(diǎn)的離散空間不是連通空間，當(dāng)然也就不是道路連通空間了 定理452設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，其中X是道路連通的，f: XY是一個連續(xù)映射 則 f（X）是道路連通的 證明 設(shè) 由于X是道路連通的，故X中有從到的一條道路g：0，1X易見，映射h：0，1f(X)，定義為對于任意t0，1有h（t）=fg（t），是f（X）中從到的一條道路這證明f（X）是道路連通的 根據(jù)定理4. 52

32、可見，空間的道路連通性是一個拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是一個可商性質(zhì). 定理453 設(shè)是n1個道路連通空間則積空間也是道路連通空間證明 我們只需要對n2的情形加以證明設(shè)對于i=l，2，由于是道路連通空間，故在中有從到的一條道路：0，1定義映射 f： 0，1 ，使得對于任何t0，l 有f（t）（)容易驗(yàn)證（應(yīng)用定理32. 7）f是連續(xù)的，并且有f(0)=x, f(1)=y這也就是說f是中從x到y(tǒng)的一條道路這證明 是一個道路連通空間 作為定理453的一個直接的推論立即可見：n維歐氏空間是一個道路連通空間（這個結(jié)論也容易直接驗(yàn)證） 為了今后的需要我們證明以下引理， 定理454 粘結(jié)引理 設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中

33、的兩個開集（閉集），并且有XAB又設(shè)Y是一個拓?fù)淇臻g，：AY和：BY是兩個連續(xù)映射，滿足條件： 定義映射f: XY使得對于任何xX， f（x） 則f是一個連續(xù)映射證明 首先注意，由于，映射f的定義是確切的因?yàn)楫?dāng)xAB時，有 其次，我們有：對于Y的任何一個子集Z有 這是由于現(xiàn)在設(shè)U是Y的一個開集由于都連續(xù)，所以分別是A和B的開集然而A和B都是X的開集，所以也都是 X的開集因此是X的一個開集這便證明了f是一個連續(xù)映射當(dāng)A和B都是X的閉集時，證明是完全類似的 我們現(xiàn)在按建立連通分支概念完全類似的方式建立道路連通分支的概念 定義 4. 53設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，x，yX如果X中有一條從x到y(tǒng)的道路，我們

34、則稱點(diǎn)x和y是道路連通的(注意:是”點(diǎn)”道路連通)根據(jù)定義可見，如果x，y，z都是拓?fù)淇臻gX中的點(diǎn)，則 （1）x和x道路連通；（因?yàn)槿〕Ｖ档挠成鋐: 0，1X（它必然是連續(xù)的）便是一條從x到x的道路） （2）如果x和y連通，則y和x也連通；(設(shè)f:0，1X是X中從x到y(tǒng)的一條道路定義映射 j：0，lX，使得對于任何t0，l有j（t）f（1t）容易驗(yàn)證j是一條從y到x的道路) (3) 如果x和y連通，并且y和z連通，則x和z連通（設(shè)：0，1X分別是X中從x到y(tǒng)和從y到z的道路定義映射f:0，1X使得對于任何t0，l， 應(yīng)用粘結(jié)引理立即可見f是連續(xù)的，此外我們有f（0）（0）=x和f(1)=(1)

35、=z因此f是從x到z的一條道路） 以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的道路連通關(guān)系是一個等價關(guān)系 定義454設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g對于X中的點(diǎn)的道路連通關(guān)系而言的每一個等價類稱為拓?fù)淇臻gX的一個道路連通分支 如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個子集Y作為X的子空間的每一個道路連通分支稱為X的子集Y的一個道路連通分支 拓?fù)淇臻gX的每一個道路連通分支都不是空集；X的不同的道路連通分支無交；以及X的所有道路連通分支之并便是X本身此外，x，y X屬于X的同一個道路連通分支當(dāng)且僅當(dāng)x和y道路連通 拓?fù)淇臻gX的子集A中的兩個點(diǎn)x和y屬于A的同一個道路連通分支的充分必要條件是A中有一條從x到y(tǒng)的道路 根據(jù)定義易見，拓?fù)淇臻g中每一

36、個道路連通分支都是一個道路連通子集；根據(jù)定理451，它也是一個連通子集；又根據(jù)定理43l，它必然包含在某一個連通分支之中 作為定理45l在某種特定情形下的一個逆命題，我們有下述定理： 定理455 n維歐氏空間的任何一個連通開集都是道路連通的 證明 首先我們注意n維歐氏空間中的任何一個球形鄰域都是道路連通的，這是因?yàn)樗哂趎維歐氏空間本身 其次證明 n維歐氏空間的任何一個開集的任何一個道路連通分支都是一個開集：設(shè)U是的一個開集，C是U的一個道路連通分支設(shè)xC由于U是一個包含x的開集，所以也包含著以x為中心的某一個球形鄰域B（x，）由于球形鄰域B(x,)是道路連通的，并且B（x，）C包含著x，故

37、非空,這導(dǎo)致B（x，） C所以C是一個開集 最后,設(shè)V是的一個連通開集如果V，則沒有什么要證明的下設(shè)VV是它的所有道路連通分支的無交并，根據(jù)前一段中的結(jié)論，每一個道路連通分支都是開集因此如果V有多于一個道路連通分支，易見這時V可以表示為兩個無交的非空開集之并，因此V是不連通的，這與假設(shè)矛盾。因此V只可能有一個道路連通分支，也就是說V是道路連通的 推論456 n維歐氏空間中任何開集的每一個道路連通分支同時也是它的一個連通分支 證明 由于n維歐氏空間是一個局部連通空間，根據(jù)定理441，它的任何開集的任何連通分支都是開集.根據(jù)定理4.5.5，的任何開集的任何連通分支都是道路連通的，因此包含于這個開集

38、的某一個道路連通分支之中另一方面任何一個集合的道路連通分支，由于它是連通的，所以包含于這個集合的某一個連通分支之中因此，本推論的結(jié)論成立 通過引進(jìn)局部道路連通的概念，定理455和推論456的結(jié)論可以得到推廣（參見習(xí)題5）作業(yè): P.132 1. 2. 本章總結(jié)：（1）有關(guān)連通、局部連通、道路連通均為某個集合的概念，與這個集合的母空間是否連通、局部連通、道路連通無關(guān)。 （2）掌握連通、局部連通、道路連通這三者之間的關(guān)系。 （3）記住中的哪些子集是連通、局部連通、道路連通的。 （4）連通、局部連通、道路連通分支是一個分類原則，即每個集合都是若干個某某分支的并，任兩個不同的分支無交，每個分支非空。若

39、兩個分支有交，則必是同一個分支。 （5）連通是本章的重點(diǎn)。（6）掌握證明連通、不連通及道路連通的方法。特別注意反證法。（7）掌握連通性、局部連通性、道路連通是否是連續(xù)映射所保持的、有限可積的、可遺傳的。半期復(fù)習(xí)主要復(fù)習(xí)兩個內(nèi)容：拓?fù)鋵W(xué)研究的思路與成果；常見證明方法。一 研究的思路與成果1預(yù)備知識：（1）集合的三種運(yùn)算的定義與證明方法： 并、交、差：AB、AB、A-B（2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特點(diǎn)？ f（AB）=f（A）f（B） f（AB）f（A）f（B） 當(dāng)f為單射時，取等號 f（A-B）f（A）-f（B） 當(dāng)f為單射時，取等號（3）集合的并、交、差運(yùn)算關(guān)于f的原象有什么特

40、點(diǎn)？ 一句話：保持運(yùn)算。即 （4） f滿時取等號 f單時取等號（5）等價關(guān)系、等價類的定義，作用 等價類是一種分類方法，將等價類看成一個元素，所有這樣元素的集合就是原集合的商集。（5）有限集與無限集、可數(shù)集與不可數(shù)集大不相同。2拓?fù)淇臻g（1）度量空間、球形鄰域、開集、連續(xù)映射的定義。（2）拓?fù)淇臻g的定義 拓?fù)淇臻g是所有數(shù)學(xué)空間中最基礎(chǔ)的空間（是所有數(shù)學(xué)空間的交集）它只具有開集。（3）模仿實(shí)數(shù)空間，在拓?fù)淇臻g中引進(jìn)實(shí)數(shù)空間的性質(zhì)。 定義了鄰域、閉集、閉包、凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集 定義了連續(xù)映射，并利用閉集、閉包給出了連續(xù)映射的等價命題。（4）模仿高等代數(shù)，給出了基的概念。（5）定義了序列及極限點(diǎn)。思路：模

41、仿實(shí)數(shù)空間，在拓?fù)淇臻g中引進(jìn)實(shí)數(shù)空間的性質(zhì)。同時也剖析了實(shí)數(shù)空間，使我們對實(shí)數(shù)空間的認(rèn)識更深刻。因此，我們在研究各種性質(zhì)時，應(yīng)不斷探討：R中是否具有這種性質(zhì)？與R中的相應(yīng)性質(zhì)有何區(qū)別？3從拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g（1）子空間的定義，子空間中開集、閉集、閉包、導(dǎo)集、鄰域的結(jié)構(gòu)。（2）積空間極其基的概念。（3）商空間的定義4關(guān)于連通性（1）不連通與連通的概念。這概念只是關(guān)于子集本身的性質(zhì)，與母空間、子空間無關(guān)。（2）如何判斷連通與不連通？（3）R中連通子集的性質(zhì)。（4）局部連通、道路連通的定義及三種連通之間的蘊(yùn)涵關(guān)系。（5）將一般空間中的點(diǎn)按連通、道路連通分類，即連通分支、道路連通分支。（6）中子集的的連通性（7）連續(xù)映射對三種連通空間的象的影響。二常見證明方法 1證明集合包含 相等 2證明連續(xù)映射：反射開集、閉集、鄰域3證明開集：定理2.3.1。在連續(xù)映射下，是否是開集的原象？4 5.證明凝聚點(diǎn); 證明不是凝聚點(diǎn): 證明閉包:6.證明序列收斂于x,用定義;證明序列收斂,用反證法.7.證明連通,常用反證法,導(dǎo)出某個隔離子集是空集.8.常在一個集合關(guān)系式的兩邊同取f、閉包等9常用反證法復(fù)習(xí)參考：一. 判斷題(每小題3分)1. 集合X的一個拓?fù)溆胁恢灰粋€基,一個基也可以生成若干個拓