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1、一 函數(shù)、極限、連續(xù)1 函數(shù)的性質(zhì)a 有界性(1)定義:,,有.(2) 無(wú)界:, ,有.(3) 無(wú)界與無(wú)窮:無(wú)界的本質(zhì)是有一個(gè)子列趨向于無(wú)窮;無(wú)窮的本質(zhì)是任意的子列趨向無(wú)窮。b 奇偶性(1)定義:偶;奇 。(2) 導(dǎo)函數(shù):奇導(dǎo)偶,偶導(dǎo)奇.(3) 原函數(shù):奇原偶, 偶函數(shù)的原函數(shù)有且僅有一個(gè)為奇函數(shù).c 周期性(1)定義:(2) 導(dǎo)函數(shù):導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù)并且周期相同d 單調(diào)性(1)定義:遞增(遞減) 當(dāng)時(shí),均有(2) 導(dǎo)函數(shù):?jiǎn)卧?減);單增(減). 一 函數(shù)、極限、連續(xù)1 函數(shù)的性質(zhì)a 有界性(1)定義:, ,有.(2) 無(wú)界:, ,有.(3) 無(wú)界與無(wú)窮:無(wú)界的本質(zhì)是有一個(gè)子列趨向于無(wú)窮;
2、無(wú)窮的本質(zhì)是任意的子列趨向無(wú)窮。b 奇偶性(1)定義:偶;奇 。(2) 導(dǎo)函數(shù):奇導(dǎo)偶,偶導(dǎo)奇.(3) 原函數(shù):奇原偶, 偶函數(shù)的原函數(shù)有且僅有一個(gè)為奇函數(shù).c 周期性(1)定義:(2) 導(dǎo)函數(shù):導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù)并且周期相同d 單調(diào)性(1)定義:遞增(遞減) 當(dāng)時(shí),均有(2) 導(dǎo)函數(shù):?jiǎn)卧?減);單增(減).例1 設(shè)(A) 偶函數(shù) (B)有界函數(shù) (C) 周期函數(shù) (D)單調(diào)函數(shù)分析:(A) 則是偶函數(shù).(B) 取, 則, 故無(wú)界.(C) 若為周期函數(shù),設(shè)周期為, , 故而, 從而 顯然,當(dāng), 顯然, 故而不是周期函數(shù).(D) 設(shè), 故而不是單調(diào)函數(shù).例2 設(shè)是一個(gè)奇的連續(xù)函數(shù),則下面必定是
3、奇函數(shù)的是( )(A)(B)(C)(D)根據(jù)上面條件無(wú)法判斷分析: (A) 是偶函數(shù), 從而(A)是奇函數(shù).(B) 是奇函數(shù), 從而(B)是偶函數(shù).(C) 是奇函數(shù), 偶函數(shù).例3 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),并滿(mǎn)足且若則(B)(A)(B)(C) (D)分析: 顯然是奇函數(shù), 故而是偶函數(shù)且為周期為1的函數(shù), 則.2 極限的定義和性質(zhì)a 一元函數(shù)的極限與性質(zhì)(1) :,,當(dāng)時(shí),有.(2) 推論: 若, 則不存在.(3) 當(dāng)有(4) 四則運(yùn)算(略). 它的一個(gè)重要推論如下: 若,則.b 二元函數(shù)(1) :,,當(dāng)時(shí),有.(2)推論:若按兩路徑趨向于所得極限不同,則不存在.(3) 當(dāng)有例4設(shè),求和。分析:例
4、5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù),且,則點(diǎn)(0,0)是( )(A)極大值點(diǎn)(B)極小值點(diǎn)(C)不是極值點(diǎn) (D)根據(jù)上面條件無(wú)法判斷3 一元函數(shù)極限的計(jì)算a 四則運(yùn)算和等價(jià)無(wú)窮小代換.例6.例7 求b 三大恒等變形1).含的極限. 若直接計(jì)算且, 直接利用公式 將寫(xiě)成求解.例8例92)有理化變形例10例11 求3) 分子、分母同時(shí)除以最大的無(wú)窮大常見(jiàn)的無(wú)窮比較: 例12例13d洛必達(dá)法則和泰勒定理函數(shù)進(jìn)行泰勒定理展開(kāi)時(shí), 只要展開(kāi)到首次不同項(xiàng)即可.例14設(shè)函數(shù),則當(dāng)時(shí),是的()(A)低階無(wú)窮?。˙)高階無(wú)窮?。–)等價(jià)無(wú)窮?。―)同階但不等價(jià)的無(wú)窮小例15 求.4 二元函數(shù)極限的計(jì)算a利用夾逼準(zhǔn)則、
5、等價(jià)無(wú)窮小、初等函數(shù)的連續(xù)性等轉(zhuǎn)化為為一元函數(shù)的極限.例16求例17求b 選擇不同的路徑得到不同的極限從而極限不存在.例18 請(qǐng)說(shuō)明是否存在.5 連續(xù)函數(shù)a 定義: .b 運(yùn)算:連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商(分母不為零),仍連續(xù); 連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù)。c 閉區(qū)域(區(qū)間)連續(xù)函數(shù)性質(zhì): 有界性、最值性、介值性、零點(diǎn)定理.推論: 設(shè)在連續(xù),且存在, 則在有界.例19(04) 設(shè)函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界( )A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)例20 設(shè)在連續(xù),求證存在使得. 二微分學(xué)1 導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)a 導(dǎo)數(shù)定義: 1)存在.2)存在在可微
6、在連續(xù).3)若, 在連續(xù),則存在若, 在連續(xù), 則存在.b 偏導(dǎo)數(shù)定義: ,.1) 在可微2) 例1設(shè), 則在原點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)有( )(A) 偏導(dǎo)存在,偏導(dǎo)不存在 (B) 偏導(dǎo)不存在,偏導(dǎo)也不存在(C) 偏導(dǎo)不存在, 偏導(dǎo)存在 (D) 偏導(dǎo)存在,偏導(dǎo)也存在例2討論二元函數(shù) 在處的連續(xù)性、偏導(dǎo)是否存在和可微性例3可導(dǎo), ,則是存在的( )條件A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 即非充分也非必要2 顯函數(shù)求導(dǎo)公式a 常見(jiàn)的求導(dǎo)公式: 四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(略).b微分方法求導(dǎo)(偏導(dǎo)數(shù)): 利用微分形式不變性求出微分, 自變量微分的系數(shù)就是所要求的導(dǎo)數(shù).c連環(huán)相乘的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:設(shè),兩邊取對(duì)數(shù)從
7、而例4設(shè) 求和.例5 設(shè), 求.例6 設(shè)求3 特殊函數(shù)的求導(dǎo)方法a參數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法: ; .b反函數(shù)求導(dǎo)法: ; c變上限函數(shù)求導(dǎo)法則: 其他形式的變上限函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算或者換元變成上面的形式.d 分段函數(shù)的求導(dǎo)方法: 定義是唯一的途徑.例7 設(shè)在和上連續(xù),和分別為在和的原函數(shù),令 又在上連續(xù),問(wèn)是否為在的一個(gè)原函數(shù)?例8設(shè)滿(mǎn)足,求它的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例9求常數(shù)a,b使函數(shù)處處可導(dǎo),并求出導(dǎo)數(shù)例10 設(shè)在(,+ )連續(xù)且,求例11 設(shè)f(x)在(,+)連續(xù),又,求例12設(shè),求4隱函數(shù)求導(dǎo)公式: 兩邊同時(shí)求導(dǎo)或者求微分.例13設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),又函數(shù)及分別由下列兩式確定和,求.例14 設(shè), 證
8、明.5極值問(wèn)題a 顯函數(shù)極值問(wèn)題先求出駐點(diǎn)()或者導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(偏導(dǎo)不存在考研不要求);再進(jìn)行判斷,一元函數(shù)可以用在可疑點(diǎn)附近的領(lǐng)域判斷或者在可疑點(diǎn)的值判斷, 二元函數(shù)只能用二階偏導(dǎo)判斷.b隱函數(shù)極值問(wèn)題先求可疑點(diǎn),再判斷但是隱函數(shù)只能用二階導(dǎo)數(shù)判斷.c 條件極值1)方法1: 消去條件,將條件問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為無(wú)條件問(wèn)題.2)方法2: 利用Lagrange法將條件問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化無(wú)條件問(wèn)題.例15求函數(shù)在約束條件和的最大值與最小值例16 求方程所確定的隱函數(shù)的極值.例17設(shè)函數(shù)由方程確定,試求的駐點(diǎn),并判斷是否為極值.例18 求單調(diào)區(qū)間和最值.例19 設(shè)在x = 0某鄰域連續(xù),則在x = 0處(A)
9、不可導(dǎo) (B)可導(dǎo)且(C)有極大值 (D)有極小值6 有界閉區(qū)域上的最值先求內(nèi)部可能點(diǎn),再求邊界可能點(diǎn). 一元函數(shù)的邊界可能點(diǎn)即為左右端點(diǎn), 二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為求滿(mǎn)足邊界方程的可能條件極值點(diǎn), 一般利用Lagrange乘子法.其次,求出所有可能點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,其中的最大值就為總體最大值,最小值就為總體最小值.例20求的最值.7中值定理的證明問(wèn)題a) 直接證明型: 參數(shù)放在等式右邊,左邊為或的形式,直接利用拉格朗日或者柯西中值定理。例21 證明.例22證明b) 構(gòu)造函數(shù)型: 構(gòu)造函數(shù)利用洛爾定理.1)簡(jiǎn)單型:直接可以寫(xiě)出要構(gòu)造的函數(shù),如下面的幾個(gè)形式:,2)標(biāo)準(zhǔn)型:. 構(gòu)造的函數(shù)為.例23 設(shè)在上連
10、續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且滿(mǎn)足:,證明:至少存在一點(diǎn),使得,.例24 設(shè),在上皆連續(xù),內(nèi)皆可導(dǎo),且,則存在,使.8函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題a) 一般若是討論根的個(gè)數(shù)問(wèn)題. 主要步驟如下:1) 寫(xiě)出方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)2)利用導(dǎo)數(shù)列表研究函數(shù)的單調(diào)性3) 分析各個(gè)單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)值(或極限值)的符號(hào)(事實(shí)上就是零點(diǎn)定理),得到根的個(gè)數(shù).b)根的唯一型問(wèn)題. 主要步驟如下:1) 寫(xiě)出方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)2)證明函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性. 3)證明區(qū)間端點(diǎn)值(或極限值)的異號(hào)。例25 當(dāng)取下列哪個(gè)值時(shí),函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn) ( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8例26 設(shè)有方程,其中為正整數(shù),證明此方程存在惟一正根,并求
11、。9 輔助函數(shù)法證明不等式步驟1:設(shè)置一個(gè)自變量,構(gòu)造自變量的函數(shù);步驟2:對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求最值, 將最值和要證明的值做比較。注: 同一問(wèn)題可以構(gòu)造很多函數(shù),選擇導(dǎo)數(shù)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)。例27 若,證明 。例28 若,證明。例29證明當(dāng)時(shí)有 .10 導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單幾何應(yīng)用a) 切線: , 切點(diǎn)的斜率為該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù).b) 曲線的切向量及切線和法平面方程(數(shù)學(xué)一)1)曲線方程為, 的切向量為,2)曲線方程,處切向量c) 曲面的法向量及切平面和法線方程(數(shù)學(xué)一)1),處的法向量2)若曲面方程為,寫(xiě)成之后,其法向量,此指向與軸正向夾角為銳角.例30 函數(shù)在附近有定義且則(A)(B)曲面在點(diǎn)的法向量為.
12、(C)曲線在點(diǎn)的切向量為.(D)曲線在點(diǎn)的切向量為.三 積 分1 積分的基本性質(zhì)與定義a) 定積分1)定義:. 右端點(diǎn): 左端點(diǎn): 2) 定積分的主要性質(zhì).若則.特別的:又有但兩個(gè)函數(shù)不全相等,則.中值定理. 設(shè)在上連續(xù),則存在使得. b) 二重積分1)定義:. 2) 二重積分的主要性質(zhì)., 其中.若則.特別的:又有但兩函數(shù)不全相等,則.中值定理. 設(shè)在上連續(xù),則存在使得. c) 定積分和二重積分都是數(shù).例1 等于( )( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 例2 求.例3設(shè)閉區(qū)域:。是上的連續(xù)函數(shù)且,求例4 比較與的大小.2 積分計(jì)算中的對(duì)稱(chēng)與周期方法a) 定積分的對(duì)稱(chēng)與周期.1)
13、2)設(shè)以為周期,則. 特別的: 在上面的條件下還有.3) 二重積分的對(duì)稱(chēng)性關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng). 若還有, 則例5設(shè)函數(shù),(1)當(dāng)為正整數(shù),且時(shí),證明:;(2)求.例6 設(shè),則下面的二重積分為0的是()(A) (B) (C) (D) 例4 設(shè)區(qū)域?yàn)镈上的正值連續(xù)函數(shù),a,b為常數(shù),求?3 定積分(反常積分)的計(jì)算方法a) 常見(jiàn)方法.1)基本思想: 牛萊公式2)基本方法:湊(湊微分)、代(代換法)、分(分部積分法).例5 .例6 求積分.b) 特殊技巧1)對(duì)直接不好積分的函數(shù), 采用積分變量替換的方法,一般情形下做替換時(shí)要注意積分區(qū)間不變. 常用的替換為:等等.2) 直接求解或者配對(duì)相
14、加求解.例7 對(duì)實(shí)數(shù),求例8 設(shè),在區(qū)間上連續(xù),為偶函數(shù),且滿(mǎn)足條件(為常數(shù)).(1)證明:;(2)能利用(1)的結(jié)論計(jì)算.4 二重積分的計(jì)算a) 常規(guī)計(jì)算方法.1)選擇坐標(biāo)積分. 極坐標(biāo): ; 為圓型區(qū)域.2) 選擇積分順序. 極坐標(biāo)一般先后.直角坐標(biāo): 首個(gè)積分必須能算出來(lái), 順便考慮使劃分的區(qū)域盡量少.例9設(shè)D為圓域x2 + y2R2,則例10 求,其中D由直線以及曲線圍成例12 交換的積分順序.例13 求.b) 特殊技巧(可以處理乘積型積分不等式)1)交換積分順序2) 配對(duì)相加求解.例13 在區(qū)間連續(xù),證明.例14 證明.5 特殊函數(shù)的積分a) 變上限函數(shù)的定積分: 分部積分法或者轉(zhuǎn)化
15、為二重積分.b) 分段函數(shù)積分.1) 寫(xiě)出各區(qū)域分段函數(shù).2) 畫(huà)出積分區(qū)域,對(duì)其進(jìn)行其劃分.3)各區(qū)域積分相加.例16求.例17 .例18 計(jì)算.例19 計(jì)算積分6 積分的應(yīng)用a) 面積b) 體積; 例20 求由與確定的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.例21已知拋物線(其中)在第一象限內(nèi)與直線相切,且此拋物線與軸所圍成的平面圖形的面積為,(1)問(wèn)和何值時(shí),達(dá)最大值?(2)求出此最大值.7 積分型等式、不等式的證明a) 等式若兩邊都為積分: 一般采取換元法或者分部積分法證明.b) 等式或不等式兩邊不含中值點(diǎn): 往往采取構(gòu)造輔助函數(shù)方法證明.c) 上面兩個(gè)方法不行時(shí)(如含有中值點(diǎn)、絕對(duì)值等
16、): 一般采取積分中值定理、微分中值定理證明(Lagrange和Taylor).例22 設(shè)f(x)在a,b有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),證明:例23 設(shè)在有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),.證明:例24當(dāng)時(shí),證明(為自然數(shù))的最大值不超過(guò).例25 且單調(diào)遞增,證明.四 微分方程、差分方程1 一階微分方程的求解a) 可分離: , 則.b)齊次:,令 則.c) 一階線性方程1)解的結(jié)構(gòu):為齊次線性方程的特解,則線性組合齊次線性通解. 若非齊次的特解,則是此非齊次線性方程的通解。2)解的表述: 則例1 求的通解。例2 例3 已知函數(shù)在任意點(diǎn)x處的增量,且當(dāng)時(shí),是比較高階的無(wú)窮小,則( )(A)2 (B) (C) (D)2 二階線性
17、微分方程a) 解的結(jié)構(gòu).1) ,為齊次線性方程的兩特解,則也是解.特別地,與線性無(wú)關(guān)時(shí),則方程的通解為。若非齊次的特解,則是此非齊次線性方程的通解。2)疊加原理:若y1是方程的一個(gè)解,y2是方程的一個(gè)解,則y1 + y2就是方程的一個(gè)解b) 常系數(shù)微分方程1)齊次線性微分方程特征根線性無(wú)關(guān)二解實(shí)根實(shí)根復(fù)根2)非齊次線性微分方程:r與,的關(guān)系特解y*的形式r,rr=,rr=,r=不是特征根是特征根例4 是二階常線性微分方程的三個(gè)解,求此微分方程.例5 求微分方程的通解.3 積分方程和函數(shù)方程統(tǒng)統(tǒng)轉(zhuǎn)化為微分方程, 若可導(dǎo)直接求導(dǎo),未已知可導(dǎo)用導(dǎo)數(shù)定義.例6 設(shè)函數(shù)連續(xù),求解方程:例7 設(shè),其中,在
18、內(nèi)滿(mǎn)足以下條件,且,(1) 求所滿(mǎn)足的一階微分方程 (2)求出的表達(dá)式例8 設(shè), 且,求.五 無(wú)窮級(jí)數(shù)(數(shù)學(xué)一、三)1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念a)稱(chēng)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 稱(chēng)為第項(xiàng)或通項(xiàng).b), 若(存在),則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂,其和為,記作;若極限不存在,稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散.2 收斂的基本性質(zhì)a)和皆收斂,則收斂;收斂,發(fā)散,則發(fā)散;發(fā)散,發(fā)散,情況不明.b) 在級(jí)數(shù)中增加或減少或變更有限項(xiàng)則級(jí)數(shù)的收斂性不變.c)與收斂性相同.d) 對(duì)收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂,而且其和不變. 但是發(fā)散級(jí)數(shù)任意加括號(hào),不一定發(fā)散它可能收斂.e) 級(jí)數(shù)收斂的必要條件是.3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)和判別法a)若則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 收斂有上
19、界 b) 比較判別法一般:成立,收斂,則收斂;若發(fā)散,則發(fā)散。極限: 設(shè), 若1)當(dāng)時(shí),與同時(shí)收斂或發(fā)散。2)當(dāng)時(shí),若收斂,則收斂。 3)當(dāng)時(shí),若收斂,則收斂.c) 比值判別法(達(dá)朗倍爾)設(shè),而 1)當(dāng)時(shí),則收斂; 2)當(dāng)時(shí)(包括),則發(fā)散; 3)當(dāng)時(shí),此判別法無(wú)效.注:對(duì)于多項(xiàng)式形式的級(jí)數(shù),本方法必定不能判斷收斂性.d) 根值判別法(柯西)(數(shù)學(xué)三不考)設(shè),而 1)當(dāng)時(shí),則收斂; 2)當(dāng)時(shí)(包括),則發(fā)散; 3)當(dāng)時(shí),此判別法無(wú)效.注: 比值判別法和根值判別法在很大程度上是等價(jià)的,根據(jù)所給級(jí)數(shù)的形狀有不同的選擇。含階層的通項(xiàng)往往用比值判別法,含指數(shù)為的通項(xiàng)往往用根植判別法.e) 判斷程序: 必要條件,比較極限(等價(jià)代換),比值根值,比較,積分.例1討論級(jí)數(shù)的收斂性.例2 討論的收斂性.例3 討論級(jí)數(shù)的收斂性.例4 討論 的收斂性.4 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其萊布尼茲判別法a)定義 若,稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。b) 萊布尼茲判別法.設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足: 1) 2),則收斂,且.例5 討論級(jí)數(shù)的收斂性.例6 討論級(jí)數(shù)5 絕對(duì)收斂與條件收斂a)定義: 若收斂, 稱(chēng)絕對(duì)收斂;若收斂,發(fā)散,稱(chēng)為條件收斂。b)關(guān)系:若收斂,則一定收斂;反之不然。c )絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)中無(wú)窮多項(xiàng)任意交換順序,得到級(jí)數(shù)仍是絕對(duì)收斂,且其和不變。例7 設(shè)條件收斂,則該級(jí)數(shù)正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù),即或是否收
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