概率論與隨機過程今年作業(yè)conditional

1、概率論與隨機過程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©電子工程系6𝑥y2,0,0 < 𝑥 < 1 且 0 < 𝑦 < 1其他1. 設兩維隨機向量(𝑋, 𝑌)有密度𝑝(𝑥, 𝑦)= 試求：條件密度𝑝𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)和𝑝𝑌|𝑋(𝑦|𝑥

2、;)。參考解答先求邊緣密度：xp(x) = 24(1 𝑥)ydy = 12(1 x)x2 ,01p(y) = 24(1 𝑥)ydx = 12y(y 1)2,y從而有條件概率密度：0 < 𝑥 < 10 < 𝑦 < 12(1 x)= (y 1)2p(x, y)p(y),0 < 𝑦 < 𝑥 < 1 otherwise0 < 𝑦 < 𝑥 < 1otherwisepX|Y(x|y) =0,2yp(x, y) p(x),

3、pY|X(y|x) = x20,2. 100 個球隨機的放在 100 個箱子里，求最后空箱子的數(shù)量的平均值？ 參考解答：定義隨量X𝑘，當?shù)?k 個箱子無球時為 1，有球時為 0。又設定隨量 Y 表示空箱子個數(shù)，Y = X1 + + X100。每個球，放入盒子 k 的概率為 1 ，不放入的概率 99 ，則100100p(X = 1) = ( 99 100，𝑘 = 1, ,100100)𝑘10099E(X𝑘) = (100)10099E(𝑌) = 100E(X𝑘) = 100 () 36.6100Com

4、ment：本題利用示性函數(shù)的方法計算比較簡單。每個箱子是否為空的概率相同。部分同學利用排列組合的知識進行計算，將該問題復雜化了，且很難求出最終結果。遇到這種問題的時候，盡量避免拼命計算，當我們最初的方法算不下去的時候可以換一種思路試試看，或許會柳暗花明。1概率論與隨機過程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©電子工程系3. 美國的 25 分硬幣共有 50 種，上面有 50 個州的圖案，如果我們每次得到的硬幣是隨機的，求平均來講，收集多少個 25 分硬幣可以收集全 50 種圖案？參考解答：設 𝑛 = 50。設Xw

5、894;表示已收集𝑖種硬幣，為收集𝑖 + 1種硬幣所需的附加次數(shù)，𝑖 = 0,1, , 𝑛 1，則𝐸(X𝑖) = 1𝑛𝑛𝑖𝑛𝑖 =。 𝑛概率為𝑝 = 𝑛𝑖，則首解釋一下，已收集𝑖種硬幣時，考慮無限次射擊，每次𝑛𝑛𝑖11時的射擊次數(shù)服從參數(shù)為𝑝 =的幾何分布，其均值為=次w

6、901;𝑛𝑖𝑛𝑛設收集全 50 種圖案時，收集的 25 分硬幣個數(shù)為𝑋。則𝑋 = 𝑋0 + 𝑋1 + + 𝑋𝑛1，故𝐸𝑋 = 𝐸𝑋0 + 𝐸𝑋1 + + 𝐸𝑋𝑛1= 1 + 𝑛/(𝑛 1) + . . . +𝑛/1 = 𝑛(1 +

7、1/2+. . . +1/𝑛) 224.96Comment：本題有一定的難度，解答時需要轉換技巧，將原問題轉換為幾何分布的問題。部分同學試圖從排列組合的角度求解，問題變得非常復雜，而且沒有得到最終正確的結果。4. 設隨量X服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布，當0 < 𝑥 < 1時，隨量Y在X =x的條件下服從區(qū)間(x, 1)上的均勻分布。求隨參考解答：量Y的概率密度函數(shù)。 1 ，𝑝(𝑦|𝑥) = 1𝑥010 < 𝑥 < 1𝑥 < ү

8、10; < 1，0 < 𝑥 < 1𝑜𝑡𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒已知𝑝(𝑥) = 0𝑜𝑡𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒因此，概率密度函數(shù)為1= 1 𝑥0 < 𝑥 < 𝑦 < 1𝑜𝑡𝑒⻖

9、3;𝑤𝑖𝑠𝑒𝑝(𝑥, y) = 𝑝(𝑥)𝑝(𝑦|𝑥)0則隨量Y的概率密度函數(shù)為1𝑦1()()()𝑝𝑦= 𝑝0𝑥, y𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛1 𝑦, 0 < 𝑦 < 102概率論與

10、隨機過程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©電子工程系Comment：本題較簡單，基本都對了。直接利用公式求解即可，需要注意的是隨量的取值范圍。5. 甲乙兩人約定 5 點到 6 點之間在某處集合，他們的到達時間服從均勻分布。甲乙兩人都耐心不足，等待 15min 就會離開。求他們碰頭的前提下，甲的到達時刻分布。（記甲 5 點 x 分到達，乙 5 點 y 分到達）。參考解答：根據題意，概率密度函數(shù)為：1𝑝(𝑥, 𝑦) = 3600,0 < 𝑥 < 60,0 &l

11、t; 𝑦 < 60其它0,碰頭對應為 = |𝑋 𝑌| < 15|0 < 𝑋, 𝑌 < 60，對應圖中的陰兩人影部分601501560X其概率為𝑃(碰頭) = 𝑃|𝑋 𝑌| < 1560𝑥15= 1 15060𝑦15𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑝(𝑥,

12、𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦1504527= 1 3600 = 16碰頭的前提下，甲的到達時刻𝑋的分布密度函數(shù)為他們(𝑥|𝑋 𝑌| < 15) = 𝑝(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15)𝑝𝑋|𝑋𝑌|<15𝑃(|𝑋 𝑌| < 15)計算需要分情況討論：7

13、 ，分母𝑃(|𝑋 𝑌| < 15) =16當0 < 𝑥 15時，𝑝(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15)3概率論與隨機過程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©電子工程系= 𝑝(|𝑋 𝑌| < 15|𝑋 = 𝑥)𝑝𝑋(𝑥)60= ⻖

14、1;𝑌|𝑋(𝑦|𝑥) 𝑑𝑦 𝑝𝑋(𝑥)𝑥1560𝑥 + 15𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 3600𝑥15當15 < 𝑥 45時，𝑝(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15) = 𝑥+15 𝑝(&#

15、119909;, 𝑦) 𝑑𝑦 =303600𝑥15當45 < 𝑥 60時，𝑝(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15) = 𝑥+15 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 75𝑥03600所以，他們碰頭的前提下，甲的到達時刻分布密度函數(shù)為(𝑥|𝑋 𝑌| < 15) = 

16、9901;(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15)𝑝𝑋|𝑋𝑌|<15𝑃(|𝑋 𝑌| < 15)0 < 𝑥 15𝑥 + 15 15752 15 < 𝑥 45105 75 𝑥 1575=45 < 𝑥 60其它0Comment：本題利用條件概率公式計算即可，關鍵是將𝑝(𝑋 =

17、19909;, |𝑋 𝑌| < 15)理解合型密度函數(shù)。部分同學計算過程出現(xiàn)錯誤，沒有進行合理的分情況討論。6. X、Y是兩個同分布的指數(shù)分布，參數(shù)為。求p𝑋|𝑋>𝑌(x|X > 𝑌)（X > 𝑌條件下的X分布）。參考解答：X、Y的概率密度函數(shù)為𝑝(𝑥, y) = 𝑝(𝑥)𝑝(y) = 𝜆2𝑒𝜆(𝑥+𝑦

18、)𝑥, 𝑦 > 0𝑜𝑡𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒0條件概率密度函數(shù)為(x|X > 𝑌) = p(x, X > 𝑌)p𝑋|𝑋>𝑌p(X > 𝑌)𝑥= 𝑝1p(X > 𝑌)(𝑥, y)𝑑𝑦𝑑𝑥 =

19、2 （或由對稱性直接得到）00𝑥p(x, X > 𝑌) = 𝑝(𝑥, y)dy = 𝜆𝑒𝜆𝑥 (1 𝑒𝜆𝑥)04概率論與隨機過程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©電子工程系𝜆𝑒𝜆𝑥(1𝑒𝜆𝑥)1= 2𝜆𝑒

20、20582;𝑥(1 𝑒𝜆𝑥), x 0所以，p(x|X > 𝑌) =𝑋|𝑋>𝑌2Comment：本題條件概率分布的計算，概念理解清楚了計算問題不大。最后得到的量x的取值范圍應該為x 0，部分同學寫成了x y。條件概率密度函數(shù)中隨7. 令𝑋1, 𝑋2, 為一列同分布連續(xù)隨量，求（1） 𝑃(𝑋6 > 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎

21、9909;(𝑋1, , 𝑋5)（2） 𝑃(𝑋6 > 𝑋2|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)參考解答：) = 𝑃(𝑋6>𝑋1,𝑋1=𝑚𝑎𝑥(𝑋1,𝑋5)（1）𝑃(𝑋 > 𝑋 |𝑋 = Ү

22、98;𝑎𝑥(𝑋 , , 𝑋61115𝑃(𝑋1=𝑚𝑎𝑥(𝑋1,𝑋5)其中，𝑃(𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)6+𝑥6𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1= 𝑝(𝑥

23、;𝑖)𝑑𝑥2𝑑𝑥3𝑑𝑥4𝑑𝑥5𝑑𝑥1𝑑𝑥6 𝑖=1+𝑥6= 𝑝(𝑥6) 𝑝(𝑥1) 𝐹4(𝑥1)𝑑𝑥1 d𝑥6+115(= 5 𝑝(𝑥6) 𝐹𝑥6)d&

24、#119909;6 = 30同理可得，𝑃(𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) = 1（由對稱性也可以得）5因此，𝑃(𝑋6 > 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) = 1。6（2）方法 1：從定義出發(fā)) = 𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋1 = 𝑚&

25、#119886;𝑥(𝑋1, , 𝑋5)P(𝑋 > 𝑋 |𝑋 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋 , , 𝑋61115𝑃(𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(Ү

26、83;1, , 𝑋5)= 𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)+ 𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)5概率論與隨機過程 (1)，home

27、work12_vector_conditional_solution©電子工程系其中，𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) = 𝑃(𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)130=𝑃

28、(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) =6+𝑥6𝑥1𝑥1𝑥1𝑥11= 𝑃(𝑥𝑖)𝑑𝑥2𝑑𝑥6𝑑𝑥3𝑑𝑥4𝑑𝑥5&

29、#119889;𝑥1 = 12 𝑖=11 +1) =3012 =7 。因此，𝑃(𝑋 > 𝑋 |𝑋 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋 , , 𝑋621151512方法 2：利用全概率公式P(𝑋6 > 𝑋2|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)= P(𝑋6 > 𝑋2,

30、 𝑋6 > 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)+ P(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)= P(𝑋6 > 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, ,

31、𝑋5) P(𝑋6 > 𝑋2|𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)+ P(𝑋6 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) P(𝑋6 > 𝑋2|𝑋6 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)其中，由（1）得，P