條件收斂與絕對收斂

1、第四節(jié) 條件收斂與絕對收斂對于任意項(xiàng)級數(shù)，我們已經(jīng)給出了其收斂的一些判別方法，本節(jié)我們討論任意項(xiàng)級數(shù)的其他性質(zhì) 條件收斂與絕對收斂。定義10.5 對于級數(shù)，如果級數(shù)是收斂的，我們稱級數(shù)絕對收斂。如果發(fā)散，但是收斂的, 我們稱級數(shù)條件收斂。條件收斂的級數(shù)是存在的，如收斂級數(shù)可以看成是有限和的推廣，但無限和包含有極限過程。并不是有限和的所有性質(zhì)都為無限和所保持。大體說來，絕對收斂的級數(shù)保持了有限和的大多數(shù)性質(zhì)，條件收斂的級數(shù)則在某些方面與有限和差異很大。下面我們討論條件收斂與絕對收斂的性質(zhì)。定理10.17 絕對收斂級數(shù)必為收斂級數(shù)，反之則不然.證明：設(shè)級數(shù)收斂，即收斂，由Cauchy收斂準(zhǔn)則,對,

2、 存在N，當(dāng)n>N時，對一切自然數(shù)p, 成立著 于是:再由Cauchy收斂準(zhǔn)則知收斂。由級數(shù)可看出反之不成立。注：如果正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，不能推出級數(shù)發(fā)散。但如果使用Cauchy判別法或DAlembert判別法判定出發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散，這是因?yàn)槔肅auchy判別法或DAlembert判別法來判定一個正項(xiàng)級數(shù)為發(fā)散時，是根據(jù)這個級數(shù)的一般項(xiàng)|an|當(dāng)時不趨于0，因此對級數(shù)而言，它的一般項(xiàng)也不趨于零，所以級數(shù)發(fā)散。例10.38 討論級數(shù)的斂散性，如收斂指明是條件收斂或絕對收斂。解，當(dāng)時,由于 所以級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時, 因?yàn)槎諗?，所以原級?shù)絕對收斂。當(dāng)時,因unun+1=>=故un單調(diào)減少,

3、且由Leibniz判別法知 收斂，顯然發(fā)散，所以當(dāng)時級數(shù)條件收斂。前面已經(jīng)指出，一個收斂級數(shù)（不論是絕對收斂或條件收斂），將其項(xiàng)任意加括號后，得到的新級數(shù)仍收斂，這個性質(zhì)稱為收斂級數(shù)滿足結(jié)合律。下面我們討論收斂級數(shù)的交換律。設(shè)是一個級數(shù)，將級數(shù)項(xiàng)任意交換順序，得到的新級數(shù)記為，我們有下列定理:定理10.18 設(shè)級數(shù)絕對收斂，則重排的級數(shù)也是絕對收斂的，且其和不變。證明：先設(shè)是正項(xiàng)收斂的級數(shù)，此時有=M, 對m=1,2, 均成立即正項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列有界，從而收斂，且而正項(xiàng)級數(shù)也可看成是的重排, 從而也有所以=對一般項(xiàng)級數(shù)，設(shè)收斂記 un=, vn=, n=1,2,顯然有 0, 0, 由比較判別

4、法知正項(xiàng)級數(shù)與均收斂。因而重排后的級數(shù)與也收斂，且有 =從而，級數(shù)=也收斂，即絕對收斂，且有 = =下面我們討論條件收斂級數(shù)的重排:定理10.19（Riemann）設(shè)是條件收斂級數(shù), 則(1) 對任意給定的一個，必存在的一個重排 使得=;(2) 存在的重排級數(shù)使 =(或)證明：記 un=, vn= n=1,2,顯然, 都是正項(xiàng)級數(shù)，且有un=vn=0易證得和均發(fā)散（請讀者自行證明）現(xiàn)考察序列 a1, a2, an, , (*)用pm表示數(shù)列(*)中第m個非負(fù)項(xiàng)，用Qm表示其中的第m個負(fù)項(xiàng)的絕對值。顯然pm是un的子列，Qm是vn的子列，(pm為un中刪去了一些等于零的項(xiàng)后剩下的數(shù)列)，因此 p

5、m=Qm=0 我們依次考察p1,p2,中的各項(xiàng)，設(shè)為其中第一個滿足以下條件的項(xiàng)p1+p2+>再依次考察Q1,Q2中的各項(xiàng)，設(shè)是其中第一個滿足以下條件的項(xiàng)。 p1+p2+Q1Q2<再依次考察 +中的各項(xiàng)，設(shè)是其中第一個滿足以下條件的項(xiàng)。p1+p2+Q1Q2+>照此下去，我們得到的一個重排如下 p1+p2+Q1Q2+再分別用Rk與Lk表示級數(shù)的末項(xiàng)為的部分和與末項(xiàng)為的部分和，則有 |Rk|, k=2,3,否則與的選取有矛盾。同理有|Lk|, k=1,2,3,因?yàn)?=0 Rk=Lk=因?yàn)榧墧?shù)的任一部分和必介于某一對Lk與Rk之間，所以也應(yīng)有 =即 =（2）首先，任意選取一個嚴(yán)格單調(diào)

6、上升并趨于+的實(shí)數(shù)，列k（例如, 可選k =k,k=1,2,）. 其次，用pk表示序列中的第k個非負(fù)項(xiàng)，用Qk表示序列的第k個負(fù)項(xiàng)，設(shè)pm是p1,p2,中第一個滿足以下條件的項(xiàng) p1+p2+>1設(shè)是Q1,Q2 ,中第一個滿足以下條件的項(xiàng) p1+p2+Q1Q2<1再依次考察+中的各項(xiàng),設(shè)是其中第一個滿足以下條件的項(xiàng) p1+Q1+>2再依次考察,中各項(xiàng)，設(shè)是其中第一個滿足以下條件的項(xiàng)，p1+Q1+>2依次做下去，我們得到的一個重排, 這個重排級數(shù)滿足條件 同樣可以得到一個重排，使得下面我們考察兩個級數(shù)的乘積。設(shè)與是兩個級數(shù),將()()定義為下列所有項(xiàng)的和 由于級數(shù)運(yùn)算一般不

7、滿足交換律與結(jié)合律。所以這無窮多項(xiàng)如何排序是我們需要考慮的一個問題。事實(shí)上，上述無窮多項(xiàng)有很多的排序方式，下面我們介紹兩種最常用的排序方式對角線排序法和正方形排序法。定義10.6 a1b1 a1b2 a1b3 a1b4 a2b1 a2b2 a2b3 a2b4 a3b1 a3b2 a3b3 a3b4 a4b1 a4b2 a4b3 a4b4 令c1= a1b1, c2= a1b2+ a2b1, c3= a1b3+ a2b2+ a3b1, cn= a1bn+a2bn-1+anb1 我們稱=a1bn+a2bn-1+anb1)為級數(shù)與的Cauchy乘積。a1b1 a1b2 a1b3 a1b4 a2b1

8、a2b2 a2b3 a2b4 a3b1 a3b2 a3b3 a3b4 a4b1 a4b2 a4b3 a4b4 令 d1= a1b1, d2= a1b2+ a2b2+ a2b1dn= a1bn+ a2bn+ anbn+ anbn-1+ anb1則級數(shù)稱為級數(shù)與按正方形排列所得的乘積. 定理10.20 如果級數(shù)與均收斂，則按正方形排序所得的乘積級數(shù)總是收斂的，且=證明：因?yàn)閟n=a1bk+ a2bk + akbk +a2bk-1+akb1) =()() =其中與分別為與的部分和， 當(dāng)記=,=時，有=所以級數(shù)收斂，且=()().但是兩個收斂級數(shù)的Cauchy乘積卻不一定是收斂的。例如 =與=這兩個級

9、數(shù)顯然都是收斂，但它們的Cauchy乘積的一般項(xiàng)為 cn=(1)n+1顯然 =從而 >所以 故發(fā)散.定理10.21 如果級數(shù)與都絕對收斂，則它們的Cauchy乘積和正方形排列所得的乘積都是絕對收斂的，且=()()證明: 設(shè)sn=a1bk +a2bk-1+akb1| ()() ()()由正項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列有界知收斂，又因?yàn)榻^對收斂級數(shù)有交換律和結(jié)合律。 同理可證，絕對收斂所以=()().我們可以將上定理的條件適當(dāng)放寬定理10.22（Mertens）設(shè)級數(shù)絕對收斂，級數(shù)收斂，記=A, =B則它們的Cauchy乘積也收斂, 且=AB證明: 記An=, Bn=cn=(a1bn +a2bn-1+

10、anb1)前n項(xiàng)部分和sn=a1bk +a2bk-1+akb1)= a1Bn +a2Bn-1+anB1當(dāng)令=BBn 時, (n=1,2,)sn= a1Bn +a2Bn-1+anB1= a1(B)+a2(B)+an(B)= A nB(a1 +a2+an)= A nBRn下面我們估計(jì) Rn = a1+a2+an因?yàn)樾蛄汹呌?，可設(shè) |M, N取k充分大使 |<這里D>再取m充分大，使 <,于是當(dāng)N充分大時，對上面取定的m有|Rn|(|a1|+|am|)+(|am+1|+|an|) <D+M=所以 =0從而 . 證畢.定理10.23（Abel定理）設(shè)級數(shù)與都收斂，且=A, =B, 是它們的Cauchy乘積，如果收斂，其和為c，則必有cB證明：在數(shù)列極限理論中，我們已經(jīng)證明如 =A, =B, =c, 則 當(dāng)記時，有所