空間立體的體積（課堂PPT）

1、第五節(jié)定積分的幾何應(yīng)用 三、空間立體的體積三、空間立體的體積 1. 已知平行截面面積的已知平行截面面積的 空間立體體積空間立體體積 2. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積第六章第六章 1. 已知平行截面面積的空間立體體積已知平行截面面積的空間立體體積 設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間xxAVd)(d 因此所求立體體積為因此所求立體體積為( )dbaVA xx 上連續(xù)上連續(xù),abd,xxx 的體積元素為的體積元素為()ab xxd)(xAxOab( )A xdV( )A x x例例1解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖 底

2、圓方程為底圓方程為,222Ryx ,RRx yxo222Ryx xA(x)h三角形邊長(zhǎng)三角形邊長(zhǎng)222xRl 高為：高為：223xRh )(321)(22xRhlxA xxAVRRd)( xxRRd)(32022 3334R 2. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線(xiàn)稱(chēng)為一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)情形情形1)(xfy abG1xyoabG1ab)(xfy abG1xyox x dxx xyodxx x ( )f xxyoabx x x dxx ( )f xxx

3、yoabxxd dxxyoab G1 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積取取積積分分變變量量為為x， ,bax 則以則以 f (x) 為高，為高，以以dx 為底的窄邊矩形為底的窄邊矩形在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間d,xxx ， 平面圖形平面圖形G1 ：由連續(xù)曲線(xiàn)：由連續(xù)曲線(xiàn) y = f (x)，直線(xiàn)直線(xiàn) x = a, x = b 及及 x 軸軸 所圍成的曲邊梯形所圍成的曲邊梯形.繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱體軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱體的體積便是的體積便是體積元素：體積元素：xxfVxd)(d2 )()(2xfxA 截截面面積積)1 . 2(d)(2xxfVbax )(x

4、fy abG1xyox x dxx xyodxx x ( )f xxyoabx x x dxx ( )f xxxyoabxxd dxxyoabG1 繞繞 x 軸軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：例例2解解xhRy 直線(xiàn)直線(xiàn) 方程為方程為OP建立坐標(biāo)系，如圖建立坐標(biāo)系，如圖.連接坐標(biāo)原點(diǎn)連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)及點(diǎn)P(h, R)的直線(xiàn)，直線(xiàn)的直線(xiàn)，直線(xiàn)x=h 及及 x 軸圍成一個(gè)直角三角形軸圍成一個(gè)直角三角形. 將它繞將它繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成一個(gè)底半徑為軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成一個(gè)底半徑為R，高為，高為h的圓錐體，計(jì)算該圓錐體的體積的圓錐體，計(jì)算該圓錐體的體積.取取積積分分變變量量為為 x， , 0hx

5、 xxhRVdd2 圓圓錐錐體體的的體體積積 xxhRVhd)(20 hxhR03223 .32hR 在在, 0h上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間d,xxx ， 以以 dx 為底的窄邊矩形繞為底的窄邊矩形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱體的體積為體的體積為用用“柱殼法柱殼法”：將旋轉(zhuǎn)體分割成一系將旋轉(zhuǎn)體分割成一系列以列以y軸軸為中心軸的為中心軸的曲頂環(huán)柱體曲頂環(huán)柱體.,d,baxxx d,xxx 設(shè)設(shè)相相應(yīng)應(yīng)于于的的曲曲頂頂環(huán)環(huán)柱柱體體很很小小時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng)xdxOy)( xfy abG1圓圓環(huán)環(huán)柱柱體體VVy ,yV 的的體體積積為為G1 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋

6、轉(zhuǎn)體的體積xxd x圓圓環(huán)環(huán)柱柱體體VVy )()d(22xfxxx )()(dd)(22xfxxxfx o(dx).d)(2xxfx 可以證明：可以證明：體積元素體積元素xxfxVyd)(2d G1 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：)2 . 2(d)(2xxfxVbay x)( xfy abG1dxx xoy yx 平平面面圖圖形形 2G: 由由連連續(xù)續(xù)曲曲線(xiàn)線(xiàn))( yx 、 直直線(xiàn)線(xiàn)cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊 梯梯形形. yyVdcyd)(2 yyyVdcxd)(2 情形情形2 G2 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)G2 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn))(yx c

7、dyxoy 求求擺擺線(xiàn)線(xiàn))sin(ttax ，)cos1(tay 的的 一一拱拱與與0 y所所圍圍成成的的圖圖形形分分別別繞繞x軸軸、y 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 解解(1) 繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積 xxyVaxd)(220 2022d)cos1()cos1(ttata 20323d)coscos3cos31(tttta.532a 例例3(2) 繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積 yyxVayd)(2202 yyxad)(2201 222dsin)sin(ttatta 022dsin)sin(ttatta 2023dsin)sin(tttta.

8、633a （方法（方法1）xxfxVayd| )(|220 20)sin(d)cos1()sin(2ttatatta 2023d)cos1)(sin(2tttta.633a tu )d()cos1)(sin(223uuuua uuuuad)cos1)(sin(223 023d)cos1(22uua(方法方法2 ) 柱殼法柱殼法xyxad|220 例例4 求求由由曲曲線(xiàn)線(xiàn)24xy 及及0 y所所圍圍成成的的圖圖形形 繞繞直直線(xiàn)線(xiàn)3 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. . 解解取取積積分分變變量量為為y, , 4 , 0 y體積元素為體積元素為: :yQMPMVdd22 yyyd)43(

9、)43(22 ,d412yy yyVd41240 .64 (方法方法1)24xy 422xyo3 x Myyyd P Q(方法方法2)取積分變量為取積分變量為 x, .2 , 2 xxxfxVxd)(32223 xxxd)4()3(2222 xxd)4(32222 xxd)4(12220 .64 24xy 42 2xyo3 xxx d x例例5(綜合題綜合題)所所圍圍成成，求求及及直直線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)已已知知曲曲邊邊三三角角形形由由拋拋物物1, 022 yxxy曲曲邊邊三三角角形形的的面面積積；)1(；旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積曲曲邊邊三三角角形形繞繞1)2( y.)3(曲曲邊邊三三角角

10、形形的的周周長(zhǎng)長(zhǎng)解解 (1)yyAd2102 .6161103 yxyoxy22 1(2)xxVd)21(2210 xxxd)2221(210 .12 (3),ddyyxx yxsd1d21 yy d12 yysd11021 tytan tttdsecsec2402 21xyoxy22 1xx21 )d(tansec40tt tttttdtansectansec24040 ttdsec403 tttd)1(secsec2240 40403dsecdsec2 tttt40403)tanln(secdsec2 tttt 2111 ss從從而而周周長(zhǎng)長(zhǎng)：.2)12ln(22dsec403 tt .2

11、)12ln(223 例例6 (綜合題綜合題)時(shí)時(shí)，過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)拋拋物物線(xiàn)線(xiàn)設(shè)設(shè)102 xcbxaxy軸軸所所圍圍及及線(xiàn)線(xiàn)，又又已已知知該該拋拋物物線(xiàn)線(xiàn)與與直直xxy10 .,31最最小小積積一一周周而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)使使此此圖圖形形繞繞，求求圖圖形形的的面面積積為為Vxcba解解過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)，由由于于曲曲線(xiàn)線(xiàn)cbxaxy 2所以所以 c = 0,又由題設(shè)，知又由題設(shè)，知31d)(210 xbxaxS知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)： 平面圖形的面積平面圖形的面積 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值、最值31d)(210 xbxaxS，即即3123 ba，從從而而

12、)1(32ab xbxaxVd)(1022 于是于是)3215(22baba )1(9431)1(31522aaaa )1(9431)1(315)(22aaaaaV , 0)1(278323152)( aaaaV 由由,45 a得唯一駐點(diǎn)：得唯一駐點(diǎn)：01354)( aV又又，23 b.0,23,45時(shí)時(shí)，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積最最小小故故當(dāng)當(dāng) cba內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)二、旋轉(zhuǎn)體的體積二、旋轉(zhuǎn)體的體積一、平行截面面積為已知的立體的體積一、平行截面面積為已知的立體的體積 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非坐標(biāo)軸直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周繞非坐標(biāo)軸直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周備用題備用題例例1-1 一

13、平面經(jīng)過(guò)半徑為一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 , 并與并與底面交成底面交成 角角,222Ryx 解解 如圖所示取坐標(biāo)系如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為則圓的方程為垂直于垂直于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面積為其面積為 tan)(21)(22xRxA )(RxR 計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .xoRxy RxxRV022dtan)(212 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性 3231tan2xxR 0R tan323R xoRxy思考思考 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么此時(shí)截面面積函數(shù)是

14、什么 ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積 ? )(yA提示提示: tan2yx 22tan2yRy V R0tan2 yyRyd22 RyR022)(32tan23 tan323R oRxy),(yx計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓12222 byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積而成的橢球體的體積. 解解 (方法方法1) 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby 則則xxaabad)(220222 (利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性) 3222312xxaab 0a234ab aV02xy d2 例例2-1bayxooxybayxoox(方法方法2) 利用橢圓參數(shù)方

15、程利用橢圓參數(shù)方程 tbytaxsincos則則xyVad202 2032dsin2 tab22 ab 32 234ab 1 特別當(dāng)特別當(dāng)b = a 時(shí)時(shí), 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343a )dsin()sin(2022 ttatby例例 3-1 解解體積體積旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的軸軸軸，軸，軸圍成的圖形分別繞軸圍成的圖形分別繞與與計(jì)算由正旋曲線(xiàn)弧計(jì)算由正旋曲線(xiàn)弧yxxxxy, 0,sin (1) 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為xxVxdsin02 xxd)2cos1(20 02sin212xx 22 xysin

16、 xOy分別繞分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積之差之差.這個(gè)圖形繞這個(gè)圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積可以看成平面圖形體積可以看成平面圖形 OABC 與與 OBC1CBA(2) 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積分析分析xysin xOy(方法方法1)10(arcsin yyx)10(arcsin yyxOB 的方程為的方程為) AB 的方程為的方程為)1CBAxysin xOy從而所求的體積為從而所求的體積為yyVxd)arcsin(102 yyd)(arcsin102 yyd)arcsin2(102

17、 yydarcsin21023 1021023d1|arcsin2yyyyy 1022d12yyy102212y 22 yydarcsin21023 (方法方法2)xysin xOyxxfxVbayd)(2 由公式由公式得得xxxVydsin20 xx cosd20 )dcoscos(200 xxxx)sin(20 x 22 試用定積分求圓試用定積分求圓)()(222bRRbyx 繞繞 x 軸軸oxyRbR上上 半圓為：半圓為：22xRby下下222)(xRb 222)(xRb RV02 xdbR222 解解(方法方法1 ) 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V.例例3

18、-2xyo(方法方法2 ) 用柱殼法用柱殼法 Vdy 2x2 yd RbRbV 4ybyRyd)(22 bR222 注注 上式可變形為上式可變形為2RVb2d2bR 20右右半圓為半圓為,)(22byRx 左左 此式反映了環(huán)體微元的另一種取法此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示如圖所示). oxyRbRy dd2bRV o設(shè)平面圖形設(shè)平面圖形 A 由由xyx222 與與xy 圖形圖形 A 繞直線(xiàn)繞直線(xiàn) x2 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)解解若選若選 x 為積分變量，則為積分變量，則旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為V 102d)2)(2(2xxxxx 32212 若選若選 y 為積分變量為積分變量, 則則 V 1022d)11(2yy 102d)2(yy 例例4-1所確定所確定 , 求求一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 . 21x1yoxy)0(, )()( txxfytV表表示示例例4-2)(xfy 設(shè)設(shè)在在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù)時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), ,0)0( f且且繞直線(xiàn)繞直線(xiàn) xt 旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周證明證明:. )(2)(tftV 證證利用柱殼法利用柱殼法xxfxtVd)()(2d 軸軸所所圍圍圖圖形形及及 x所成旋轉(zhuǎn)體體積所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,)(xfyoxxxdxtx t則則xxfxttVtd)()(2)(0 xxfxttVtd)()(2)(