浙江大學(xué)9906年研究生高等代數(shù)試題

1、浙江大學(xué)1999年研究生高等代數(shù)試題一是個不相同的整數(shù)，證明在有理數(shù)域上可約的充分必要條件是可表示為一個整數(shù)多項(xiàng)式的平方二設(shè)，且，求(1) (2)(其中為階單位陣，)三矩陣是行滿秩，證明：(1)存在可逆陣，使得(2) 存在矩陣，使得四設(shè)階方陣滿足，是中個線形無關(guān)的列向量，設(shè)是由生成的子空間，是的解空間，證明：(表示與的直和)五設(shè)都是階實(shí)對稱矩陣，且正定，則存在，使得六設(shè)階矩陣，滿足下列條件：(1)01, (2) (i=1,2,n)求證：(1)的每一個特征值，都有(2)為的一個特征，求證：(1)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)線形相關(guān)時成立 （2）若也成立八（1）設(shè)分別為復(fù)數(shù)矩陣域上的，并且沒有公共的特征值，求

2、證只有空解（這里）（2）在中，變換，為一個固定的矩陣，且的特征值不為（-）的特征值，求證：為一個線形變換。二年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題一、（20分）是數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式（1），且與有一個公共復(fù)根，證明；（2）若及都是的根，是的任一根，證明也是的根.二、（10分）計(jì)算行列式.三、（20分）是正定陣，是實(shí)對稱矩陣，證明：存在可逆矩陣使得同時為對角形；是正定陣，是實(shí)矩陣，而是實(shí)對稱的，證明：正定的充要條件是的特征值全大于0.四、（20分）設(shè)維線性空間的線性變換有個互異的特征值，線性變換與可交換的充要條件是是的線性組合，其中為恒等變換.五、（10分）證明：階冪零指數(shù)為的矩陣都相似.（若，而稱的冪零

3、指數(shù)為）六、（20分）設(shè)是維歐氏空間的線性變換。對任意，都有。證明：的核等于的值域的正交補(bǔ).2000年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題解答一、是數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式（1），且與有一公共復(fù)根，證明：。（2）若及都是的根，是的任一根，證明：也是的根。Proof：（1）是數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式，故對于上任一多項(xiàng)式只有以下兩種情形： , 下證不可能是情形二。（反證法）若不然為情形二，就是則由已知條件，有一公共復(fù)根（設(shè)為），則，將代入中得到的矛盾，故假設(shè)不正確，得證?。?）設(shè)是的任一根，下證。證明見高等代數(shù)題解精粹錢吉林編第42題.二、計(jì)算行列式Solution:我們已經(jīng)知道：在此結(jié)論中令，知三、（1）是正

4、定矩陣，是實(shí)對稱矩陣，證明：可逆矩陣同時為對角形Proof: (1)正定，可逆矩陣使得，此時還是對稱的，正交矩陣使得為對角形，令，此時是對角形，得證?。?）由（1）知所以，故正定得證！四、設(shè)維線性空間的線性變換有個互異的特征值，線性變換可交換的充分必要條件是是的線性組合，其中為恒等變換。Proof:我們分以下四步來完成證明。由題意知，有個互異特征值，故，其中為的特征值，且令（2）則，令，為對角矩陣，且主對角線上的元素互異，而，由結(jié)論“與對角矩陣可交換的矩陣只能是對角矩陣”知，即，（3）（4）欲證可由線性表出，只須證方程有非零解即可，（顯然）設(shè)將作用于，則由（3）知即明白寫出即為，令有解，而,，

5、這說明可由線性表出！五、證明：階冪零指數(shù)矩陣都想似（若而稱的冪零指數(shù)為）。Proof:若，且，若還有，且，所以，由相似的傳遞性知，得證?。ㄗⅲ旱淖钚《囗?xiàng)式為從而與相似）六、設(shè)是維歐空間的線性變換，對都有證明：的核等于的值域的正交補(bǔ)。Proof:二二年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題一、（12分）設(shè)兩個多項(xiàng)式和不全為零。求證：對于任意的正整數(shù)，有。二、（12分）設(shè)；。 計(jì)算行列式：三、（12分）設(shè)是級矩陣，且。求證：。四、（12分）設(shè)是級陣，的秩為，是級矩陣，的秩為，且。這里維列向量是齊次線性方程組的解，求證：存在唯一的維列向量，使得。五、（11分）求的和與交的基與維數(shù)。其中，六、（20分）用正交線性

6、替換化下面的實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所用的正交線性替換。七、（8分）設(shè)是級復(fù)矩陣，且。求證：存在一個級可逆矩陣，使得與都是上三角矩陣。八、（7分）設(shè)是級復(fù)矩陣，其中是冪零矩陣（即存在正整數(shù)，使得）而且，求證：。九、（6分）設(shè)是維線性空間的線性變換，在的某組基下的矩陣是，用表示的核，表示的值域。求證：秩()=秩()的充要條件是浙江大學(xué)2003年研究生高等代數(shù)試題1（20分）令是中個線性無關(guān)的向量。證明：存在含個未知量的齊次線性方程組，使得是它的一個基礎(chǔ)解系。2（20分）設(shè)有分塊矩陣，其中都可逆，試證： （1）；（2）。3（20分）設(shè)是數(shù)域上維線性空間，又有且線性無關(guān)。求證：可用替換中的兩個向量，

7、使得剩下的兩個向量與仍然生成子空間，也即。4（20分）設(shè)為階復(fù)矩陣，若存在正整數(shù)使得，則稱為冪零矩陣。求證：（1）為冪零矩陣的充要條件是的特征值全為零；（2）設(shè)不可逆，也不是冪零矩陣，那么存在階可逆矩陣，使得，其中是冪零矩陣，是可逆矩陣。5（20分）已知實(shí)對稱矩陣，求正交矩陣使得成為對角矩陣。6（20分）設(shè)是維歐氏空間，內(nèi)積記為，又設(shè)是的一個正交變換，記。證明：（1）都是的子空間；（2）。7（10分）設(shè)是一個整系數(shù)多項(xiàng)式。證明：若存在一個偶數(shù)及一個奇數(shù)，使得與都是奇數(shù)，則沒有整數(shù)根。8（10分），是維歐氏空間的子空間，且的維數(shù)小于的維數(shù)，證明：中必有一個非零向量正交于中的一切向量。9（10分）

8、設(shè)是可逆的對稱實(shí)矩陣。證明：二次型的矩陣是的伴隨矩陣。二四年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題 1.（每小題8分，共16分）計(jì)算階行列式：1）2）。 2.（16分）設(shè)，。已知可逆。求證：存在使。（注：是數(shù)域，表示元素在中的階方陣的集合） 3.（16分）設(shè)，求證：。證明：（1）當(dāng)時，這時有，由公式，可得。結(jié)論成立 （2）當(dāng)時，考慮矩陣，由于、都最多只有有限個特征值，因此存在無窮多個，使得 那么有上面（1）的結(jié)論有 令 由式有 由于有無窮多個使式成立，從而有無窮多個使式成立，但都是多項(xiàng)式，從而式對一切都成立。特別令，有。證畢 4.（題（1）為15分，題（2）為5分，共20分）實(shí)二次型經(jīng)正交線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)型。（1）求及正交矩陣；（2）問二次型是正定的嗎？為什么？ 5.（16分）設(shè)，且。證明：存在階可逆矩陣使得。證明：設(shè)矩陣，的秩分別為。對于矩陣，存在著可逆的級矩陣，使得 ，則 ，令，則有成立。 6.（16分）設(shè)是階復(fù)矩陣，且存在正整數(shù)使得（這里是階單位陣）。證明：與對角矩陣相似。 7.（每小題9分，共18分）設(shè)看成上的線性空間。取定。對任意，令。求證：（1）是的線性變換；（2）當(dāng)時，可逆的充要條件是。 8.（16分）設(shè)是線性空間的線性變換且。令,。證明：且對每個有。9.（16分）設(shè)是維歐氏空間，是的子空