求數(shù)列通項(xiàng)公式的6種方法

1、求數(shù)列通項(xiàng)公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細(xì)）總述：一利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)的7種方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒數(shù)變換法、由和求通項(xiàng)定義法（根據(jù)各班情況適當(dāng)講）二。基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法。 三 求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過(guò)變形，代換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列。 四求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是：累加法和累乘法。 五數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。一、累加法 1適用于： -這是廣義的等差數(shù)列 累加法是最基本的二個(gè)方法之一。例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

2、解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一：由得則所以解法二：兩邊除以，得，則，故因此，則練習(xí)1.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：練習(xí)2.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：裂項(xiàng)求和 評(píng)注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。二、累乘法 1.。 -適用于： -這是廣義的等比數(shù)列累乘法

3、是最基本的二個(gè)方法之二。2若，則兩邊分別相乘得，例4.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項(xiàng)公式是=_.解：已知等式可化為：()(n+1), 即時(shí)，=.評(píng)注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過(guò)因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.練習(xí).已知,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、待定系數(shù)法 適用于 基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。1形如,其中)型例6已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一： 又是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列 ，即解法二： 兩式相減得，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的練習(xí)已

4、知數(shù)列中，求通項(xiàng)。答案：2形如： (其中q是常數(shù)，且n0,1) 若p=1時(shí)，即：，累加即可.若時(shí)，即：，求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即： ,令，則,然后類型1，累加求通項(xiàng).ii.兩邊同除以 . 目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來(lái)解，iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效。例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二（兩邊

5、同除以）： 兩邊同時(shí)除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）： 兩邊同時(shí)除以得：，下面解法略*3形如 (其中k,b是常數(shù)，且)例8 在數(shù)列中，求通項(xiàng).（逐項(xiàng)相減法）解：， 時(shí)，兩式相減得 .令,則利用類型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可聯(lián)立 解出.*5.形如時(shí)將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3 結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）則，則是首項(xiàng)為4，公比為3的等比數(shù)列，所以練習(xí).數(shù)列中，若,且滿足,求.答案： .四、倒數(shù)變換法 適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例16 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為，五、由和求通項(xiàng)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例19 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：對(duì)任意有 當(dāng)n=1時(shí)，解得或當(dāng)n2時(shí)， -整理得：各項(xiàng)