高中數(shù)學(xué)解三角形講義整理

1、解三角形1 .解三角形：一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求 其他元素的過程叫作解三角形。以下若無特殊說明,均設(shè) ABC的三個內(nèi)角 A、B、C的對邊分別為a、b、c,則有以下關(guān)系成立:(1)邊的關(guān)系:角的關(guān)系:b, b c aA、B、C(或滿足：兩條較短的邊長之和大于較長邊)(3)邊角關(guān)系:sin A0,sin( AB) sinC,cos(A B) cosC ,A BA B sin2C cos 2正弦定理、余弦定理以及它們的變形板塊一：正弦定理及其應(yīng)用1.正弦定理：sin A sin B sin C2R ,其中ABC的外接圓半徑2 .正弦定理適用于兩類解

2、三角形問題：(1)已知三角形的任意兩角和一邊，先求第三個角，再根據(jù)正弦定理求出另外兩邊；(2)已知三角形的兩邊與其中一邊所對的角，先求另一邊所對的角(注意此角有兩解、一解、無解 的可能)，再計算第三角，最后根據(jù)正弦定理求出第三邊【例1】考查正弦定理的應(yīng)用(1)ABC中，若60tan A 叵4BC 2 ,則 AC(2)ABC中，若301,則C(3)ABC中，若45472, a8,則C(4)ABC中，若csin A,則ab的最大值為 c總結(jié)：若已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解這類三角形時，要注意有兩解、一解和無解的可能 如圖，在 ABC中，已知a、b、Ab(1)若A為鈍角或直角，則當(dāng) a b

3、時， ABC有唯一解；否則無解。(2)若A為銳角，則當(dāng)a bsinA時，三角形無解；當(dāng)a bsinA時，三角形有唯一解；當(dāng)bsinA a b時，三角形有兩解；當(dāng)a b時，三角形有唯一解實際上在解這類三角形時，我們一般根據(jù)三角形中“大角對大邊”理論判定三角形是否有兩解的可能。板塊二：余弦定理及面積公式1 .余弦定理：在 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,則有余弦定理:2.22a b c 2bccosAb2 a2 c2 2accosB , 其變式為:c2 a2 b2 2ab cosCcosAcosBcosC222b c a2bc222a c b2ac222a b c2ab2 .余弦定理

4、及其變式可用來解決以下兩類三角形問題:(1)已知三角形的兩邊及其夾角，先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求較短邊所對的角(或 由余弦定理求第二個角)，最后根據(jù)“內(nèi)角和定理”求得第三個角；(2)已知三角形的三條邊，先由余弦定理求出一個角，再由正弦定理求較短邊所對的角(或由余弦 定理求第二個角)，最后根據(jù)“內(nèi)角和定理”求得第三個角；說明：為了減少運算量，能用正弦定理就盡量用正弦定理解決3 .三角形的面積公式【例】考查余弦定理的基本應(yīng)用(1)在 ABC 中，若 a 23, b(2)在ABC中，若a 園,b(3)在ABC中，若a遷 22 , C 45 ,求 c、A、B ；4, c 3,求邊AC上的高

5、h ;2病，b 8 , A 60 ,求 c（1）S ABC1 .1 . .1 ,，一-aha -bhb - chc （ ha、hb、hc 分別表小 a、b、c 上的局）； 222（2）S ABC11 ,A 1absin C bcsin A acsin B222（3）S ABC2R2 sin Asin BsinC （ R為外接圓半徑）（4） S ABCabc4R（5）S ABCd'p（p a）（p b）（p c）其中 p 1（a b c）2 S ABC1- Ar l (r是內(nèi)切圓的半徑，l是二角形的周長)2【例】（1）13一在 ABC中，若a 7, b 8, cosC 一，則 ABC中最

6、大角的余弦值為(2)（10上海理）某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為.不能作出這樣的三角形.作出一個直角三角形13 11 5.作出一個銳角三角形.作出一個鈍角三角形111,則（）(3)以3、4、x為三邊組成一個銳角三角形，則x的取值范圍為14【例】考查正余弦定理的靈活使用(1)在ABC中，若acosB bcosAcsinC ,其面積S4(b2 c2(3)(4)在ABC中，若(3b c) cos AacosC ,貝U cosA（07天津理）在ABC中，若a2b23bc, sinC2< 3 sin B ,（10江蘇）在銳角ABC中，若- atanC tanC6 cosc ,貝U

7、tan A tan B【例】判斷滿足下列條件的三角形形狀,.、22a b(1) a tanB b tan A ；(2) sinC 2cosAsinB；(3) cosA cosB ；c(5) b asinC, c acosB(4) (a2 b2)sin(A B) (a2 b2)sin(A B)；板塊三：解三角形綜合問題【例】（09全國2）3在 ABC中，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c, cos（A C） cosB【例】在 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知c 2, C3（1）若ABC的面積等于J3,求a、b;(2)若 sinC sin(B A) 2sin2A,求 ABC 的面積【例】(11全國2)設(shè) ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知A C 90a c 2b ,求 CC【江西理】在 ABC中，角A、B、C的對邊分力1J是a、b、c,已知sin C cosC 1 sin 2(1)求sinC的值； (2)