九年級下第一章 解直角三角形教材分析

1、.九年級下第一章 解直角三角形教材分析銳角三角函數(shù)刻畫了直角三角形中邊角之間的關系，它的直接應用是解直角三角形，而解直角三角形在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用.銳角三角函數(shù)又是高中階段學習任意角三角函數(shù)的根底，也是整個三角學的根底.因此，本章內(nèi)容也是初中階段數(shù)學學習的重點內(nèi)容之一.一、教學內(nèi)容本章的主要內(nèi)容有銳角三角函數(shù)和解直角三角形的概念、有關銳角三角函數(shù)的計算，以及銳角三角函數(shù)在解決與直角三角形有關的問題中的應用.研究圖形中各個元素之間的關系，并把這種關系進展量化，是分析和解決問題中常用的一種數(shù)形結合的方法，這種方法是一種重要的數(shù)學思想.因此本章還包含了數(shù)形結合的思想.現(xiàn)實生活中與邊角有關的實際

2、問題銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的計算銳角三角函數(shù)的運用解直角三角形解決與直角三角形有關的實際問題本章內(nèi)容之間的互相關系可用如下的構造框圖表示：框圖說明：1現(xiàn)實生活中的邊角之間存在著確定的數(shù)量關系，例如當斜面的傾斜角確定時，斜面的高度與斜面在程度方向的間隔 之比隨之確定，說明斜面的傾斜角和斜面的高度與斜面在程度方向的間隔 的比值之間存在著某種函數(shù)關系.2銳角三角函數(shù)是指本學段所學的三角函數(shù)限定在銳角，本章所指的銳角三角函數(shù)包括正弦sinA、余弦cosA和正切tanA三種.3三角函數(shù)的計算包括銳角求三角函數(shù)值和三角函數(shù)值求銳角兩個方面，當角或所求的角不是30、45和60這三個特殊角時，需要使用計算器

3、進展計算.4銳角三角函數(shù)的運用主要包含解直角三角形與現(xiàn)實生活中的實際問題兩個方面，而能用銳角三角函數(shù)解決的實際問題，都可歸結為解直角三角形的數(shù)學問題，因此，銳角三角函數(shù)的運用核心是解直角三角形.二、教學要求目的類別目的層次知識點及相關技能 知識技能目的 過程性目的理解 理解 掌握 靈敏運用 經(jīng)歷感受 體驗體會 探究銳角三角函數(shù) 銳角三角函數(shù)的概念銳角的正弦、余弦和正切正弦、余弦、正切的符號sinA，cosA，tanA30、45、60角的三角函數(shù)值三角函數(shù)的計算 用計算器求銳角的三角函數(shù)值用計算器根據(jù)三角函數(shù)值求銳角解直角三角形 解直角三角形的概念運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關的簡單實際問題三

4、、各節(jié)內(nèi)容分析1.1 銳角三角函數(shù)本節(jié)有2課時.第1課時為銳角三角函數(shù)的概念，經(jīng)歷銳角的正弦、余弦和正切的探究過程.1.本節(jié)課以兩個物體在兩個坡角不同的斜面上向上運動為背景引入課題，并配以傾斜角不同的電梯作節(jié)前圖，教學中老師可以根據(jù)學生的實際情況，重新設計學生熟悉的問題情境，如山坡、屋頂?shù)男泵?，或用木板現(xiàn)場搭建斜面等創(chuàng)設問題情境.使學生在熟悉的問題情境中，從已有經(jīng)歷出發(fā)，研究其中的數(shù)量關系.2.合作學習中的三個問題是采用由特殊到一般的實驗方法探究直角三角形中邊角之間的關系，教學中要重視學生在探究過程中的交流.問題1、2分別是將直角三角形的銳角固定，研究當邊長變化時，其三邊長兩兩之間的比值分別不

5、變.當學生完成取點、測量和計算比值的操作后，應及時引導學生交流，從交流中發(fā)現(xiàn)，其三組比值與在角邊上所取點的位置無關，由此體驗直角三角形的銳角固定，邊長變化時，其三邊長兩兩之間的比值分別不變.同時引導學生比較問題1、2所得出的結論，發(fā)現(xiàn)銳角不同，相應的比值不同，即比值隨角度的變化而變化.問題3是將1、2中的問題一般化，教學時應先引導學生根據(jù)問題1、2所得出的結論進展猜測，然后用相似三角形加以證明.3.三角函數(shù)的概念比較抽象，教學時應引導學生回憶函數(shù)的概念，并比較合作學習中所得的結論，感受把三個比值定義為銳角a的函數(shù)的合理性，由此打破教學難點.4.正弦、余弦和正切符號sinA，cosA和tanA的

6、讀法和書寫教學中都要進展示范.5.用sinA，cosA和tanA表示直角三角形中兩邊的比時要引導學生結合圖形進展，浸透數(shù)形結合，防止死記硬背.6.通過例1的教學，進一步穩(wěn)固直角三角形中一銳角的正弦、余弦和正切所對應的兩邊之比.教學中要注意解題過程的示范，并歸納在直角三角形中求三角函數(shù)值時，往往要結合勾股定理的應用.第2課時為特殊角30、45和60的三角函數(shù)值.1.本節(jié)課是在上節(jié)課已建立三角函數(shù)概念的根底上進一步探求特殊角的三角函數(shù)值.教學時應引導學生在回憶直角三角形的兩個銳角互余、直角三角形三邊之間關系勾股定理，以及直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識的根底上，根據(jù)銳角三角函數(shù)

7、的定義，自主探求30、45和60角的三角函數(shù)值.然后引導學生交流探求的結果，歸納出三個特殊角的9個三角函數(shù)值.2.由于三個特殊角的三角函數(shù)值應用廣泛，因此課本以表格的形式引導學生歸納.教學時可引導學生分別觀察30、45和60角的三個正弦值、三個余弦值及三個正切值之間的差異及存在的聯(lián)絡，以及其間蘊涵的規(guī)律：如30、45和60角的三個正弦值由小到大，分母均為2，分子依次為1、;而余弦函數(shù)值那么正好相反. 30、45和60角的三個正切函數(shù)值也由小到大，且三個數(shù)值存在著某種對稱，以45角是正切值1為對稱中心，30和60角的正切值分別是 和 ，互為倒數(shù)，且形式上存在對稱美.由此可打破特殊角三角函數(shù)值多、

8、容易混淆的難點.3.例2中首次出現(xiàn)三角函數(shù)平方 的書寫方法，教學時要明確它的含義并進展書寫示范.4.例3是用特殊角的三角函數(shù)值解決與直角三角形有關的實際問題，以學生熟悉的做操動作為問題情境.教學的難點是當手臂與程度方向成60角時，想象從手指尖向程度方向作垂線，所得的垂線、程度線和手臂之間構成直角三角形，從而將實際問題轉化為直角三角形中的計算問題.在例3的教學中，可以請學生模擬問題情境，共同分析解決問題的思路，得出解決問題的關鍵是構造直角三角形，求出當手臂與程度方向成60角時，手臂的垂直高度.另外，本例也是首次在直角三角形中利用三角函數(shù)值求邊長，其中表達了方程思想，教學時應加以歸納點撥.1.2

9、有關三角函數(shù)的計算本節(jié)有2課時.第1課時為用計算器求銳角的三角函數(shù)值1.在引入課題后，介紹用計算器求銳角的三角函數(shù)值時，假如學生所用的計算器型號不一，可分小組合作學習，讓每一組學生在互相幫助下學習，讓每個學生都根據(jù)自己的計算器型號修改表中求三角函數(shù)值的按鍵順序及顯示結果，然后進展交流，歸納按鍵順序及顯示結果的異同.2.用計算器求三角函數(shù)值的顯示結果一般有10個數(shù)位，假如問題中沒有特別說明，可準確到萬分位，即保存四位小數(shù);假如是運算的中間結果，那么應保存盡可能多的小數(shù)位.3.例1求三角形周長和面積的解題過程中，先將所求的周長和面積表示成邊長和角的三角函數(shù)的代數(shù)形式，最后再將邊長和角度代入計算.這

10、樣處理一方面方便書寫，另一方面可進步運算效率并減少計算誤差.第2課時為用計算器根據(jù)三角函數(shù)值求銳角.1.本節(jié)課以求公路彎道的長為背景設計問題引入，目的在于說明由三角函數(shù)值求銳角也是解決現(xiàn)實生活中實際問題的需要.教學中要重視讓圍繞合作學習的三個問題進展考慮、交流，由此感受學習由三角函數(shù)值求銳角的必要性和學習的價值，由此激發(fā)學習興趣.2.在引入課題后，介紹用計算器求銳角時，假如學生所用的計算器型號不一，同樣可分小組合作學習，讓每一組學生在互相幫助下學習，讓每個學生都根據(jù)自己的計算器型號修改課本中介紹的按鍵順序.3.用計算器求銳角，假如問題中沒有特別說明，應將計算結果準確到1.4.假如問題中給出或經(jīng)

11、計算求得的三角函數(shù)值恰好是30、45和60角的三角函數(shù)值，那么應要求學生不用計算器直接說出它所對應的角.1.3 解直角三角形本節(jié)有3課時.第1課時為解直角三角形的概念及其簡單應用.1.本節(jié)課以平屋頂改建成坡屋頂為問題情境引入，說明現(xiàn)實生活中經(jīng)常會遇到需要在直角三角形中由一些邊、角求另一些邊、角的問題，為表達方便，本教科書給出理解直角三角形的名稱，教學中只需要學生理解即可，不需要背、記概念.2.例1是解直角三角形的解題過程示范，同時進一步穩(wěn)固銳角三角函數(shù)知識.例1教學時，要注意引導學生分析條件，選擇適宜的求角和邊的方法.可先讓學生自主選擇求B和a，b的方法，然后進展交流比較.如：1求B可以按教科

12、書方法用直角三角形兩個銳角互余求得，也可以在求出邊長a，b后，通過計算B的正切值再用計算器求角得到.但采用后者不僅求解過程復雜，并且得到的是近似值，因此當一角時采用兩銳角互余的方法求另一角比較合理簡捷.2在求邊長時選用不需要除法運算的三角函數(shù)比較便捷.3求邊長b可用正切函數(shù)，由求得.但a是剛求得的近似值，用近似值代入計算不僅增加計算量，還可能影響結果的準確性，因此要盡量防止選用.如上種種，應在例1的根底上引導學生加以歸納、小結，同時培養(yǎng)學生養(yǎng)成解題后的反思總結的習慣，進步解決問題的才能.2.例2是用解直角三角形的方法解決簡單的實際問題，一方面穩(wěn)固解直角三角形的方法，另一方面是用解直角三角形的方

13、法解決實際問題的示范.例2教學后要引導學生小結：在直角三角形中，當兩條邊求第三邊時，一般選用勾股定理;當一條邊和一個銳角或銳角的三角函數(shù)時，選用適當?shù)娜呛瘮?shù)求解.解決一個問題往往需要綜合運用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和銳角是三角函數(shù)等.第2課時是解直角三角形在解決有關圖形計算問題中的進一步應用.1.對例3中的兩個術語坡比和坡角，容易混淆，教學時可以讓學生討論、區(qū)別它們的聯(lián)絡和區(qū)別：它們都與坡面有關，坡比是坡面的高度與程度間隔 的比，坡角是坡面的傾斜角;坡比與坡角的正切值相等.另外還可以引導學生歸納本章學習中遇到過的有關名詞，分析它們的異同：斜面、斜坡，傾角、傾斜角等.2.過梯形上底的端點作梯

14、形的高，是將梯形中的計算問題化歸為解直角三角形問題的常用輔助線，在例3教學后要引導學生加以總結.銳角三角形或鈍角三角形的高是將其轉化為直角三角形的輔助線.總之，過一點向一條線作垂線是將一些圖形問題化歸為直角三角形問題的根本輔助線.3.例4教學中應引導學生結合圖形加以分析，假如有條件可帶學生到跑道上實地查看，動手理論怎樣用皮卷尺確定彎道處兩點間的路程，引導學生用數(shù)學知識可以將較難測量的弧長轉化方便測量的弦長，由此將實際問題轉化為根據(jù)弧長求弦長的數(shù)學問題.而根據(jù)弧長求弦長在圖形中歸結為用兩條半徑和弦AB構造等腰三角形，再作等腰三角形的高，將求弦長的計算問題化歸為解直角三角形問題來解決.聯(lián)絡弧長和弦

15、長的關鍵量是弧所對的圓心角，所以首先要根據(jù)弧長的計算公式求出圓心角的度數(shù).4.通過本節(jié)課的作業(yè)題第4題和第6題，可以引導學生探求當三角形的一個銳角A及其兩條夾邊長b，c求三角形面積的方法，得出三角形的面積公式.但不要求學生記憶該公式.第3課時是解直角三角形在解決實際問題中的進一步應用.1.在例5教學中，首先應引導學生分析題意，聯(lián)絡速度與時間和路程的關系，時間求速度，關鍵要知道路程，由此將求速度問題轉化為求路程問題.然后根據(jù)問題的描繪畫出船的位置和航行道路，借助圖形的直觀加以分析，用數(shù)形結合的方法將實際問題轉化為數(shù)學中的解直角三角形問題，這是解決本例的關鍵，也是本例教學中要讓學生重點體驗和累積經(jīng)

16、歷之處.2.例6中A樓的高度，根據(jù)所給的條件，由視線、地面程度線和A樓邊沿的鉛垂線構成直角三角形可直接求得，而D樓的高度不能直接求得，但由條件可以求出A、D兩幢樓的落差，由此可求得D樓的高度.因此解決本例的關鍵是以點A觀察點D的視線為斜邊和適當?shù)某潭染€及鉛垂線為直角邊構造直角三角形，除課本給出的構造方法外，還可以采用過D向程度線AF作垂線的方法得到.教學中可讓學生嘗試分析問題并構造三角形，然后交流不同構造方法的特點和便捷性，鼓勵學生學習的積極性，使學習成為主動的富有個性的過程.3.例5、例6教學后應引導學生總結，將實際問題化歸為解直角三角形問題，構造適當?shù)闹苯侨切问顷P鍵.航行問題中的三角形往

17、往由方位線和航行道路構成，高度測量問題中的三角形由視線、程度線和鉛垂線等構成.方位線、視線可分別由方位角和視角確定，要求學生對方位角、和各種視角如仰角、俯角、觀察角有準確的理解和想象，并準確畫出這些線.4.課內(nèi)練習第3題在畫出圖形后，需要根據(jù)勾股定理列方程解答，這是解直角三角形中常用方程思想，教學中要加以引導總結.5.本節(jié)后的設計題，假如學校沒有測傾儀，老師可××部分學生用一個大量角器動手制作.然后讓學生分組、分時段施行測量.課題學習本課題學習教學目的為：讓學生經(jīng)歷會徽中數(shù)學知識的挖掘與欣賞過程，進一步感受數(shù)學知識在圖案設計中的應用，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣;進一步體會直

18、角三角形中邊角之間的關系，加深對銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識的理解和整體性認識，從而進一步開展應用解直角三角形解決問題的意識和才能.1.在探究求 ， ，之前，可讓學生考慮，怎樣畫出圖1-27，有幾種不同的畫法，由此讓學生體會求的意義，激發(fā)探求的積極性.在探究第幾個直角三角形的內(nèi)角 是第一個小于20的角時，可以引導學生根據(jù)圖形，列出邊長OAn= 或根據(jù)銳角三角函數(shù)的正切函數(shù)值隨角度的增大而增大的關系列出不等式 tan20，然后可根據(jù)不等式的根本性質(zhì)，將它變形為 ，再用計算器進展估計.2.在探究北京國際數(shù)學家大會的會徽中蘊涵的數(shù)學時，在引導學生觀察會徽特點的根底上，可以用怎樣畫出這個圖案來激發(fā)探究

19、的興趣和探究的方向.如要使圖案中的大小正方形邊長分別為m，nmn，那么可以求出直角三角形的邊長來畫，也可以求出直角三角形的內(nèi)角來畫.3.在課題學習的教學中，既要放手讓學生自主探究，又要引導學生間進展合作與交流.如在學生自主提出關于北京數(shù)學家大會會徽的兩個數(shù)學問題后，應引導學生交流，可請學生邀請同伴解答并互相評價;在學生自主探究如何畫出圖1-27和圖1-28的方法后，讓學生交流所想到的不同方法，以及相應畫法所需要的數(shù)據(jù)與求法，并嘗試畫一畫;在學生自主選取大小正方形邊長的不同值畫出圖1-28后，交流所畫的圖形，欣賞圖案的變化等等.四、本章教學中應注意的問題1.邊角之間的關系用函數(shù)來定義，學生理解有

20、困難，教學時應引導學生適當回憶函數(shù)的概念，使學生體會三角函數(shù)的定義的合理性.2.注意創(chuàng)設學生熟悉的問題情境.如引入銳角三角函數(shù)時，假設農(nóng)村學生沒有見過電梯，可以用山坡、屋頂?shù)男泵?，或用木板現(xiàn)場搭建斜面等創(chuàng)設問題情境.使學生在熟悉的問題情境中，從已有經(jīng)歷出發(fā)，研究其中的數(shù)量關系.3.注意引導學生進展合作交流.如在探究銳角三角函數(shù)時，在角的邊上選點、作垂線、測量、計算比值后讓學生及時交流，體會當角的大小固定時，比值與所選點的位置無關;當任意畫一個銳角再選點、作垂線、測量、計算比值后，及時交流，體會當角的大小變化時，比值也隨之變化，由此體驗比值是角的函數(shù).宋以后，京師所設小學館和武學堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學一律循之不變。明朝入選翰林院的進士之師稱“教習。到清末，學堂興起，各科老師仍沿用“教習一稱。其實“教諭在明清時還有學官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學正?！敖淌凇皩W正和“教諭的副手一律稱“訓導。于民間，特別是漢代以后，對于在“校或“學中傳授經(jīng)學者也稱為“經(jīng)師。在一些特定的講學場合，比方