極限與探索性問題的解題技巧

1、第九講 極限與探索性問題的解題技巧【命題趨向】綜觀2007年全國各套高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)極限的考查有以下一些知識(shí)類型與特點(diǎn)：1數(shù)學(xué)歸納法客觀性試題主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)的理解，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用)解答題大多以考查數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等綜合性的知識(shí)，在解題過程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的一種主要思想方法. 在由n=k時(shí)命題成立，證明

2、n=k+1命題也成立時(shí)，要注意設(shè)法化去增加的項(xiàng)，通常要用到拆項(xiàng)、組合、添項(xiàng)、減項(xiàng)、分解、化簡(jiǎn)等技巧，這一點(diǎn)要高度注意2. 數(shù)列的極限客觀性試題主要考查極限的四則運(yùn)算法則、無窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和等內(nèi)容，對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高，直接運(yùn)用四則運(yùn)算法則求極限解答題大多結(jié)合數(shù)列的計(jì)算求極限等，涉及到函數(shù)、方程、不等式知識(shí)的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目.數(shù)列與幾何：由同樣的方法得到非常有規(guī)律的同一類幾何圖形，通常相關(guān)幾何量構(gòu)成等比數(shù)列，這是一類新題型3函數(shù)的極限此部分為新增內(nèi)容，本章內(nèi)容在高考中以填空題和解答題為主應(yīng)著重在概念的理解，通過考

3、查函數(shù)在自變量的某一變化過程中，函數(shù)值的變化趨勢(shì)，說出函數(shù)的極限利用極限的運(yùn)算法則求函數(shù)的極限進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的內(nèi)容之一.它把高中的極限知識(shí)與大學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)在一起.在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個(gè)熱點(diǎn).4.在一套高考試題中，極限一般分別有1個(gè)客觀題或1個(gè)解答題，分值在5分12分之間5.在高考試題中，極限題多以低檔或中檔題目為主，一般不會(huì)出現(xiàn)較難題，更不會(huì)出現(xiàn)難題，因而極限題是高考中的得分點(diǎn)6.注意掌握以下思想方法 極限思想：在變化中求不變，在運(yùn)動(dòng)中求靜止的思想； 數(shù)形結(jié)合思想，如用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及用導(dǎo)數(shù)求單

4、調(diào)性、極值等.此類題大多以解答題的形式出現(xiàn)，這類題主要考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，分析問題和學(xué)生解決問題的能力，對(duì)運(yùn)算能力要求較高【考點(diǎn)透視】1理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題2了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念3掌握極限的四則運(yùn)算法則；會(huì)求某些數(shù)列與函數(shù)的極限4了解函數(shù)連續(xù)的意義，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)【例題解析】考點(diǎn)1 數(shù)列的極限1.數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列an的項(xiàng)an無限地趨近于某個(gè)常數(shù)a（即|ana|無限地接近于0），那么就說數(shù)列an以a為極限.注意：a不一定是an中的項(xiàng).2.幾個(gè)常用的極限：C=C（C為常數(shù)）;=0;

5、qn=0（|q|1）.3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：設(shè)數(shù)列an、bn，當(dāng)an=a, bn=b時(shí)， （an±bn）=a±b; 例1. ( 2006年湖南卷）數(shù)列滿足:,且對(duì)于任意的正整數(shù)m,n都有,則 ( )A. B. C. D.2考查目的本題考查無窮遞縮等比數(shù)列求和公式和公式 的應(yīng)用.解答過程由和得故選A.例2（2006年安徽卷）設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則_.考查目的本題考查利用二項(xiàng)式定理求出關(guān)鍵數(shù), 再求極限的能力.解答過程 ，由，所以，所以為1.例3. （2007年福建卷理）把展開成關(guān)于的多項(xiàng)式，其各項(xiàng)系數(shù)和為，則等于( )（ ）ABCD2考查目的本題考查無窮遞縮等比數(shù)

6、列求和公式和公式 的應(yīng)用.解答過程 故選D例4. (2007年天津卷理)設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項(xiàng)的和為，則思路啟迪：由等差數(shù)列的公差是2，先求出前項(xiàng)的和為和通項(xiàng)解答過程 故填3小結(jié):1.運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求一些數(shù)列的極限時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：（1）各數(shù)列的極限必須存在；（2）四則運(yùn)算只限于有限個(gè)數(shù)列極限的運(yùn)算.2.熟練掌握如下幾個(gè)常用極限：（1） C=C（C為常數(shù)）;（2） （）p=0（p0）;（3） =（kN *,a、b、c、dR且c0）;（4） qn=0（|q|1）.例5. (2007年重慶卷理)設(shè)正數(shù)a, b滿足則（ ）（A）0（B）（C）（D）1解:故選B 小結(jié):重視在日常學(xué)習(xí)過程

7、中運(yùn)用化歸思想.考點(diǎn)2 函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就說當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當(dāng)x時(shí)，f（x）a.（2）一般地，當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)x0（但x不等于x0）時(shí)，如果函數(shù)f（x）無限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說當(dāng)x趨近于x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當(dāng)xx0時(shí)，f（x）a.（3）一般地，如果當(dāng)x從點(diǎn)x=x0左側(cè)（即xx0無限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無限趨近于常數(shù)a,就說a是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的左極限，記作f （x）=a.如果從點(diǎn)x=x0右側(cè)（即xx0）無限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f

8、 （x）無限趨近于常數(shù)a,就說a是函數(shù) f （x）在點(diǎn)x0處的右極限，記作f（x）=a.2.極限的四則運(yùn)算法則：如果f （x）=a, g（x）=b,那么f（x）±g（x）=a±b; f（x）·g（x）=a·b; =（b0）.例6(2007年江西卷理) =( ) A等于0 B等于l C等于3 D不存在考查目的本題主要考查利用同解變形求函數(shù)極限的能力.解答過程 故選B例7(2007年四川卷理) ( )（A）0（B）1（C）（D）考查目的本題主要考查利用分解因式同解變形求函數(shù)極限的能力.解答過程 故選D例8.若f （x）=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則f （0）=_.思

9、路啟迪：利用逆向思維球解.解答過程：f（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，f （0）=f （x）,f （x）= = =.答案: 例9.設(shè)函數(shù)f （x）=ax2+bx+c是一個(gè)偶函數(shù),且f （x）=0,f （x）=3,求這一函數(shù)最大值.思路啟迪：由函數(shù)f （x）=ax2+bx+c是一個(gè)偶函數(shù),利用f （x）=f （x）構(gòu)造方程,求出b的值.解答過程：f （x）=ax2+bx+c是一偶函數(shù),f （x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2bx+c.b=0.f （x）=ax2+c.又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1.f （x）=x2+1.f （x）ma

10、x=f（0）=1.f （x）的最大值為1.例10.設(shè)f（x）是x的三次多項(xiàng)式，已知=1.求的值（a為非零常數(shù)）.解答過程：由于=1,可知f（2a）=0. 同理f（4a）=0. 由，可知f（x）必含有（x2a）與（x4a）的因式，由于f（x）是x的三次多項(xiàng)式，故可設(shè)f（x）=A（x2a）（x4a）（xC）.這里A、C均為待定的常數(shù).由=1,即=A（x4a）（xC）=1,得A（2a4a）（2aC）=1,即4a2A2aCA=1. 同理，由于=1,得A（4a2a）（4aC）=1,即8a2A2aCA=1. 由得C=3a,A=,因而f（x）=（x2a）（x4a）（x3a）.=（x2a）（x4a）=

11、3;a·（a）=.例11 a為常數(shù)，若（ax）=0,則a的值是_.思路啟迪：先對(duì)括號(hào)內(nèi)的的式子變形.解答過程：（ax）= =0,1a2=0.a=±1.但a=1時(shí)，分母0,a=1.考點(diǎn)3.函數(shù)的連續(xù)性及極限的應(yīng)用1.函數(shù)的連續(xù)性.一般地，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處連續(xù)必須滿足下面三個(gè)條件：（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處有定義；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處及其附近有定義，而且f（x）=f（x0）,就說函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù).2.如果f（x）是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f（x）在閉區(qū)間a,b上有最大值和最小值.3.若

12、f（x）、g（x）都在點(diǎn)x0處連續(xù),則f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）0）也在點(diǎn)x0處連續(xù).若u（x）在點(diǎn)x0處連續(xù),且f（u）在u0=u（x0）處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)fu（x）在點(diǎn)x0處也連續(xù).例12.f（x）在x=x0處連續(xù)是f（x）在x=x0處有定義的_條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要思路啟迪：說明問題即可.解答過程：f（x）在x=x0處有定義不一定連續(xù).答案：A例13.f（x）=的不連續(xù)點(diǎn)為( )A.x=0 B.x=（k=0,±1,±2,）C.x=0和x=2k（k=0,±1,±2

13、,） D.x=0和x=（k=0,±1,±2,）思路啟迪：由條件出發(fā)列方程解之.解答過程：由cos=0,得=k+（kZ）,x=.又x=0也不是連續(xù)點(diǎn),故選D答案：D例14. 設(shè)f（x）=當(dāng)a為_時(shí),函數(shù)f（x）是連續(xù)的.解答過程：f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故當(dāng)a=1時(shí), f（x）=f（0）,即說明函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù),而在x0時(shí),f（x）顯然連續(xù),于是我們可判斷當(dāng)a=1時(shí), f（x）在（,+）內(nèi)是連續(xù)的.小結(jié)：分段函數(shù)討論連續(xù)性,一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限,進(jìn)而斷定連續(xù)性.例15.已知函數(shù)f（x）=函數(shù)f（x）在哪點(diǎn)連續(xù)(

14、 )A.處處連續(xù) B.x=1 C.x=0 D.x=思路啟迪：考慮結(jié)果的啟發(fā)性.解答過程：f（x）= f（x）=f（）.答案：D例16.拋物線y=b（）2、x軸及直線AB:x=a圍成了如圖（1）的陰影部分,AB與x軸交于點(diǎn)A,把線段OA分成n等份,作以為底的內(nèi)接矩形如圖（2）,陰影部分的面積為S等于這些內(nèi)接矩形面積之和當(dāng)n時(shí)的極限值,求S的值.思路啟迪：先列出式子.解答過程：S=b·（）2+b·（）2+b·（）2+b·（）22·=·ab=·ab=ab.例17.如圖，在邊長為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O

15、1外切，且與AB、BC相切,圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去,記圓On的面積為an（nN*）. （1）證明an是等比數(shù)列；（2）求（a1+a2+an）的值.解答過程：（1）證明:記rn為圓On的半徑，則r1=tan30°=l.=sin30°=,rn=rn1（n2）.于是a1=r12=,=（）2=,an成等比數(shù)列.（2）解：因?yàn)閍n=（）n1·a1（nN*）,所以（a1+a2+an）=.例18. 一彈性小球自h0=5 m高處自由下落,當(dāng)它與水平地面每碰撞一次后速度減少到碰前的,不計(jì)每次碰撞時(shí)間,則小球從開始下落到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程和時(shí)間

16、分別是多少?解答過程：設(shè)小球第一次落地時(shí)速度為v0,則有v0=10（m/s）,那么第二,第三,第n+1次落地速度分別為v1=v0,v2=（）2v0,vn=（）nv0,小球開始下落到第一次與地相碰經(jīng)過的路程為h0=5 m,小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的路程是L1=2×=10×（.小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過的路程為L2,則L2=2×=10×（）4.由數(shù)學(xué)歸納法可知,小球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過路程為Ln=10×（）2n.故從第一次到第n+1次所經(jīng)過的路程為Sn+1=h0+L1+L2+Ln,則整個(gè)過程總路程為S=Sn+1

17、=5+10×=5+10=20.3（m）,小球從開始下落到第一次與地面相碰經(jīng)過時(shí)間t0=1（s）.小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的時(shí)間t1=2×=2×,同理可得tn=2×（）n,tn+1=t0+t1+t2+tn,則t=tn+1=1+2×=8（s）.考點(diǎn)4.新考題例19（2007年遼寧卷理）（本小題滿分12分）已知數(shù)列、與函數(shù)、，滿足條件： （I）若，且存在，求的取值范圍，并求（用表示）（II）若函數(shù)在上是增函數(shù)，證明對(duì)任意的，考查目的本小題主要考查數(shù)列的定義，數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列，函數(shù)，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決問題的

18、能力. 解答過程（）解法一：由題設(shè)知，可得 由是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，于是 又 解法二：由題設(shè)知，可得 由，公比為的等比數(shù)列. 由 所以 解法三：由題設(shè)知，即 ， 于是有 得，得 由 所以的等比數(shù)列，于是 又 說明：數(shù)列an通項(xiàng)公式的求法和結(jié)果的表達(dá)形式均不唯一，其他過程和結(jié)果參照以上評(píng)分標(biāo)準(zhǔn). （）證明：因?yàn)?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 （1）當(dāng)，得 即，結(jié)論成立. （2）假設(shè)n = k時(shí)結(jié)論成立，即為增函數(shù)，得 ， 進(jìn)而得 這就是說當(dāng)n = k +1時(shí)，結(jié)論也成立. 根據(jù)（1）和（2）可知，對(duì)任意的例20.(2006年廣東卷）已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為.()求數(shù)列

19、的首項(xiàng)和公比；()對(duì)給定的,設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.求數(shù)列的前10項(xiàng)之和；()設(shè)為數(shù)列的第項(xiàng)，求，并求正整數(shù)，使得存在且不等于零.(注：無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)時(shí)該無窮數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)考查目的本題考查運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，從已知的條件入手列方程組求出等比數(shù)列的公比和首項(xiàng).解答過程 ()依題意可知,()由()知,所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155.() =，=當(dāng)m=2時(shí)，=，當(dāng)m>2時(shí)，=0，所以m=2.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】一.選擇題 1.下列極限正確的個(gè)數(shù)是=0（0）;qn=0;=1 ; C=C（C為常數(shù)）A.2B.3會(huì) C.4 D.都不正確2.下列

20、四個(gè)命題中正確的是A.若an2A2，則anA B.若an0，anA，則A0C.若anA，則an2A2 D.若（anb）0，則anbn3.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0處存在極限的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.f（x）=下列結(jié)論正確的是( )A.=f（x） B.=2，不存在C.f （x）=0, 不存在 D.f （x）f （x）5.下列圖象表示的函數(shù)在x=x0處連續(xù)的是( )A. B. C. D.6.若f（x）在定義域a,b上有定義,則在該區(qū)間上( )A.一定連續(xù) B.一定不連續(xù) C.可能連續(xù)也可能不連續(xù) D.以上均不正確7.已知，如果bc0，那么=( )A、 15 B、 C、 D、8.若r為實(shí)常數(shù)，則集合A、恰有一個(gè)元素B、恰有兩個(gè)元素 C、恰有三個(gè)元素 D、無數(shù)多個(gè)元素9. （C）A1 B1 C D10. 已知，下面結(jié)論正確的是（ ）A.在處連續(xù) B. C. D.二.填空題11.四個(gè)函數(shù):f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0處連續(xù)的函數(shù)是_.（把你認(rèn)為正確的代號(hào)都填上）12.下四個(gè)命題:f（x）=在0,1上連續(xù);若f（x）是（a,b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù),則f（x）在（a,b）內(nèi)有最大值和最小值;=4;若f（x）=則f（x）=0.其中正確命題的序號(hào)