數(shù)學(xué)常微分方程第五章

1、 5.2線性微分方程組的一般理論General Theory of Linear ODEs 5.2General Theory of Linear ODEs本節(jié)要求/Requirements/ 掌握線性齊次微分方程組的解的性質(zhì)及代數(shù)結(jié)構(gòu)。 掌握線性非齊次微分方程組的解的代數(shù)結(jié)構(gòu)，理解常數(shù)變易法的基本思想。 5.2General Theory of Linear ODEsdx = x = A(t) x +f (t)(5.14)dt如果 f (t) 0如果 f (t) 0則(5.14)稱為非齊次線性的。則方程 (5.15）稱為齊次線性的。x = A(t) x(5.15)若A(t) 為常數(shù)矩陣，則稱

2、為常系數(shù)線性方程組。x = Ax 5.2General Theory of Linear ODEs5.2.1 齊線性微分方程組x = A(t) x(5.15)定理2（疊）如果 u(t)和 v(t)是(5.15)的解，a u(t) + b v(t) 也是(5.15)的解。則它們的線性組合證明：a u(t) + b v(t) = a u(t) + b v(t)= a A(t)u(t) + bA(t) v(t) = A(t)a u(t) + b v(t) 5.2General Theory of Linear ODEs如果n (t) 是(5.15)的解，則(t)也是(5.15)的解。x (t) =

3、sin t , x(t) = cost 可驗(yàn)證cost- sin t12是方程組 x = 01 x的解，則-10x(t) = C sin t + C cost 也是方程組的解。12- sin tcost 5.2General Theory of Linear ODEs基本概念/Basic Concept/a t b 上的向量函數(shù)m (t)定義在區(qū)間是線性相關(guān)的，如果存在不的常數(shù)c1, c2 , cm ,c1成立；否則，使得等式m (t) 0,a t b為線性無(wú)關(guān)的。m (t) 5.2General Theory of Linear ODEs10 0 0t 0 ,例, 線性無(wú)關(guān)。- t MM M

4、 00kta t b x12 (t) 上的向量函數(shù)設(shè)有 n 個(gè)定義在區(qū)間 x11 (t) x1n (t)x(t)21 x(t)x(t)x (t) = ,x (t) = ,L, x(t) = 222n12MnMMx(t)x(t) n 2 xnn (t)n1 5.2General Theory of Linear ODEs由這n個(gè)向量函數(shù)的行列式， x11 (t)x1n (t)x12 (t)x22 (t)MLLMLx(t)21x2n (t)(t) W (t) detW nMMxx(t)(t)x(t)n1n 2nn稱為這些向量函數(shù)的行列式。定理3如果向量函數(shù)n (t)在區(qū)間行列式a t b上線性相關(guān)

5、，則它們的W (t) 0,a t b 5.2General Theory of Linear ODEsc1, c2 ,L, cn證明由假設(shè)，存在不使得的常數(shù)(t) 0,a t b(5.16)(t) = 0(t) = 0(t) = 0其系數(shù)行列式恰是 W (t)證畢W (t) 0a t b 5.2General Theory of Linear ODEsn (t)行列式定理4如果(5.15)的解線性無(wú)關(guān)，那么，它們的W (t) 0,證明 用反證法。a t ba t0 b設(shè)有某一個(gè)t0 ,使得 W (t0 ) = 0,考慮下面的齊次線性代數(shù)方程組：(t0 ) = 0(5.17) 5.2Genera

6、l Theory of Linear ODEs它的系數(shù)行列式 W (t0 ) = 0 ，所以(5.17)有非零解c c ,L, c ,(t0 ) = 01,2n以這個(gè)非零解作向量函數(shù)x(t) (5.18)(t)x(t) 是(5.15)的解，且滿足初始條件x(t0 ) = 0(5.19)而在a t b 上恒等于零的向量函數(shù) 0 也是(5.15)的滿足初始條件(5.19)的解。 5.2General Theory of Linear ODEsx(t) 0由解的唯一性，知道即(t) = 0,a t bc c ,L, c因?yàn)椴籲 (t)，這就與1,2n線性無(wú)關(guān)。定理得證。n (t) 作成的結(jié)論由(5.

7、15) 的解行列式W ( t ) 或者恒等于零，或者恒不等于零。 5.2General Theory of Linear ODEs定理5(5.15)一定存在 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。010001x1 (t0 ) = ,(t ) = (t ) = ,xxMn0MM2000 1 x1 (t),x2 (t),xn (t)W (t0 ) = 1 0,n (t)線性無(wú)關(guān)定理得證。 5.2General Theory of Linear ODEs定理6 如果n (t) 是 (5.15) n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則(5.15)的任一解 x ( t ) 均可表示為x(t) = c1這里 c1, c2 ,L, cnn

8、(t)是相應(yīng)的確定常數(shù)。證明任取(5.15)的任一解，它滿足x(t)x(t0 ) = x0x(t0 ) = c1t0 a, b(5.20)令n (t0 )上式看作是以 c1, c2 ,L, cn量的線性代數(shù)方程組， 5.2General Theory of Linear ODEs系數(shù)行列式就是線性無(wú)關(guān)，則W (t0 ),因?yàn)閃 (t0 ) 0n (t)，(5.20)有唯一解c , c ,L, c(t ) = x(t )使得12n00作向量函數(shù)它顯然是(5.15)的解，且滿足條件(t0 ) = x(t0 )(t)x(t) 與(t) 具有相同的初始條件，因此由解的存在唯一性條件可知x(t) = c

9、1 x1 (t) + c2 x2 (t) + cnxn (t)證畢 5.2General Theory of Linear ODEs推論1(5.15)線性無(wú)關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于 n ?；窘饨M： (5.15)的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解。由(5.15) n 個(gè)解的列的矩陣。解矩陣：基解矩陣： 由(5.15) n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解的列的矩陣。F(0) = Edet F(t) 0標(biāo)準(zhǔn)基矩陣：定理5和定理6的另一種形式 5.2General Theory of Linear ODEs定理1*(5.15)一定存在基解矩陣；若 y (t)是(5.15)y (t) = F(t)c任一解，則y (t) = c1n (t)

10、定理2*一個(gè)解矩陣是基解矩陣的充要條件是det F(t) 0(a t b)t0 a, b, det F(t0 ) 0,a t b而且，如果對(duì)某一個(gè)則det F(t) 0, 5.2General Theory of Linear ODEsettet 驗(yàn)證 F(t) = 0 是方程組例1et1x = 11 2 01x的基解矩陣。j1(t) 表示首先證明F(t)是解矩陣。令F(t)解的第一列，j2 (t)表示F(t)的第二列 5.2General Theory of Linear ODEset 1et et 11j1j (t) =1 0 = 0 (t)011100et+ tet 1tet et+ t

11、et 111j (t) =j= = (t)022et101tete這表示 j1(t),j2 (t)是方程組的解，因此F(t) = j1(t),j2 (t)是解矩陣。又因?yàn)閐et F(t) = e2t 0 ，所以 F(t) 是基解矩陣。 5.2General Theory of Linear ODEsx = A(t)xa t b結(jié)論：X (t) 是方程組(5.15)的一解矩陣的充要條件是 X (t)必滿足關(guān)系X (t) = A(t) X (t)X (t) = (= (a t bn (t)n (t)= ( A(t) x1, A(t) x2 ,L, A(t) xn )= A(t)(n ) = A(t

12、) X (t) 5.2General Theory of Linear ODEs如果是(5.15)在區(qū)間上的F(t)a t b推論1n n基解矩陣， C 非奇異常數(shù)矩陣，那么,也是(5.15)在區(qū)間 a t b 上的基解矩陣。F(t)C證明令Y(t) F(t)C(a t b)Y(t) F(t)C A(t)Y(t) A(t)F(t)CY(t)是解矩陣。det Y(t) = det F(t) det C 0a t bY(t)即F(t)C是(5.15)的基解矩陣。證畢 5.2 General Theory of Linear ODEsa t b 上是方程組推論2 如果 F(t), Y(t)在區(qū)間(5

13、.15)的兩個(gè)基解矩陣，那么，存在一個(gè)非奇異 n na t b 上Y(t) = F(t)C常數(shù)矩陣C,使得在區(qū)間F(t) 基解矩陣， F-1(t)證明存在，令F-1(t) Y(t) = X (t)或Y(t) = F(t) X (t)A(t)Y(t) Y (t) F(t) X (t) + F(t) X (t)= A(t)F(t) X (t) + F(t) X (t) = A(t)Y(t) + F(t) X (t)F(t) X (t) = 0Y(t) = F(t)CX (t) = 0X (t) = Cdet C = det F-1(0) Y(0) 0證畢 5.2General Theory of Linear ODEs在區(qū)間 a t b 上是某方程組推論3 如果 F(t)的基解矩陣，那么，這個(gè)方程組為x = F(t)F-1(t) x設(shè)所求方程組為F(t) = A(t)F(t)A(t) = F(t)F-1(t)a t bx = A(t) xa t ba t b證明則故 5.2General Theory of Linear ODEs例已知一個(gè)一階線性齊次方程組的基解矩陣為e2tte2t ，求該方程組。F(t) = 0e2te2t 0- te2t