線性代數(shù)沖刺講義鄧澤華VIP

1、2011導(dǎo)航領(lǐng)航考研沖刺班數(shù)學(xué)講義線性代數(shù)鄧澤華 編第二篇 線性代數(shù)一、填空題分析填空題主要考查基礎(chǔ)知識和運(yùn)算能力，特別是運(yùn)算的準(zhǔn)確性。1.（06-1-2-3）設(shè)矩陣，矩陣滿足，則.【矩陣行列式，2】2.（06-4）設(shè)矩陣，矩陣滿足，則.【矩陣方程，】3.（04-1-2）設(shè)矩陣，矩陣滿足，則.【矩陣行列式，】4.（03-4）設(shè)，均為三階矩陣，已知，則.【矩陣方程，】5.（04-4）設(shè)，其中為三階可逆矩陣，則.【矩陣運(yùn)算，】6.（06-4）已知為二維列向量，矩陣，. 若行列式，則.【矩陣行列式，】7.（03-2）設(shè)為三維列向量，若, 則.【向量乘積，】8.（05-1-2-4）設(shè)均為三維列向量，記

2、矩陣，. 若行列式，則.【矩陣行列式，】9.（03-3-4）設(shè)維向量，其中的逆矩陣為，則.【矩陣運(yùn)算，】10.（03-2）設(shè)，均為三階矩陣，已知，若，則.【矩陣行列式，】11.（03-1）從的基到基的過渡矩陣為.【過渡矩陣，】12.（05-3-4）設(shè)行向量組，線性相關(guān)，且，則.【向量線性相關(guān)性，】13.（04-4）設(shè)是實(shí)正交矩陣，且，則線性方程組的解是.【非齊次線性方程組，】14.（04-3）二次型的秩為.【二次型的秩，2】15.（07-1-2-3-4）設(shè)矩陣，則的秩為.【矩陣的秩，1】16.（08-1）設(shè)為二階矩陣，是線性無關(guān)的二維列向量，則的非零特征值為.【特征值與相似矩陣，】17.（08

3、-2）設(shè)3階矩陣的特征值為，且，則.【特征值與行列式，】18.（08-3）設(shè)3階矩陣的特征值為1，2，2，則.【特征值與行列式，】19.（08-4）設(shè)三階矩陣的特征值互不相同，若行列式，則.【特征值與行列式，】20.（08-n）設(shè)三階矩陣的特征值為，則行列式.【特征值與行列式，】21.（09-1）設(shè)三維列向量滿足，則矩陣的非零特征值為.【特征值，】22.（09-2）設(shè)為三維列向量，若矩陣相似于，則.【相似矩陣，】23.（09-3）設(shè)，若矩陣相似于，則.【相似矩陣，】24.（08-n）設(shè)向量組線性相關(guān)，則.【線性相關(guān)性，】25.（10-1）設(shè)，若由生成的向量空間的維數(shù)為，則.【向量空間，】26.

4、（10-2-3）設(shè)為階矩陣，且，則.【行列式，】27.（10-n）設(shè)，則行列式.【行列式，】二、選擇題分析解選擇題的方法有直接法；間接法（排除法、特例法等）；數(shù)形結(jié)合法?？键c(diǎn)涉及概念、理論、方法和運(yùn)算，少數(shù)考題有一定難度。1.（05-3）設(shè)矩陣滿足，若為三個(gè)相等的正數(shù)，則為（ ）.（A）（B）（C）（D）【矩陣的行列式，A】2.（05-4）設(shè)均為階矩陣，若，則為（ ）.（A）（B）（C）（D）【矩陣運(yùn)算A】3.（04-3-4）設(shè)階矩陣與等價(jià)，則必有（ ）.（A）當(dāng)時(shí)，（B）當(dāng)時(shí)，（C）當(dāng)時(shí)，（D）當(dāng)時(shí)，【等價(jià)矩陣，D】4.（04-1）設(shè)非零矩陣滿足，則（ ）.(A)的列向量組線性相關(guān),的行向量

5、組線性相關(guān)(B)的列向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān)(C)的行向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān)(D)的行向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān)【線性相關(guān)性，A】5.（06-1-2-3）設(shè)均為維列向量，是矩陣，下列選項(xiàng)正確的是（ ）.(A)若線性相關(guān)，則線性相關(guān)(B)若線性相關(guān)，則線性無關(guān)(C)若線性無關(guān)，則線性相關(guān)(D)若線性無關(guān)，則線性無關(guān)【線性相關(guān)性，A】6.（04-1）設(shè)為三階矩陣，將的第1列與第2列交換得，再將的第2列加到第3列得，則滿足的可逆矩陣為（ ）.（A）（B）（C）（D）【初等變換的乘法形式，D】7.（06-1-2-3-4）設(shè)為三階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的

6、倍加到第2列得，記，則（ ）.（A）（B）（C）（D）【初等變換的乘法形式，B】8.（05-1-2）設(shè)為階可逆矩陣，交換的第1行與第2行得矩陣，則（ ）.（A）交換的第1列與第2列得（B）交換的第1行與第2行得（C）交換的第1列與第2列得（D）交換的第1行與第2行得【初等變換的乘法形式，C】9.（04-3）設(shè)階矩陣的伴隨矩陣，若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（ ）.（A）不存在 （B）僅含一個(gè)非零解向量（C）含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量（D）含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量【基礎(chǔ)解系，B】10.（05-1-2-3）設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，則線性無

7、關(guān)的充分必要條件是（ ）.（A）（B）（C）（D）【線性相關(guān)性，B】11.（07-1-2-3-4）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）.（A） （B）（C）（D）【線性相關(guān)性，A】12.（07-1-2-3-4）設(shè)矩陣，則與（）.（A）合同，且相似 （B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似【相似與合同，B】13.（08-1-2-3-4）設(shè)為階非零矩陣，若，則（）.（A）不可逆，不可逆 （B）不可逆，可逆（C）可逆，可逆 （D）可逆，不可逆【可逆性，C】14.（08-1）設(shè)為三階實(shí)對稱矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖所示（雙葉雙曲面），則的正

8、特征值個(gè)數(shù)為（）.(A)（B）（C）（D）【特征值，B】15.（08-2-3-4）設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上與合同的矩陣為（）.（A）（B）（C）（D）【合同矩陣，D】16.（08-n）設(shè)為維列向量，矩陣.若行列式，則行列式（ ）. （A） （B） （C） （D）【矩陣行列式，D】17.（08-n）已知向量組線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）.（A）（B）（C）（D）【線性相關(guān)性，C】18.（09-1）設(shè)是維向量空間的一組基，則由基到基的過渡矩陣為（）.(A) (B) (C) (D)【過渡矩陣，A】19.（09-1-2-3）設(shè)均為二階矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（）.(A)（B）（C）（D）【

9、伴隨矩陣，B】20.（09-2-3）設(shè)均為三階矩陣，且，若，則為（）.(A) (B) (C) (D)【矩陣運(yùn)算，A】21.（09-n）設(shè)矩陣的秩為，則（）.(A)（B）（C）（D）【矩陣的秩，C】22.（09-n）設(shè)為三階矩陣，的行列式，則為（）.(A) (B) (C) (D)【矩陣的行列式，A】23.（10-1）設(shè)是矩陣，是矩陣，是階單位矩陣，若，則（）. (A)秩，秩 (B)秩，秩(C)秩，秩 (D)秩，秩【考查矩陣的秩， A】24.（10-1-2-3-n）設(shè)為四階實(shí)對稱矩陣，且，若的秩為，則相似于（）. (A)(B)(C)(D)【考查實(shí)對稱陣的相似對角化，D】25.（10-2-3-n）設(shè)

10、向量組：可由向量組：線性表示，則下列命題中正確的是（）. (A)若向量組線性無關(guān)，則 (B)若向量組線性相關(guān)，則(C)若向量組線性無關(guān)，則 (D)若向量組線性相關(guān)，則【考查向量組的秩，A】三、解答題分析（一）考點(diǎn)分析近年的考點(diǎn)分布情況如下：數(shù)學(xué)一07年 方程組的公共解，實(shí)對稱矩陣及其多項(xiàng)式的特征值與特征向量08年 行列式與方程組、秩不等式09年 方程組與線性相關(guān)性、二次型矩陣的特征值與規(guī)范形10年 方程組、二次型數(shù)學(xué)二07年 與數(shù)學(xué)一相同08年 與數(shù)學(xué)一相同、線性無關(guān)與相似矩陣09年 與數(shù)學(xué)一相同10年 方程組、矩陣對角化數(shù)學(xué)三07年 與數(shù)學(xué)一相同08年 與數(shù)學(xué)二相同09年 與數(shù)學(xué)一相同10年

11、 方程組、矩陣對角化數(shù)學(xué)農(nóng)科08年矩陣方程、含有參數(shù)的方程組的討論09年與方程組、已知特征值與特征向量求矩陣與矩陣的冪10年 方程組、特征值與特征向量（二）綜合舉例例1設(shè)，為三階矩陣，且滿足，求矩陣.解【矩陣方程】，.，故.例2 設(shè)均為三維列向量，且線性無關(guān)，線性無關(guān)，證明存在非零向量，使得既可由線性表示，又可由線性表示；設(shè)，求所有既可由線性表示，又可由線性表示的向量. 解 【向量的線性相關(guān)性與線性表示】四個(gè)三維向量必線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)，使得，取，且（否則全為零）.求齊次方程組的非零解，通解為，故.例3設(shè)向量.試問當(dāng)滿足什么條件時(shí)可由線性表示，且表示式惟一？可由線性表示，且表示式不惟

12、一？并求出一般表達(dá)式；不可由線性表示. 解【向量的線性表示、線性方程組解的判定】設(shè)增廣矩陣.當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解，可由線性表示，且表示式惟一.當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解，通解為，可由線性表示，且表示式不惟一，一般表達(dá)式為.當(dāng)時(shí)，方程組有無解，不可由線性表示. 例4 已知齊次線性方程組的解都滿足方程，求和方程組的通解.【，通解為，為任意常數(shù)】解 【含有參數(shù)的線性方程組的求解】經(jīng)初等行變換齊次線性方程組的系數(shù)矩陣.當(dāng)時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為，顯然，都不是的解，故不合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，基礎(chǔ)解系為，代入，得，解得，通解為，為任意常數(shù).例5 已知齊次線性方程組和齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，求方程組和的非零公共解

13、.解 【線性方程組的公共解】將齊次方程組的通解代入齊次線性方程組，得即當(dāng)時(shí)，方程組和沒有非零公共解，當(dāng)時(shí)，為任意常數(shù)，方程組和的非零公共解為，不全為零.例6已知是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：也是的基礎(chǔ)解系的充要條件是.解 【齊次方程組的基礎(chǔ)解系】由線性方程組解的性質(zhì)知，是齊次線性方程組的4個(gè)解，要使也是的基礎(chǔ)解系，只要線性無關(guān).設(shè)，即，即，又線性無關(guān)，故，其系數(shù)行列式，時(shí)只有零解線性無關(guān)是的基礎(chǔ)解系，是的基礎(chǔ)解系線性無關(guān)只有零解只有零解，綜上所述，也是的基礎(chǔ)解系的充要條件是.例7設(shè)線性方程組的通解為，求線性方程組的通解.解【抽象線性方程組的通解，涉及解的概念、解的性質(zhì)、解的結(jié)構(gòu)】線性方

14、程組的通解為，故，且，由此得，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為，顯然，線性方程組有一個(gè)解，故此線性方程組的通解為類題：設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為秩為3，此方程組的三個(gè)解滿足，求此方程組的通解.【通解為，為任意常數(shù)】例8已知3階矩陣的第一行是，不全為0，為常數(shù)，且，求線性方程組的通解.解【求齊次線性方程組的通解】由知，的列向量均為的解，且，又，故.當(dāng)時(shí)，的通解為；當(dāng)時(shí)，若，的通解為；若，不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，化為其通解為.例9已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無關(guān)的解.證明方程組系數(shù)矩陣的秩；求，的值及方程組的通解.解記此非齊次線性方程組，設(shè)是它的3個(gè)線性無關(guān)的解，則是的解，且線性無關(guān)（否則，線性相關(guān)）

15、，所以，又（因?yàn)榈牡谝恍信c第二行不成比例或者中二階子式），故.系數(shù)矩陣，又，故.增廣矩陣，故原方程組的同解方程組為通解為，其中為任意常數(shù).例10設(shè)階矩陣求的特征值和特征向量；求可逆矩陣，使得為對角矩陣；問為何值時(shí)，為正定矩陣？解【矩陣的特征值和特征向量、相似對角化、矩陣的正定性】的特征多項(xiàng)式，故的特征值為，.對，解，基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)特征向量，（）.對，解，基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)的特征向量為（不全為零）.令，則可逆，且.當(dāng)，即時(shí)，為正定矩陣.例11已知矩陣的特征方程有重根，問能否相似對角化，并說明理由.解【矩陣相似對角化】的特征多項(xiàng)式，若是重根，則滿足，故，的特征值為，對應(yīng)，方程組為，故對應(yīng)兩個(gè)線性無

16、關(guān)的特征向量，能相似對角化，若不是重根，則有重根，故，的特征值為，對應(yīng)，方程組為，故只對應(yīng)一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，不能相似對角化.例12設(shè)三階矩陣有三個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，令，證明不是的特征向量； 證明線性無關(guān)；若，計(jì)算行列式.解有三個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，故線性無關(guān).【用反證法】若是的特征向量，則，即，亦即，又線性無關(guān)，故，與題設(shè)相矛盾，所以不是的特征向量.【抽象向量組的線性相關(guān)性，用定義法】設(shè) ，將代入上式，得，又線性無關(guān)，故其系數(shù)行列式，此方程組只有零解，故線性無關(guān).【用相似變換】，記，則可逆，且，其中，故，.例13設(shè)為三階矩陣，三維列向量組線性無關(guān)，且求的

17、特征值；問是否可對角化？ 解【相似矩陣、矩陣對角化】，記，則可逆，且，其中，故，故與有相同的特征值.，故的特征值為，的特征值為.可對角化. 因?yàn)闉閷?shí)對稱矩陣，故存在可逆矩陣，使得為對角陣，又，故，令，則，為對角陣.例14設(shè)二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求參數(shù)及所用正交變換矩陣.解【用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形】由題設(shè)條件知，二次型矩陣的特征值為，由特征值的性質(zhì)，得，解得.對，解，基礎(chǔ)解系為，正交化，得，單位化，得，；對，解，基礎(chǔ)解系為，單位化，得；所用正交變換矩陣.例15 已知二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，且的第3列為求矩陣；證明為正定矩陣. 解【考查矩陣的特征值】由題設(shè)知，的特征值為，且的對應(yīng)

18、的一個(gè)特征向量為，設(shè)的對應(yīng)的特征向量為，它與正交，故，即，基礎(chǔ)解系為，單位化得，令，則.故證【考查矩陣的正定性】為對稱陣，故為對稱陣，又的特征值為，的特征值為，故為正定矩陣.四、近年真題2007年解答題1.（07-1-2-3-4）設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.【或；時(shí)，；時(shí)，】2.（07-1-2-3-4）設(shè)3階對稱矩陣的特征值，是的屬于的一個(gè)特征向量，記.驗(yàn)證是矩陣的一個(gè)特征向量，并求的全部特征值與特征向量；求矩陣.【的全部特征值為；對應(yīng)的特征向量為，其中，對應(yīng)的特征向量為，其中不全為零；】2008年解答題1.（08-1）設(shè)是三維列向量，矩陣，證明：秩；若線性相關(guān)，則秩.2.（08-1-2-3-4）設(shè)元線性方程組，其中矩陣，.證明行列式；當(dāng)為何值時(shí)，方程組有惟一解，并求；當(dāng)為何值時(shí)，方程組有無窮多解，并求通解.【，】3.（08-2-3-4）設(shè)為三階矩陣，分別為屬于