線性代數(shù)期末試卷線代期末試題

1、班級(jí)（學(xué)生填寫）： 姓名： 學(xué)號(hào)：命題： 審題： 審批： -密-封-線- （答題不能超出密封線）20 20 學(xué)年第 學(xué)期 線性代數(shù) 科目 試題8卷閉卷考試；時(shí)間 120 分鐘； 可以使用沒有記憶功能的普通計(jì)算器： 否使用班級(jí)（老師填寫）： 題 號(hào)一二三四五六七八九總 分得 分閱卷人一. 單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案,填在題中括號(hào)內(nèi)（本大題共6 小題，每小題3分，總計(jì) 18 分 ）1設(shè) 表示排列的逆序數(shù), 則= ( B )(A) 1 (B) 5 (C) 3 (D) 22. 設(shè) 是四元非齊次線性方程組Ax=b 的三個(gè)解向量, 且系數(shù)矩陣A的秩等于3, C表示任意常數(shù)，則方程

2、組Ax=b的通解 x = ( C )(A) (B) (C) (D) 3. 已知向量組 線性相關(guān)， 則（ C ） (A) 該向量組的任何部分組必線性相關(guān)(B) 該向量組的任何部分組必線性無關(guān)(C) 該向量組的秩小于 (D) 該向量組的最大線性無關(guān)組是唯一的 4設(shè)有矩陣則下列運(yùn)算可行的是 ( C ) (A) (B) (C) (D)5n階矩陣A可對(duì)角化，則（ C ）(A) A的秩為n (B) A必有n個(gè)不同的特征值 (C) A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 (D) A有n個(gè)兩兩正交的特征向量6. 若有 則k 等于（A）(A) 1 (B) 2 (C) (D) 4二. 填空（本大題共 6 小題，每小題3分，總

3、計(jì) 18 分 ）1設(shè) 則 100E 。2矩陣方程組 有解的充分必要條件是 3. 設(shè)向量組 能由向量組 線性表示，則 。(填“=”或“”或“”)4. 設(shè)A,B均為3階方陣，且 ，則 _ _。5.設(shè)向量組 , , 線性無關(guān)，則 。 6. 若n階矩陣A有一個(gè)特征值是1,則有一個(gè)特征值 3 。三. 計(jì)算題（本大題共4小題，每小題6分，總計(jì)24分 ）1設(shè)， , 求。解： 2分 4分 2 6分班級(jí)（學(xué)生填寫）： 姓名： 學(xué)號(hào)：命題： 審題： 審批： -密-封-線- （答題不能超出密封線）2. 計(jì)算五階行列式解:方法有多種,最簡(jiǎn)單的是按行（或列）展開, 若方法正確，給3分，結(jié)果正確再給3分 1分 3分 =1

4、 6分3. 求矩陣 的逆矩陣.解:因?yàn)?, 所以矩陣A可逆. 2分利用矩陣的初等行變換法求, 5分故 = 6分4求矩陣A 的特征值與特征向量,其中解：A的特征方程為 1分矩陣A的特征值為 2分當(dāng)時(shí)，解線性方程組 (A-2E)x = 0,即 方程組的基礎(chǔ)解系為： 3分所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為： 4分當(dāng)時(shí)，解線性方程組 (A-E) x= 0, 即 方程組的基礎(chǔ)解系為： 5分所以對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為： 6分四. (12分)試求向量組=(1,1,2,2)T,=(0,2,1,5)T,=(2,0,3,-1)T,=(1,1,0,4)T的秩和該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并將其他向量用此最大無關(guān)組表示。 解:

5、以,作為列構(gòu)造矩陣A,即A=(,) 1分用初等行變換化A為行階梯形矩陣T,則T的非零行的行數(shù)r即為R(A),再化T為行最簡(jiǎn)形T0,則T0中任意r個(gè)線性無關(guān)的向量所對(duì)應(yīng)的向量組即為該向量組的最大無關(guān)組. 2分A=(,)=T, 8分所以R(A)=3. 故R(,)=3. 對(duì)T繼續(xù)施行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形可得: T= T0,故,是此向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。 9分且=2-+0. 12分班級(jí)（學(xué)生填寫）： 姓名： 學(xué)號(hào)：命題： 審題： 審批： -密-封-線- （答題不能超出密封線）五.（15分）問取為何值時(shí),線性方程組有唯一解,無窮多解無解?解:方法1 利用克拉默法則系數(shù)行列式D= 3分(1)當(dāng)1且-2

6、時(shí), 由克拉默法則知方程組有唯一解; 7分(2)當(dāng)時(shí), 對(duì)增廣矩陣B 施行初等行變換,增廣矩陣B=,故R(A)= R(B) =13, 所以方程組有無窮多解; 11分(3)當(dāng)時(shí), 對(duì)增廣矩陣B 施行初等行變換,增廣矩陣,故R(A)=2, R(B)=3,故方程組無解. 15分方法2: 對(duì)增廣矩陣施行初等行變換, 3分(1)當(dāng)1且-2時(shí), R(A)=R(B)=3,所以方程組有唯一解; 7分(2)當(dāng)時(shí), R(A)= R(B) =13, 所以方程組有無窮多解; 11分(3)當(dāng)時(shí), R(A)=2, R(B)=3, 所以方程組無解. 15分六證明題（共13分，第一題9分，第二題4分）1（9分）已知向量組: ，向量組: ， 證明：向量組與向量組等價(jià)。 證明： 由對(duì)矩陣施行初等行變換，化為行階梯形矩陣, 3分知=2. 5分顯然在中有二階非零子式, 如故, 又=2. , 所以 7分從而. 8分因此向量組 A與向量組 B等價(jià). 9分2（4分）設(shè)是階矩陣，