線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋1

1、第五章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器設(shè)計 閉環(huán)系統(tǒng)性能與閉環(huán)極點(diǎn)（特征值）密切相關(guān)，經(jīng)典控制理論用輸出反饋或引入校正裝置的方法來配置極點(diǎn)，以改善系統(tǒng)性能。而現(xiàn)代控制理論由于采用了狀態(tài)空間來描述系統(tǒng)，除了利用輸出反饋以外，主要利用狀態(tài)反饋來配置極點(diǎn)。采用狀態(tài)反饋不但可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置，而且還可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦和形成最優(yōu)控制規(guī)律。然而系統(tǒng)的狀態(tài)變量在工程實(shí)際中并不都是可測量的，于是提出了根據(jù)已知的輸入和輸出來估計系統(tǒng)狀態(tài)的問題，即狀態(tài)觀測器的設(shè)計。§5-1 狀態(tài)反饋與閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的配置一、狀態(tài)反饋1、狀態(tài)反饋的概念狀態(tài)反饋就是將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)反饋到

2、輸入端與參考輸入相加，其和作為受控系統(tǒng)的輸入。設(shè)SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 狀態(tài)反饋矩陣為，則狀態(tài)反饋系統(tǒng)動態(tài)方程為： 式中：為矩陣，即，稱為狀態(tài)反饋增益矩陣。稱為閉環(huán)系統(tǒng)矩陣。閉環(huán)特征多項式為?？梢姡霠顟B(tài)反饋后，只改變了系統(tǒng)矩陣及其特征值，陣均無變化。狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖【例5.1.1】已知系統(tǒng)如下，試畫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 ， 解： 其中稱為狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣或狀態(tài)反饋增益矩陣。 說 明：如果系統(tǒng)為維輸入、維輸出的MIMO系統(tǒng)，則反饋增益矩陣是一個維矩陣。即 2、狀態(tài)反饋增益矩陣的計算控制系統(tǒng)的品質(zhì)很大程度上取決于該系統(tǒng)的極點(diǎn)在平面上的位置。因此，對系統(tǒng)進(jìn)行綜合設(shè)計時，往往是給出一

3、組期望的極點(diǎn)，或者根據(jù)時域指標(biāo)提出一組期望的極點(diǎn)。所謂極點(diǎn)配置問題就是通過對反饋增益矩陣的設(shè)計，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于s平面上所期望的位置，以便獲得期望的動態(tài)特性。本節(jié)只討論SISO系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題，因?yàn)镾ISO系統(tǒng)根據(jù)指定極點(diǎn)所設(shè)計的狀態(tài)反饋增益矩陣是唯一的。定理5.1: 用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是：受控系統(tǒng)可控。證 明：（1）充分性： 設(shè)受控系統(tǒng)可控，則一定可通過線性變換（即），將A、b化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 ， 在變換后引入狀態(tài)反饋增益矩陣 故變換后的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的動態(tài)方程為 其中： 閉環(huán)特征多項式為 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)為，則系統(tǒng)的期望特征多項式為 欲使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)取期望值，只

4、需令 即 只要適當(dāng)選擇，就可以任意配置閉環(huán)極點(diǎn)。（2）必要性 若受控系統(tǒng)不可控，必有狀態(tài)變量與無關(guān)，則，中一定有元素不存在，所以不可控子系統(tǒng)的特征值不可能重新配置。按指定極點(diǎn)配置設(shè)計狀態(tài)反饋增益矩陣的一般步驟如下：（1）對給定可控系統(tǒng)，進(jìn)行P變換，即，化成可控標(biāo)準(zhǔn)型 其中：，（2）導(dǎo)出在可控標(biāo)準(zhǔn)型下的閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式 （3）根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的期望值，導(dǎo)出閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項式 （4）確定對于可控標(biāo)準(zhǔn)型下的狀態(tài)變量的反饋增益矩陣 （5）把化成對于給定狀態(tài)變量對應(yīng)的 【例5.1.2】已知SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試設(shè)計狀態(tài)反饋增益矩陣使閉環(huán)極點(diǎn)配置在-2，。解：由于SISO系統(tǒng)的無零極點(diǎn)對消

5、，故系統(tǒng)可控?？芍苯訉懗隹煽貥?biāo)準(zhǔn)型。 ，設(shè)狀態(tài)反饋增益矩陣為： 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為 期望閉環(huán)極點(diǎn)對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)期望特征方程為： 令，可得 故狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分析說明：在例中，由于傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)一開始就采用了可控標(biāo)準(zhǔn)型，從而可以比較簡單地計算出反饋增益矩陣，對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置。但是從工程實(shí)際上看，可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量的信息在物理上是很難采集的，如果要使設(shè)計出來的能在實(shí)際系統(tǒng)中方便地建立起來，應(yīng)該盡可能地選擇那些其狀態(tài)變量在物理上容易采集的實(shí)現(xiàn)作為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。 比如例中，選擇串聯(lián)分解所得到的動態(tài)方程作為系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)就較為合理。即 受控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖原受控系統(tǒng)的動態(tài)方程為： ， 設(shè)狀態(tài)反饋增

6、益矩陣為： 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為 期望閉環(huán)極點(diǎn)對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)期望特征方程為： 令，可得 故狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖結(jié) 論： 求解實(shí)際問題的狀態(tài)反饋增益矩陣時，沒有必要象定理5.1證明那樣去進(jìn)行可控標(biāo)準(zhǔn)型的變換，只要先驗(yàn)證受控系統(tǒng)可控，并計算及期望特征多項式，由，便可確定狀態(tài)反饋增益矩陣?！纠?.1.3】已知SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試研究采用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置在-2，的可能性。解：該SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)存在零極點(diǎn)對消。（1）若選擇可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)（便不可觀測），仍可以配置極點(diǎn)，方法步驟同【例5.1.2】。（2）若選擇可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)（便不可控） ， 設(shè)狀態(tài)反饋增益矩陣為： 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)

7、狀態(tài)矩陣為狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征方程為 期望閉環(huán)極點(diǎn)對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)期望特征方程為： 令，可得 方程組無解，即這種情況下用狀態(tài)反饋不能配置極點(diǎn)。二、閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)的選取總的來說，系統(tǒng)的性能主要取決于閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，而遠(yuǎn)極點(diǎn)只有微小的影響。也就是說，把系統(tǒng)看作是一個其極點(diǎn)就是主導(dǎo)極點(diǎn)對的二階系統(tǒng)。可根據(jù)動態(tài)指標(biāo)和來確定期望主導(dǎo)極點(diǎn)的位置： （為期望的主導(dǎo)極點(diǎn)）【例5.1.4】試設(shè)計如圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足下列動態(tài)指標(biāo)： （1）輸出超調(diào)量 （2）調(diào)節(jié)時間秒解：確定閉環(huán)系統(tǒng)的期望主導(dǎo)極點(diǎn)，由 解出，則 令第三個極點(diǎn)故 由，有 故§5-2 狀態(tài)反饋對可控性與可觀測性的影響定理

8、5.2: 若線性定常系統(tǒng)是可控的，則狀態(tài)反饋所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)也一定是可控的。定理5.3: 狀態(tài)反饋可能影響系統(tǒng)的可觀測性。 說明：當(dāng)任意配置的極點(diǎn)與零點(diǎn)存在對消時，狀態(tài)反饋系統(tǒng)的可觀測性將會改變，從而不能保持原受控系統(tǒng)的可觀測性。如果原受控系統(tǒng)不含閉環(huán)零點(diǎn)，則狀態(tài)反饋系統(tǒng)能保持原有的可觀測性。定理5.4: 引入狀態(tài)反饋前后，系統(tǒng)零點(diǎn)不發(fā)生改變?！纠?.2.1】若原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 試求使?fàn)顟B(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 的狀態(tài)反饋增益矩陣。解：比較和可知，中應(yīng)含有的零點(diǎn)，故應(yīng)為 設(shè)，期望閉環(huán)極點(diǎn)為：-2，-2，-3。原系統(tǒng)無零極點(diǎn)對消，系統(tǒng)完全可控，寫出其可控標(biāo)準(zhǔn)型 ， 由，有 故【例5.2.2】給定開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 要求用狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)配置到，試計算狀態(tài)反饋增益矩陣，并說明所得到的閉環(huán)系統(tǒng)是否可觀測。解：原系統(tǒng)無零極點(diǎn)對消，故完全可控，可控標(biāo)準(zhǔn)型為 ， 設(shè) 由，有故 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)零點(diǎn)，不改變系統(tǒng)可控性。然而反饋后系統(tǒng)在處出現(xiàn)零極點(diǎn)對消，所以閉環(huán)系統(tǒng)必不可觀測?！纠?.2.3】系統(tǒng)狀態(tài)方程如下 試判定系統(tǒng)是否可用狀態(tài)反饋分別配置以下兩組閉環(huán)極點(diǎn)和，若能配置，則求出反饋增益矩陣。解：，系統(tǒng)不可控，所以不能實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的