級(jí)高數(shù)下試題及答案

1、南昌大學(xué) 20122013學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷一、填空題(每空 3 分，共 15 分) 1. 設(shè)，則三重積分 _.2. 交換二次積分的順序= _.3. 函數(shù)的極大值為_(kāi).4. 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)為_(kāi).5. 點(diǎn)到平面的距離為_(kāi). 二、單項(xiàng)選擇題 (每小題3分,共15分)1. 函數(shù)的定義域是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）.2.設(shè)為由曲面及平面所圍成的立體的表面，則曲面積分= （ ）（A）； （B）； （C）； （D）0.3.級(jí)數(shù)發(fā)散，則（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.4.設(shè)函數(shù) ,則在點(diǎn)（0，0）處 （ ）（A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在； （B）連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；（C）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)

2、存在； （D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。5.設(shè)是常系數(shù)線性非齊次方程的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則的通解為 （ ）（A）； （B）；（C）；（D）.三、計(jì)算題(共24分，每小題8分)1、設(shè)，求和.2、判斷級(jí)數(shù)的斂散性.3、求微分方程的通解四、解答題（一）(共24分，每小題8分)1、設(shè)方程可確定是的函數(shù)，且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.2、計(jì)算曲線積分，其中L為由點(diǎn)到的左半圓周.3、求級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù).五、解答題（二）(共16分，每小題8分)1、求橢球面上點(diǎn)（1，1，1 ）處的切平面方程和法線方程.2、利用高斯公式計(jì)算曲面積分,其中為平面所圍成的立體的表面的外側(cè).六、證明題(本題滿分6分)設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，（）且發(fā)

3、散，證明收斂.南昌大學(xué) 20122013學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷及答案 一、填空題(每空 3 分，共 15 分)1. 設(shè)，則三重積分.2. 交換二次積分的順序=.3. 函數(shù)的極大值為.4. 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)為. 5. 點(diǎn)到平面的距離為. 二、單項(xiàng)選擇題 (每小題3分,共15分)1. 函數(shù)的定義域是（ C ）（A）； （B）； （C）； （D）.2.設(shè)為由曲面及平面所圍成的立體的表面，則曲面積分= （ B ）（A）； （B）； （C）； （D）0.3.級(jí)數(shù)發(fā)散，則（A ）（A）；（B）；（C）；（D）.4.設(shè)函數(shù) ,則在點(diǎn)（0，0）處 （ C ）（A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在； （B）連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在

4、；（C）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在； （D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。5.設(shè)是常系數(shù)線性非齊次方程的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則的通解為 （ D ）（A）； （B）；（C）；（D）.三、計(jì)算題(共24分，每小題8分)1、設(shè)，求和.解: ， 2、判斷級(jí)數(shù)的斂散性.解: 所以該級(jí)數(shù)收斂 3、求微分方程的通解解: 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解特征方程為解得所以的通解為由題意可設(shè)的特解為代入原方程可得所以原方程的通解為四、解答題（一）(共24分，每小題8分)1、設(shè)方程可確定是的函數(shù)，且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解: ， ， ， 2、計(jì)算曲線積分，其中L為由點(diǎn)到的左半圓周.解: 添加輔助有向線段，它與左半圓周組成閉區(qū)域記為，由格林公式可得

5、= =3、求級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù).解: ，所以收斂半徑為2當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)化為，收斂當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)化為，發(fā)散所以收斂域?yàn)樵O(shè)和函數(shù)為，則，=，五、解答題（二）(共16分，每小題8分)1、求橢球面上點(diǎn)（1，1，1 ）處的切平面方程和法線方程.解: 令，則點(diǎn)（1，1，1 ）處的切平面方程的法向量所求切平面方程為即所求法線方程為2、利用高斯公式計(jì)算曲面積分,其中為平面所圍成的立體的表面的外側(cè).解: ，則，記邊界曲面：所圍成的立體為由高斯公式可得六、證明題(本題滿分6分)設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，（）且發(fā)散，證明收斂.證明: 方法一：數(shù)列單調(diào)減少有下界，故存在，不妨設(shè)，則，若，則由萊布尼茲定理知收斂，與題設(shè)矛盾，故又，由比