等分線段的尺規(guī)作圖法及證明

1、N等分線段的尺規(guī)作圖法及證明崔謐（安定區(qū)風(fēng)翔學(xué)區(qū)小西岔小學(xué) 甘肅定西 743000）幾何學(xué)從誕生到發(fā)展，再到逐步完善，除一條線段能被(n1且n為一正整數(shù))等分外，至今還沒有一種嚴(yán)格的幾何方法能將一條線段進行任意N(N3且N為一正整數(shù))等分。經(jīng)過長期的探究，本人發(fā)現(xiàn)有一種嚴(yán)格的幾何方法定點定比交軌思想及方法可以將一條線段進行任意N(N2且N為一正整數(shù))等分。該方法將以一條線段二等分的方法和思想作為主要思想和理論依據(jù)進行論述。為了簡單明了起見，先詳細介紹用該思想及方法將一條線段三等分和五等分的作法及證明過程，然后以此作為主要思想和理論依據(jù)進行論述任意N等分的作法及證明過程.將一條線段二等分的方法和

2、思想是以已知線段的兩個端點為定點,以相等的兩條線段為半徑作圓并確定其交點軌跡就是一條直線,然后再確定該軌跡(直線)與已知線段的交點，即已知線段的二分之一點。因為該二分線段的方法和思想在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)成為公認(rèn)的既定公理，無須再述。我們可以稱其為一一交軌思想（兩條半徑的長度比為1:1）。依據(jù)以上二分線段的一一交軌（兩條半徑的長度比為1:1）的思想和方法，可以用已知線段的兩個端點為定點，用長度比為2:1的兩條線段為半徑作圓并確定其交點軌跡就是一條弧所在的圓，然后再確定該軌跡(弧所在的圓)與已知線段的交點，即已知線段的三分之二點。我們可以稱其為二一交軌思想（兩條半徑的長度比為2:1）。具體作法和證

3、明如下：作法：1. 畫線段AB并求其中點C。2. 用目測法在點C和B之間取一點D,使得線段AD的長度大于線段AB的三分之二而小于線段AB的長度，再求線段AD的中點E。3. 以A為圓心，以AD為半徑畫弧，以B為圓心，以AE的長為半徑畫弧，使兩條弧相交與點F；以點A為圓心，以AB為半徑畫弧，以B為圓心，以BC為半徑畫弧，使兩條弧相交于G點。（確保點F和G在線段AB的同側(cè)）4. 連接FG并求其中垂線HI，延長HI交AB的延長線于點J。5. 以J為圓心，以JF為半徑畫弧交AB于點K。6. 以A為起點, 以KB為半徑在AB上截取點L。則點L和K將線段AB三等分。如下圖所示：證明:為了證明該作法正確，運用

4、方程求根驗證法推導(dǎo)證明如下：令線段AB的長度為單位“1”，以點A為坐標(biāo)原點，以線段AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。已知：點A(0,0),B(1,0),C為AB的中點，D為C和B之間任一點，這里取D(0)進行驗證，E為AD的中點。求證：按上述作法確定的一條弧所在的圓J過點K(0)。證：已知AB的長度為單位“1”，點A(0,0),B(1,0),C為AB的中點，D為C和B之間任一點，這里取D(0)進行驗證，E為AD的中點。AE=,BC=,以A為圓心，以AD為半徑畫弧，以B為圓心，以AE的長為半徑畫弧，使兩條弧相交與點F；則點F的坐標(biāo)即為兩條弧的交點，即：解得：x=,y=F點在 x軸的下方F點

5、的y值取其負值根，即：F( -)以點A為圓心，以AB為半徑畫弧，以B為圓心，以BC為半徑畫弧，使兩條弧相交于G點;則點G的坐標(biāo)即為兩條弧的交點，即：解得：x=,y=G點在 x軸的下方G點的y值取其負值根，即：G(,-)連接FG，求其中點坐標(biāo)為（，-）又FG的斜率k=FG的中垂線HI的斜率=-=HI的直線方程為：y-=(x-)代入得：Y=x-又HI和x軸相交于點J,即有公共解：解得：解得：x=,y=0點J的坐標(biāo)為J（，0）以J為圓心，以JF為半徑確定的圓J的方程為：將點K(0)代入圓J的方程：中驗證得：點K(0)就在圓J上，即按上述作法確定的一條弧所在的圓J過點K(0)。該三分線段的二一交軌思想

6、（兩條半徑的長度比為2:1）及作法正確。如下圖所示：依據(jù)以上二分線段的一一交軌（兩條半徑的長度比為1:1）和三分線段的二一交軌（兩條半徑的長度比為2:1）的思想和方法，可以用已知線段的兩個端點為定點，用長度比為4:1的兩條線段為半徑作圓并確定其交點軌跡就是一條弧所在的圓，然后再確定該軌跡(弧所在的圓)與已知線段的交點，即已知線段的五分之四點。我們可以稱其為四一交軌思想（兩條半徑的長度比為4:1）。具體作法和證明如下：作法：1.畫線段AB并求其四等分點C、D和E。2.用目測法在點E和B之間取一點F,使得線段AF的長度大于線段AB的五分之四而小于線段AB的長度，再求線段AF的四等分點G、H和I。3

7、.以A為圓心，以AF為半徑畫弧，以B為圓心，以AG的長為半徑畫弧，使兩條弧相交與點J；以點A為圓心，以AB為半徑畫弧，以B為圓心，以BE為半徑畫弧，使兩條弧相交于K點。（確保點J和K在線段AB的同側(cè)）4.連接JK并求其中垂線LM，延長LM交AB的延長線于點N。5.以N為圓心，以NJ為半徑畫弧交AB于點O。6.以A為起點, 以O(shè)B為半徑在AB上分別截取點P、Q和R。則點P、Q、R和O將線段AB五等分。如下圖所示：證明:為了證明該作法正確，運用方程求根驗證法推導(dǎo)證明如下：令線段AB的長度為單位“1”，以點A為坐標(biāo)原點，以線段AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。已知：點A(0,0),B(1,0)

8、,E為AB的四分之三點，F(xiàn)為E和B之間任一點，這里取F(0)進行驗證，G為AF的四分之一點。求證：按上述作法確定的一條弧所在的圓N過點O(0)。證：已知AB的長度為單位“1”，點A(0,0),B(1,0),E為AB的四分之三點，F(xiàn)為E和B之間任一點，這里取F(0)進行驗證，G為AF的四分之一點。AG=,BE=,以A為圓心，以AF為半徑畫弧，以B為圓心，以AG的長為半徑畫弧，使兩條弧相交與點J；則點J的坐標(biāo)即為兩條弧的交點，即：解得：x=,y=J點在 x軸的下方J點的y值取其負值根，即：J( ,-)以A為圓心，以AB為半徑畫弧，以B為圓心，以BE為半徑畫弧，使兩條弧相交與點K；則點K的坐標(biāo)即為兩

9、條弧的交點，即：解得：x=,y=K點在 x軸的下方K點的y值取其負值根，即：K( ,-)連接JK，求其中點坐標(biāo)為（，-）又JK的斜率k=JK的中垂線LM的斜率=-=LM的直線方程為：y-=(x-)代入得：Y=x-又LM和x軸相交于點N,即有公共解：解得：x=,y=0點N的坐標(biāo)為N（，0）以N為圓心，以NJ為半徑確定的圓N的方程為：將點O(0)代入圓N的方程：中驗證得：點O(0)就在圓N上，即按上述作法確定的一條弧所在的圓N過點O(0)該五分線段的四一交軌思想（兩條半徑的長度比為4:1）及作法正確。如下圖所示：依據(jù)以上二分線段的一一交軌（兩條半徑的長度比為1:1）、三分線段的二一交軌（兩條半徑的

10、長度比為2:1）和五分線段的四一交軌（兩條半徑的長度比為4:1）的思想和方法，可以用已知線段的兩個端點為定點，用長度比為(N-1):1的兩條線段為半徑作圓并確定其交點軌跡就是一條弧所在的圓，然后再確定該軌跡(弧所在的圓)與已知線段的交點，即已知線段的N分之(N-1)點。我們可以稱其為(N-1):1交軌思想（兩條半徑的長度比為(N-1):1）。具體作法和證明如下：作法：1.畫線段AB并求其(N-1)等分點.。2.用目測法在點和B之間取一點,使得線段A的長度大于線段AB的N分之(N-1)而小于線段AB的長度，再求線段A的(N-1)等分點.。3.以A為圓心，以A為半徑畫弧，以B為圓心，以A的長為半徑

11、畫弧，使兩條弧相交與點J；以點A為圓心，以AB為半徑畫弧，以B為圓心，以B為半徑畫弧，使兩條弧相交于K點。（確保點J和K在線段AB的同側(cè)）4.連接JK并求其中垂線LM，延長LM交AB的延長線于點N。5.以N為圓心，以NJ為半徑畫弧交AB于點。6.以A為起點, 以B為半徑在AB上分別截取點.和。則點.和將線段ABN等分。如下圖所示：證明:為了證明該作法正確，運用方程求根驗證法推導(dǎo)證明如下：令線段AB的長度為單位“1”，以點A為坐標(biāo)原點，以線段AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。已知：點A(0,0),B(1,0),為AB的(N-1)分之(N-2)點，為和B之間任一點，這里取(0)進行驗證，為A

12、的(N-1)分之一點。求證：按上述作法確定的一條弧所在的圓N過點(0)。證：已知AB的長度為單位“1”，點A(0,0),B(1,0),為AB的(N-1)分之(N-2)點，為和B之間任一點，這里取(0)進行驗證，為A的(N-1)分之一點。A=,B=,以A為圓心，以A為半徑畫弧，以B為圓心，以A的長為半徑畫弧，使兩條弧相交與點J；則點J的坐標(biāo)即為兩條弧的交點，即：解得：x=,y=J點在 x軸的下方J點的y值取其負值根，即：J( ,-)以A為圓心，以AB為半徑畫弧，以B為圓心，以B為半徑畫弧，使兩條弧相交與點K；則點K的坐標(biāo)即為兩條弧的交點，即：解得:x=,y=K點在 x軸的下方K點的y值取其負值根

13、，即：K ,-連接JK，求其中點坐標(biāo)為，-又JK的斜率k=JK的中垂線LM的斜率=-=LM的直線方程為：y-=(x-)代入并化簡得：y=N(N-2)x-又LM和x軸相交于點N,即有公共解：解得：x=,y=0點N的坐標(biāo)為N，0以N為圓心，以NJ為半徑確定的圓N的方程為：將點(0)代入圓N的方程：中驗證得：點(0)就在圓N上，即按上述作法確定的一條弧所在的圓N過點(0)該N分線段的(N-1):1交軌思想（兩條半徑的長度比為(N-1):1）及作法正確。如下圖所示：綜上全篇所述不難得出這樣一個結(jié)論：用(N-1):1交軌思想（兩條半徑的長度比為(N-1):1）及方法可將任一條長度為單位“1”的線段N等分，并且N等分已知