第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)11.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)一、 判斷題1 收斂，則 （ ）2若，發(fā)散。 （ ） 3. 收斂,則 收斂。 （ ）4發(fā)散，發(fā)散，則也發(fā)散。 （ ）5若 收斂，則 也收斂。 （ ）二、 填空題1該級(jí)數(shù)的前三項(xiàng)是 。2級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是 。3級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為 。4級(jí)數(shù)的和為 。三、 選擇題1 下列級(jí)數(shù)中收斂的是（ ）（A） （B） （C） （D）2 下列級(jí)數(shù)中不收斂的是（ ）（A） （B） （C） （D）3 如果收斂，則下列級(jí)數(shù)中（ ）收斂。（A） （B）（C） (D) 4 設(shè)=2，則下列級(jí)數(shù)中和不是1的為（ ）（A） （B） （C） (D) 四、 求下列級(jí)數(shù)的和1 2. 3. 4.

2、 五、 判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性。1 2. 3.六、 已知收斂，且，求證：也收斂。11.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（1）一、 判斷題1若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則也收斂。 （ ）2若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則。 （ ）二、 填空題1，當(dāng)p滿足條件 時(shí)收斂。2若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且其部分和數(shù)列為，則收斂的充要條件是 。三、 選擇題1 下列級(jí)數(shù)中收斂的是 （A） （B）（C）（D）2. 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列命題中錯(cuò)誤的是 （A） 如果，則收斂。(B)如果，則發(fā)散。 (C)如果，則收斂。 (D)如果，則發(fā)散。2 判斷的收斂性，下列說(shuō)法正確的是（ ）（A）此級(jí)數(shù)收斂。 （B）此級(jí)數(shù)收斂。（C）級(jí)數(shù)發(fā)散。 （D）以上說(shuō)法均不對(duì)。四、 用比較

3、判斷法或其極限形式判定下列級(jí)數(shù)的收斂性。1 2. 3 4. 5 6. 五、 用比值判斷法判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性。1 2. 3. （為常數(shù)） 4.六、 用根值判斷法判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性。1. 2. 3，其中。七、 判斷的收斂性。八、 設(shè)且1 若收斂，則收斂。 2.若發(fā)散，則發(fā)散。 九、 若，問(wèn)是否收斂？十、 偶函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)在x=0的某個(gè)區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且。求證：收斂。11.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（2）一、 判斷題1若，都收斂，則絕對(duì)收斂。 （ ）2級(jí)數(shù)條件收斂的。 （ ）二、 填空題 1的和為 。2級(jí)數(shù)若滿足條件 則此級(jí)數(shù)收斂。三、 選擇題1 下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是（ ）（A） （B）（C）

4、 （D）2 下列級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的是（ ）（A） （B）（C） （D）四、 用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸ㄏ铝屑?jí)數(shù)的收斂性。1為常數(shù)） 2. 3 4. 5 6. 五、 判定下列級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂是條件收斂還是絕對(duì)收斂？1 2. 3 4. 六、 已知級(jí)數(shù)收斂。證明：必絕對(duì)收斂。11.3 冪級(jí)數(shù)一、 判斷題1若冪級(jí)數(shù)在x=0處收斂，則 在x=5處必收斂。 （ ）2已知的收斂半徑為R，則的收斂半徑為。 （ ）3的收斂半徑為R，在（-R，R）內(nèi)的和為S(x)，則在（-R，R）內(nèi)任一點(diǎn)S(x)有任意一階導(dǎo)數(shù)存在。 （ ）4和的收斂半徑分別為，則的收斂半徑R=。 （ ）5若，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2。 （ ）二、 填空題

5、1 冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 。2 冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 。3 的收斂區(qū)間為 ，和函數(shù)S(x)為 。4 在x=-3時(shí)收斂，則在時(shí) 。 三、 選擇題1 若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則該級(jí)數(shù)的收斂半徑R滿足（ ）（A） （B） （C） （D）2 級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間（ ）（A）（4，6） （B） （C） （D）4，63 若級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋瑒t常=（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）以上都不對(duì)。4 級(jí)數(shù)的和函數(shù)為（ ）（A） （B） （C） （D）以上都不對(duì)。四、 確定下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。1 2. 3. 4. 五、 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。1 2. 3 并求 11.4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)一、 判斷題1若對(duì)某一函數(shù)使，則f

6、(x)就不能展開成x的冪級(jí)數(shù)。 （ ）2式只有在（-1，1）內(nèi)成立，所以由逐項(xiàng)積分原則，等式也能在（-1，1）內(nèi)成立。 （ ）3 函數(shù)f(x)在x=0處的泰勒級(jí)數(shù)必收斂于f(x)。 （ ）二、 填空題1 關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)展開式為 ，其收斂域是 。2展開成x+4的冪級(jí)數(shù)為 ，收斂域?yàn)?。三、 選擇題1 函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)為（ ）（A） （B）（C） （D）2存在是f(x)可展開成x的冪級(jí)數(shù)的（ ）（A）充要條件 （B）充分但非必要條件（C）必要而不充分條件 （D）既不是充分條件也非必要條件3內(nèi)展開成x的冪級(jí)數(shù)，則下列條件中只有（ ）是必要的。（A）存在。 （B）處處存在。（C） (D)以上都不對(duì)

7、4展開成x的冪級(jí)數(shù)是（ ）（A） （B） （C） （D）四、 將下列函數(shù)展成x的冪級(jí)數(shù)。1 2.3 4.五、 將下列函數(shù)展成x-1的冪級(jí)數(shù)，并指出展開式成立的區(qū)間。1 2.六、 將展成的冪級(jí)數(shù)11.6 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用一、 填空題1利用的麥克勞林展開式計(jì)算時(shí)要使誤差不超過(guò)0.001，則計(jì)算I的近似值時(shí)，應(yīng)取級(jí)數(shù)的前 項(xiàng)和作為近似值。2據(jù)歐拉公式有 。二、 利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式求近似值（精確到0.00001）1 2.三、 求的近似值（精確到0.00001）四、 求的級(jí)數(shù)表達(dá)式，取其前三項(xiàng)計(jì)算其近似值，并估計(jì)誤差。11.8 傅立葉級(jí)數(shù)一、 判斷題1為周期的函數(shù)，并滿足狄利克雷條件， 是的傅

8、立葉級(jí)數(shù)，則必有 （ ） 2為周期，上可積，那么f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，其中h為任意實(shí)數(shù)。（ ）3f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，每次只能單獨(dú)求，但不能求出后，令n=0而得。（ ）4 如果f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)上收斂，則。 （ ）二、 填空題1滿足收斂的條件，其傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)，已知f(x)在x=0處左連續(xù)，且= 。2設(shè)展成以為周期的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)，則S（-3）= ，S（12）= ，S= ，k為整數(shù)。3.為周期的函數(shù)，已知其傅立葉級(jí)數(shù)為，若的傅立葉系數(shù)與的關(guān)系式= 。= 。三、 選擇題1是以周期為的周期函數(shù)，它在的表達(dá)式為，的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S（x），則=（ ）（A） （B）

9、（C）0 （D）其它值2的傅立葉系數(shù)滿足（ ）（A） （B）（C） （D）以上結(jié)論都不對(duì)。3 利用在上的傅立葉展開式可求得=（ ） （A） （B） （C） （D）四、 下列函數(shù)滿足以為周期的函數(shù)，試將展開成傅立葉級(jí)數(shù)（并畫出傅立葉級(jí)數(shù)和函數(shù)S(x)的圖形）1 2為常數(shù)，且。五、 將下列函數(shù)在所給區(qū)間上展成以為周期的傅立葉級(jí)數(shù)。12。11.9 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)一、 判斷題1上連續(xù)且符合狄利克雷條件，則它的余弦級(jí)數(shù)處處收斂，且在上收斂于f(x)。 （ ）2定義在上的任意函數(shù)，只要符合狄利克雷的條件，就既可展成正弦級(jí)數(shù)，也可展成余弦級(jí)數(shù)。 （ ）二、 填空題1展成正弦級(jí)數(shù)為 。2展成余弦級(jí)數(shù)為 。

10、三、 選擇題1 求上的正弦級(jí)數(shù)，實(shí)際上就是求（ ）中上的傅立葉級(jí)數(shù)。（A） （B）（C） （D）2.設(shè)展成傅立葉級(jí)數(shù), 則系數(shù)滿足（ ）（A） （B）（C） （D）四、 將展開成以為周期的傅立葉級(jí)數(shù)。五、 將展成以為周期的傅立葉級(jí)數(shù)。六、 設(shè)是以為周期的奇函數(shù)，且，證明：的傅立葉級(jí)數(shù)滿足。11.10 周期為的周期函數(shù)的傅立葉系數(shù)一、 判斷題1周期為2的周期函數(shù)f(x)滿足收斂的 條件，則f(x)=其中， （ ）2上并滿足收斂條件，則它有周期b-a的傅立葉級(jí)數(shù)展開式： （ ）二、 將展開成以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)，并由該級(jí)數(shù)求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。1 2. 三、 將f(x)=x在0，3上展開成以6為周

11、期的正弦級(jí)數(shù)。第十一章自測(cè)題一、 判斷題1若收斂，則。 （ ）2若收斂，發(fā)散，則發(fā)散。 （ ）3級(jí)數(shù)加括號(hào)后不改變其斂散性。 （ ）4級(jí)數(shù)收斂的充要條件是前n項(xiàng)和的構(gòu)成的數(shù)列有界。 （ ）5若正向級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂。 （ ）6.若，且則和有相同的收斂性。 （ ）二、 選擇題1 當(dāng)收斂時(shí)，與（ ） （A）必同時(shí)收斂。（B）必同時(shí)發(fā)散（C）可能不同時(shí)收斂 (D）不可能同時(shí)收斂2 級(jí)數(shù)收斂是級(jí)數(shù)收斂的（ ）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（B）充要條件 （D）既非充分也非必要條件3為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，若且，則該級(jí)數(shù)（ ）（A）條件收斂 （B）絕對(duì)收斂 （C）發(fā)散 （D）斂散性不確定4關(guān)于，則=（ ）（A） （B）2 （C） （D）0三、 填空題1 冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 。2 級(jí)數(shù)當(dāng)a滿足條件 時(shí)收斂。3 冪級(jí)數(shù)的收