立體幾何中的角度與距離問題

1、立體幾何中的角度與距離問題【基礎(chǔ)知識(shí)】一空間角度問題（一）理解空間中各種角的定義及其取值范圍1異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角的概念。2各種角的取值范圍：（1）異面直線所成的角的取值范圍是：0°< q 90°；（2）直線于平面所成的角的取值范圍是： 0° q 90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角來度量，通常認(rèn)為二面角平面角的取值范圍是： 0°< q 180°（二）空間中的角的計(jì)算1、用直接法求角的一般步驟是：（1）找出或做出有關(guān)角的圖形；（2）證明它符合定義（3）計(jì)算（一般通過解三角形）2、異面直線所成的

2、角：用平移轉(zhuǎn)化的方法使它成為相交直線所成的角。當(dāng)異面直線垂直時(shí)，運(yùn)用直線垂直平面的定義或三垂線定理（或逆定理）判定所成角是90°.3 斜線和平面所成的角是一個(gè)直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段/斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影。4 二面角要轉(zhuǎn)化為其平面角，掌握以下三種基本做法：（1）直接利用定義；（2）利用三垂線定理及其逆定理（3）作棱的垂面AOBMNababAOPABOPab(1)(2)(3)另外，還要特別注意觀察圖形本身是否已含有所求的平面角注意：1.空間各種角的計(jì)算方法都是轉(zhuǎn)化為平面角來計(jì)算的，應(yīng)熟練掌握這種轉(zhuǎn)化。2.計(jì)算題必須有推理過程。二空間距離問題1立體幾何中

3、的各種距離有：（1）點(diǎn)到直線的距離（2）點(diǎn)到平面的距離（3）平行直線間的距離（4）異面直線間的距離（5）直線與平面的距離（6）兩個(gè)平面間的距離（7）球面上兩點(diǎn)間距離2空間七種距離求法，通常是轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離：（1）找出或作出有關(guān)距離的圖形；（2）證明它們就是所求的距離；（3）利用平面幾何和解三角形的知識(shí)在平面內(nèi)計(jì)算3 求異面直線距離（1）定義：關(guān)鍵確定公垂線段（2）轉(zhuǎn)化為直線和平面間距離（過a而與b平行的平面）（3）轉(zhuǎn)化為平面間距離（4）極值法4 求點(diǎn)面距離其法有二：（1）直接法，確定垂足的位置（2）等體積法，同一個(gè)三棱錐，從不同的角度選擇底和高計(jì)算體積并加以比較即可。5 曲面上兩點(diǎn)間

4、距離（1）曲面可展開，則在側(cè)面展開圖上計(jì)算。（2）曲面不可展開，球面上兩點(diǎn)的球面距離按定義求。6各種距離可相互轉(zhuǎn)化：點(diǎn)到平面的距離、點(diǎn)到直線的距離是重點(diǎn)。求點(diǎn)到平面的距離：轉(zhuǎn)移法、體積法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想?！菊n后訓(xùn)練】1.ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中點(diǎn)，則異面直線AE、BC的距離為A. B. C. D.12在ABC中，AB=15，BCA=120°，若ABC所在平面外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是14，則P到的距離是 A.13B.11C.9D.73長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長方體的表面的最短距離為A.1+B.2+C

5、.3D.24（2006全國卷）已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_5（2006年遼寧卷）若一條直線與一個(gè)正四棱柱各個(gè)面所成的角都為,則=_.【針對(duì)練習(xí)】1（2002全國）一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么，這個(gè)圓錐軸截面頂角的余弦值是（ ）A. B. C. D.2右圖是正方體的平面展開圖在這個(gè)正方體中，BM與ED平行 CN與BE是異面直線 CN與BM成60°角 DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（ ）A.B.C.D.3平面內(nèi)的MON=60°，PO是的斜線，PO=3，POM=PON=45&#

6、176;，那么點(diǎn)P到平面的距離是A. B. C. D. 4已知直線a，且a與間的距離為d，a在內(nèi)的射影為a，l為平面內(nèi)與a平行的任一直線，則a與l之間的距離的取值范圍是A.d，+） B.（d，+）C.（0，dD.d5（2006年四川卷）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為（）（A） （B） （C） （D）6關(guān)于直角AOB在定平面內(nèi)的射影有如下判斷：可能是0°的角；可能是銳角；可能是直角；可能是鈍角；可能是180°的角.其中正確判斷的序號(hào)是 （注：把你認(rèn)為是正確判斷的序號(hào)都填上）.ABCDA1B1C1D1第8題圖A17正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面

7、成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_.8（2006年安徽卷）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：3； 4； 5； 6； 7以上結(jié)論正確的為_。（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）參考答案【課后訓(xùn)練】1答案：D解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求.易證CE=1.選D.2答案：B解析：作PO于點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB、OC，PA=PB=PC，OA=OB=OC.O是ABC的外心.OA=5.PO

8、=11為所求.選B.3答案：C解析：求表面上最短距離常把圖形展成平面圖形.4答案：解析：底面正方形面積，底面邊長，高，二面角的余切值。代入數(shù)據(jù)，得：。又必為銳角，所以。5答案：【解析】不妨認(rèn)為一個(gè)正四棱柱為正方體,與正方體的所有面成角相等時(shí),為與相交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)相互垂直的平面所成角相等,即為體對(duì)角線與該正方體所成角.故.【針對(duì)練習(xí)】1答案：C解析：如圖，作出軸截面，設(shè)公共底面圓的半徑為R，圓錐的高為hV錐=R2h，V半球=·R3V錐=V半球，h=2R tan= cos=2.答案：C解析:展開圖可以折成如圖的正方體,由圖可知不正確.正確.3答案：A解析：cosPOM=cosPOH&

9、#183;cosMOH，= cosPOH.cosPOH=.sinPOH=.PH=PO·sinPOH=3×=.4答案：B解析：如圖，在a上任取一點(diǎn)P作POa，垂足為O，過O作OAl，垂足為A，連結(jié)PA.則PAl，PAa，故PA就是a與l之間的距離.在RtPOA中，PA>PO=d，選B.5答案：B6答案：解析：直角AOB在平面的射影為直線l，如圖所示.因此，判斷是正確的.直角AOB在平面的射影為ASB，ASB為銳角，如圖.因此，判斷是正確的.直角AOB在平面的射影為AOB而AOB為直角，如圖，因此判斷是正確的.判斷、如圖7答案：解析：設(shè)正方形邊長為1，可得FD1，F(xiàn)C，BF，又BC1，在CBF中，由余弦定理得cosCBF.8解：如圖，B、D、A1到平面的距離