第七章典型作業(yè)題

1、7-10 用細絕緣線彎成的半圓形環(huán)，半徑為，其上均勻地帶正電荷，求圓心點處的電場強度。解：如圖所示，設。在半圓形環(huán)上任取一電荷元，在圓心處的電場強度的大小為方向如圖所示。式中由電荷的對稱分布可知，圓心點處的電場強度沿軸正方向。有7-12 一半徑為的半球面均勻帶電，電荷面密度為，求球心處的電場強度。解：如圖所示，圖中圓環(huán)對軸對稱，所帶電量為，圓環(huán)半徑為，環(huán)心在軸處。根據帶電圓環(huán)軸線上的電場強度（見課本260頁公式（7-11）作相應的代換，可得到細圓環(huán)在點的電場強度為通過積分，得到球心處的電場強度為指向正方向。7-17 在半徑分別為10 cm和20 cm的兩層假想同心球面中間，均勻分布著電荷體密度

2、為的正電荷。求離球心5 cm、15 cm和50 cm處的電場強度。解：以和分別表示均勻帶電球殼的內、外半徑。（1）設離球心處的電場強度為，在以為半徑的高斯球面上，的大小應該相同，并處處與的法線方向平行。對運用高斯定理，有所以，離球心5 cm處的電場強度。（2）以為半徑作高斯球面，設上各點的電場強度為，對運用高斯定理，有式中是所圍的電荷量所以，離球心15 cm處的電場強度的大小為 的方向與的法線方向一致，即沿徑向向外。（3）以為半徑作高斯球面，帶電球殼在內，對運用高斯定理，有所以，離球心50 cm處的電場強度的大小為 的方向與的法線方向一致，即沿徑向向外。7-18 一個半徑為的球體內的電荷體密度

3、為，式中是徑向距離，是常量。求空間的電場強度分布，并畫出對的關系曲線。解：（1）在球體內作半徑為的同心高斯球面，設上的電場強度為，對運用高斯定理，有式中是所圍的電荷量所以，在球體內離球心處的電場強度為（2）在球體外作半徑為的同心高斯球面，設上的電場強度為，對運用高斯定理，有包圍了整個球體所以，在球體外離球心處的電場強度為（3）關系曲線如圖所示。7-21 半徑為的無限長直圓柱體內均勻帶電，電荷體密度為，求電場強度分布，并作曲線。解：在圓柱體內，以為半徑作高為的同軸閉合圓柱面，對運用高斯定理，有圓柱內，離軸線處的電場強度大小為在圓柱體外，以為半徑作高為的同軸閉合圓柱面，對運用高斯定理，有圓柱內，離

4、軸線處的電場強度大小為曲線如圖所示。時，的方向沿徑向向外。7-26 兩個同心球面，半徑分別為10 cm和30 cm。小球面均勻帶有正電荷，大球面帶有正電荷。求離球心分別為20 cm和50 cm處的電勢。解法一：設兩球面半徑分別為、，帶電、，由高斯定理可求得電場分布為處的電勢為處的電勢為解法二：由各球面電勢的疊加計算電勢，位于兩球面之間，電勢為小球面電荷在處的電勢和大球面電勢的代數和。即，位于兩球面外，電勢為兩球面在處的電勢。即7-27 電荷均勻分布在半徑為的球體內，試證離球心處的電勢為解法一：均勻帶電球體的電場強度具有球對稱性，設球體內和球體外的電場強度分別為和，由高斯定理可以求得和。式中球內

5、的場強為球外的場強為球體內處的電勢為解法二：以為半徑作球面，將帶電球體分割為半徑為的球體和厚度為的球殼兩部分，則處的電勢為這兩部分帶電體的電勢和的代數和，即。是半徑為的球體表面的電勢，這里是厚度為帶電球殼在其內表面的電勢。由于帶電球面內的電勢與表面的相同，將球殼分割為無數厚度為的薄球殼，則處在每個薄球殼的內部。每個薄球殼所帶的電量為電勢為所以，直接計算這種做法是錯誤的! 7-32 一半徑的圓盤，其上均勻帶有面密度為的電荷，求：（1）軸線上任一點的電勢表達式（用該點與盤心的距離、圓環(huán)半徑及表示）；（2）從電場強度和電勢的關系求該點的電場強度；（3）計算距離盤心處的電勢和電場強度。（）解 （1）在圓盤上以盤心為圓心，取半徑為r，寬為dr的細圓環(huán)，所帶電荷量為在軸線上x處的電勢為： 整個圓盤上x處的電勢為 （2）軸線上x處的電場強度為 （3）帶入數據，得處 7-36 點電荷，處在導體球殼的中心，殼的內外半徑分別為和，求：（1）導體球殼的電勢；（2）離球心處的電勢；（3）把點電荷移開球心1.0 cm后球心點的電勢及導體球殼的電勢。解：利用高斯定理可以得到靜電平衡時各區(qū)域的電場分布為（1）導體球殼