第二節(jié)二重積分(直角坐標(biāo))的計(jì)算0941副本

1、第二節(jié) 二重積分的計(jì)算(直角坐標(biāo)部分)教學(xué)目的：了解二重積分計(jì)算公式導(dǎo)出的方法，理解公式中符號的意義；熟練掌握型區(qū)域與型區(qū)域上積分公式，熟練掌握極坐標(biāo)系下的二重積分公式；熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系下的二重積分的互化；并能根據(jù)條件選擇合適的方法計(jì)算積分.重點(diǎn)：型區(qū)域與型區(qū)域上積分的計(jì)算；極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算；極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系下的二重積分的互化；根據(jù)條件選擇合適的方法計(jì)算積分.難點(diǎn)：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系下二重積分的互化；選擇合適的方法計(jì)算積分.教學(xué)方法:直觀教學(xué)，啟發(fā)式講授教學(xué)過程：一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分1先對后對的二次積分假定, 且,其中: ,則.結(jié)論：二重積分必須轉(zhuǎn)化為二次累次積

2、分進(jìn)行計(jì)算. 注:事實(shí)上,條件可以省去.證明: 設(shè)是以為底、為頂?shù)那斨w,體積仍用表示.則.過軸上點(diǎn)作平行于的平面,.截得一以長為底,為曲邊的曲邊梯形,其面積為 .當(dāng) .2先對后對的二次積分.其中:,.例1計(jì)算,由及圍成.解: 積分區(qū)域, 則 .另解:.例2計(jì)算,由及圍成.解: 如圖, 其中由及圍成；由及圍成.(1) ；(2).(3) .(此方法不好，太復(fù)雜了)（另一種解法）則）解 .(積分區(qū)域?yàn)榫匦?例3 化二重積分為二次積分(寫出兩種積分次序).(1)解為矩形區(qū)域,所以.(2)是由軸,及圍成的區(qū)域.解 則.若將表示為,則 . (3)是由軸,及圍成的區(qū)域.解若則.若則 .(4)是由軸,圓在

3、第一象限的部分及直線圍成的區(qū)域.解若且及，則.若則 .(5)是由軸與拋物線在第二象限的部分及圓第一象限部分圍成的區(qū)域.解若將表示為及則 .若將表示為則 .3型區(qū)域與型區(qū)域(1) 型區(qū)域: 穿過內(nèi)部且平行于軸的直線與邊界相交不多于兩個交點(diǎn). 此時(shí).(2)型區(qū)域: 穿過內(nèi)部且平行于軸的直線與邊界相交不多于兩個交點(diǎn). 此時(shí). (3) 對于任意區(qū)域,可將分成若干個型與型區(qū)域后分別積分：.例4 計(jì)算.解: .（太復(fù)雜！）另解: .（簡單多了）注意：選擇計(jì)算順序非常重要.例5(87.5) 設(shè)積分區(qū)域是由曲線與直線在第一象限內(nèi)圍成的封閉區(qū)域,求.（是初等函數(shù)但其沒有初等原函數(shù)，即必須在型區(qū)域上進(jìn)行積分）解積

4、分區(qū)域可表示為 ,.例6(91.5) 計(jì)算二重積分.其中是由軸,軸與曲線所圍成的區(qū)域;.解積分區(qū)域可表示為,.例7 (1)(01.6)求二重積分的值,其中是由直線,及圍成的平面區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為,于是 .(注意一重積分的對稱性)(2)解.練習(xí):選擇合適順序計(jì)算下列積分1),其中是由直線和軸圍成的區(qū)域.解:將分成,又在上是的偶函數(shù),且關(guān)于軸對稱(與均關(guān)于軸對稱).2)解:4交換積分順序上述的積分使我們看到積分順序很重要，以下以實(shí)例說明如何交換積分順序.例8交換二次積分的次序:(1)解積分區(qū)域?yàn)?積分區(qū)域還可以表示為,于是 原式.(2)解積分區(qū)域?yàn)?，積分區(qū)域還可以表示為 ,于是 原式.（3

5、）(02.3) 交換積分次序:.解積分區(qū)域可表示為,其中 ,也可以表示為,故.（4）(92.3) 交換積分次序:.解積分區(qū)域可表示為, 故.例9 求證:提示:交換積分次序.解二重積分中的積分區(qū)域?yàn)?,區(qū)域還可以表示為 ,于是 即 .例10(88.4)求.解積分區(qū)域可表示為,(初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)).例11(1)計(jì)算,是由直線及拋物線圍成的區(qū)域.提示:此題若選用型區(qū)域上的積分則無法計(jì)算出這個二重積分.解取型區(qū)域，則區(qū)域可表示為, .(2) 計(jì)算,是由直線及及軸圍成的區(qū)域.（此題若選用型區(qū)域上的積分則無法計(jì)算出這個二重積分.）解：選用型區(qū)域上的積分(3)計(jì)算解：例12(06.7) 計(jì)算二重

6、積分,其中是由直,所圍成的平面區(qū)域.分析：注意積分的順序，使其計(jì)算簡單解區(qū)域可表示為,故 .例13(1)（本題滿分07.3.11分）設(shè)二元函數(shù) 計(jì)算二重積分，其中【分析】被積函數(shù)為分區(qū)域函數(shù)，利用積分的可加性分區(qū)域積分，在計(jì)算過程中注意利用區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性進(jìn)行化簡.【詳解1】由區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性有其中為D在第一象限的部分. 設(shè) , ,.因此 .【詳解2】記，則=【評注】被積函數(shù)包含時(shí), 可考慮用極坐標(biāo)較容易；解法二在計(jì)算積分時(shí), 利用了將區(qū)域轉(zhuǎn)化為區(qū)域D減去,而后面這兩塊區(qū)域均方便積分.例14某城市受地理限制呈直角三角形分布,斜邊臨一條河.由于交通關(guān)系,城市發(fā)展不太均衡,這一點(diǎn)可從稅收狀況反映出來.若以兩直角邊為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,則位于軸和軸上的城市長