空間的平行直線與異面直線教案二

1、課 題：空間的平行直線與異面直線(二) 教學(xué)目的：1. 掌握兩異面直線的公垂線和距離的概念；2. 掌握兩異面直線所成角及距離的求法3. 能求出一些較特殊的異面直線的距離教學(xué)重點(diǎn)：兩異面直線的公垂線及距離的概念.教學(xué)難點(diǎn)：兩異面直線所成角及距離的求法.授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1 空間兩直線的位置關(guān)系（1）相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（3）異面不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；2.公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行推理模式：3.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方

2、向相同，那么這兩個(gè)角相等4.等角定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法6異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線推理模式：與是異面直線7異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：8異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直兩條異面直線 垂直，記作9求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在

3、一條直線上找一點(diǎn)，過該點(diǎn)做另一直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求二、講解新課：兩條異面直線的公垂線、距離和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直線的公垂線理解：因?yàn)閮蓷l異面直線互相垂直時(shí)，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離兩條異面直線的公垂線有且只有一條三、講解范例：例1 設(shè)圖中的正方體的棱長為a（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA1成異面直線？（2）求直線BA1和CC1所成的角的大小（3）求異面直線BC和AA1的距

4、離解：（l）A1不在平面BC1，而點(diǎn)B和直線CC1都在平面BC1內(nèi)，且BCC1.直線BA1與CC1是異面直線同理，直線C1D1、D1D、DC、AD、B1C1都和直線BA1成異面直線（2）CC1BB1BA1和BB1所成的銳角就是BA1和CC1所成的角A1BB1=45°，BA1和CC1所成的角是45°（3）ABAA1，ABAA1=A，又ABBC，ABBC=B，AB是BC和AA1的公垂線段AB=a，BC和AA1的距離是a說明：本題是判定異面直線，求異面直線所成角與距離的綜合題，解題時(shí)要注意書寫規(guī)范例2 已知分別是空間四邊形四條邊的中點(diǎn)，（1）求證四邊形是平行四邊形（2）若ACBD

5、時(shí)，求證：為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四邊形的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.證明（1）：連結(jié)，是的邊上的中點(diǎn)，同理，同理，所以，四邊形是平行四邊形證明（2）：由（1）四邊形是平行四邊形，由ACBD得，為矩形.解（3）：由（1）四邊形是平行四邊形BD=2，AC=6，由平行四邊形的對角線的性質(zhì) .解（4）：由（1）四邊形是平行四邊形BD=4，AC=6，又，AC、BD成30º角，EF、EH成30º角，四邊形的面積 .解（5）：分別取AC與BD的中點(diǎn)M、N,連接M

6、N、MB、MD、NA、NC，AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，MBMDNANCMN是AC與BD的公垂線段且 AC與BD間的距離為. 例3 平行四邊形ABCD的內(nèi)角C=60°,CD=2BC,沿對角線BD將平行四邊形所在平面折成直二面角;求AC、BD所成的角.翰林匯解：如圖,折起前,A=C=60°,AD=BC=a,AB=DC=2a.由余弦定理得BD2=a24a2a·2a=3a2,BD=.AD2BD2=AB2, ABD是直角三角形.即ADB=90°.同理DBC=90°.折起后ADB=CBD=90°.如圖,過A作AEBD,連結(jié)AC、CE

7、、BE,四邊形AEBD是矩形,BDBE,DBBC.CBE是二面角ABDC的平面角.CBE=90°,EC2=2a2.DB平面EBC,DBEC.AEEC,AC2=AE2EC2=5a2,由AEBD得CAE，即為AC與BD所成的角.在RtAEC中,cosCAE=.于是AC與BD所成角為arccos.翰林匯例4 空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，求異面直線所成的角解：取中點(diǎn)，連結(jié)，分別是的中點(diǎn)，且，異面直線所成的角即為所成的角，在中，異面直線所成的角為說明：異面直線所成的角是銳角或直角，當(dāng)三角形內(nèi)角是鈍角時(shí)，表示異面直線所成的角是它的補(bǔ)角例5 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B與B1

8、D1所成角;(2)AC與BD1所成角.翰林匯解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方體,DD1平行且相等BB1.DBB1D1為平行四邊形,BD/B1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是銳角,A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.O為BD中點(diǎn),OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDAEDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是AC的中點(diǎn),EOAC,EOA=90o.又EO

9、A是異面直線AC與BD1所成角,AC與BD成角90o. 翰林匯例6在長方體中，已知AB=a，BC=b，=c(ab)，求異面直線與AC所成角的余弦值 解：在長方體的一旁，補(bǔ)上一個(gè)全等的長方體，則BEAC，（或其補(bǔ)角）即和CD所的角 ， 與AC所成角的余弦值為.翰林匯四、課堂練習(xí)：1判斷題（對的打“”，錯(cuò)的打“×”） （1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（ ） （2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則ABCD（ ） （3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對異面的對角線所成的角為60º（ ） （4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（

10、 ）答案：（1）× （2）× （3） （4）× EAFBCMND2右圖是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中BM與ED平行；CN與BE是異面直線；CN與BM成60º角；DM與BN垂直. 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是（ ）（A）（B）（C）（D）答案：C3已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;(2)若ACBD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若ABBCCDDA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.翰林匯證明：(1)ABCD是空間四邊形,A點(diǎn)不在平面BCD上,而C平面BCD,A

11、C過平面BCD外一點(diǎn)A與平面BCD內(nèi)一點(diǎn)C,又BD平面BCD,且CBD.AC與BD是異面直線.(2)解如圖,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),EF/AC,且EF=AC.同理HG/AC,且HG=AC.EF平行且相等HG,EFGH是平行四邊形.又F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),FG/BD,EFG是異面直線AC與BD所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH是矩形.(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.4完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點(diǎn)P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc求證：BD和AE是異面直線證明：假設(shè)_ 共面于g，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面_內(nèi) QAÎa，DÎa，_Ì.QPÎa，PÎ_.QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc _Ìg，_Ìg，這與_矛盾BD、AE_ 翰林匯答案：假設(shè)BD、AE共面于g，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面 g 內(nèi)AÎa，DÎa， a Ìg.PÎa，PÎ g .PÎb，BÎb，PÎc，EÎc. b