矩陣的秩在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用

1、矩陣的秩的應(yīng)用(一)矩陣的秩在判定向量組的線性相關(guān)性方面的應(yīng)用矩陣的秩對(duì)研究向量組間是否線性相關(guān)有重要的意義, 咱們可以通過(guò)把向量組轉(zhuǎn)換成矩陣的形式，通過(guò)判斷矩陣的秩的情況來(lái)間接判定向量組是相關(guān)還是無(wú)關(guān)的。那么我們首先從向量組之間的關(guān)系著手。1.向量組間的關(guān)系(1).定義：若向量組中每個(gè)向量都可以由向量組線性表示，則稱向量組組能由向量組線性表出。兩個(gè)向量組若能互相線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。向量組中任何一個(gè)最大的線性無(wú)關(guān)組所含有的向量數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩。(2).有關(guān)定理若向量組A能由向量組B線性表示，則知秩秩B； 1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 編 王萼芳,石生明 修訂 高

2、等代數(shù)-3版. M北京:高等教育出版社，2003，9。2 黃光谷,黃東,李楊,蔡曉英 編 高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答M華中科技大學(xué)出版社， 2005，3。3 周泰文,王家寶,賀偉奇 編 線性代數(shù)全程導(dǎo)學(xué) 湖南科學(xué)技術(shù)出版社 ，2002，11。4 陳志杰 編 高等代數(shù)與解析幾何(上冊(cè)) M 北京：高等教育出版社，2008.12。5 馮錫剛 編 解析幾何中矩陣秩的應(yīng)用J 教學(xué)管理與研究社， 6 鄒曉光 編 互素多項(xiàng)式與矩陣的秩的一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論及其應(yīng)用J 金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006年第6卷第1期。等價(jià)的向量組必等秩,但是其逆不真； 矩陣中行向量組的秩和列向量組的秩都等于其非零子式的最高階數(shù),所以矩陣的

3、秩既等于其行秩(即其行向量組的秩),又等于其列秩(即其列向量組的秩)。一個(gè)向量組中，其任何兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的。2.判定向量組是否線性相關(guān)利用矩陣的秩來(lái)判斷向量組的線性相關(guān)性,通常用來(lái)判斷有個(gè)維向量的向量組。令，當(dāng)，此向量組是線性無(wú)關(guān)的，當(dāng)，此向量組是線性相關(guān)的。例:設(shè)。（1）問(wèn)t的值取多少時(shí)，該向量組線性相關(guān)？（2）問(wèn)t的值取多少時(shí)，該向量組線性無(wú)關(guān)？解: 從最后一個(gè)矩陣可知：（1）t5時(shí)，,向量組線性無(wú)關(guān)；（2）t=5時(shí)，,向量組線性相關(guān)。3.根據(jù)矩陣的秩判斷向量組線性相關(guān)性 利用矩陣的秩證明向量組的線性相關(guān)性，就是把向量組中每一個(gè)向量用矩陣形式表示出來(lái)，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)，分析向量

4、組間相關(guān)性。通常用于證明具有兩對(duì)向量的向量組。例: 設(shè)向量組是線性無(wú)關(guān)的，根據(jù)矩陣的秩的有關(guān)性質(zhì)試證：也是線性無(wú)關(guān)的。證明 令 則 因矩陣 可逆，故所以即線性無(wú)關(guān)。（二）、矩陣的秩在線性方程組方面的應(yīng)用1.矩陣的秩和非齊次線性方程組矩陣的秩在判斷線性方程組解情況中，有很重要作用，能夠快速確定方程組解的個(gè)數(shù)。接下來(lái)我們從定理的證明入手，來(lái)探究矩陣的秩與線性方程組之間的關(guān)系。定理 ：對(duì)于非齊次此方程組有解的充分必要條件即為方程組系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等。例: 分析以下方程組，探究分別取什么值時(shí)，方程組的解是什么樣子? 解: 其系數(shù)矩陣 增廣矩陣若要方程組有解則需.由此可以看出當(dāng)時(shí) 方程組無(wú)解

5、。當(dāng)時(shí) 方程組含無(wú)窮多個(gè)解。當(dāng),且時(shí) 方程組有唯一解?？偨Y(jié)：對(duì)于非齊次線性方程組，我們?cè)O(shè)A為其系數(shù)矩陣，B為其增廣矩陣。當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一的解。當(dāng)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解。當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。 由上可以看出，矩陣的秩和線性方程組的解之間是緊密的相連的，從矩陣的秩入手，不僅可以簡(jiǎn)單判斷出非齊次線性方程組是否有解，而且可以判斷出齊次線性方程組解的情況。2.矩陣的秩與齊次線性方程組定理21 :對(duì)于齊次線性方程組在齊次線性方程組有非零解時(shí)，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含有解的個(gè)數(shù)等于，這里r表示系數(shù)矩陣的秩。例 （1） 解: 方程組的系數(shù)矩陣為，計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式,時(shí)，時(shí)， 綜上可得，當(dāng)時(shí)，,此時(shí)方程組

6、有兩個(gè)非零解。此時(shí)方程組可化簡(jiǎn)為 （2）方程組(1)與(2)同解，且為和由于兩個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，故為方程組的基礎(chǔ)解系，令表示方程組的通解。因此，方程組的通解為 其中 當(dāng)時(shí)，2,此時(shí)方程組有一個(gè)非零的解方程組化簡(jiǎn)為 （3）方程組(1)與方程組(3)同解由于線性無(wú)關(guān)，故而可以作為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以，此方程組的通解為 其中當(dāng)且時(shí)，,此時(shí)方程組只有零解。(三)矩陣的秩在解析幾何方面的應(yīng)用通過(guò)以上對(duì)矩陣秩的相關(guān)定理和結(jié)論的證明，我們還將矩陣的秩推廣到解析幾何中，來(lái)判斷空間幾何中兩條直線的位置關(guān)系。主要用直線的方程構(gòu)造方程組，運(yùn)用上面介紹矩和方程組的關(guān)系，分析方程組系數(shù)矩陣與它的增廣矩陣的秩的情況

7、，就能夠確定方程組的解的情況，進(jìn)而判斷空間中兩條直線的位置關(guān)系，下面詳細(xì)闡述有關(guān)解法。給定以下兩條直線的方程 ； ；那么這兩條直線之間的位置關(guān)系取決于方程組解的情況，那么由上面結(jié)果我們可以知道，此方程組解的情況又由其系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩決定。各個(gè)方程都表示著一個(gè)平面，那么線性方程組則表示這兩個(gè)平面的交線。因此有分別表示該方程組的系數(shù)矩陣和它的增廣矩陣。當(dāng)時(shí)，那么該方程組有解，即說(shuō)明兩條直線存在交點(diǎn)。 特別地，若，此方程組的解是無(wú)窮多的，即代表兩直線完全一樣。當(dāng)時(shí),此時(shí)方程組的解僅有一個(gè)，代表兩條直線相交。當(dāng)此時(shí)方程組無(wú)解，那么兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)。在空間幾何里，這兩條直線為平行或者異面。(

8、四)矩陣的秩在特征值方面的應(yīng)用矩陣的秩與特征值之間的關(guān)系討論中，著重研究特殊情況，即當(dāng)矩陣的秩為1的時(shí)候時(shí)，特征值得取值如何。引理1：設(shè)是3階矩陣，那么它的特征多項(xiàng)式為 ，其中 ，特別地，若秩，那么特征多項(xiàng)式為 ，則矩陣A的特征值是 例:根據(jù)矩陣的秩求下列行列式的值。解 (1) (2) 從上易直觀看出，矩陣(1)的秩是1,因此其特征值是。矩陣(2)的秩為n,因此其特征值為。所以，原矩陣的特征值為。綜上可得(五)矩陣的秩在其他方面的應(yīng)用1.矩陣的秩在多項(xiàng)式方面的應(yīng)用矩陣的秩在多項(xiàng)式中的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在互素的多項(xiàng)式中，通過(guò)運(yùn)用多項(xiàng)式互素的有關(guān)性質(zhì)，確定多項(xiàng)式秩之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)解題。(1).是多項(xiàng)式，且次數(shù)均大于1,若互素，且，則。 (2).設(shè),，若互素,且, 則。 (3).設(shè),，若兩 兩互素，則。2.矩陣的秩判定二次型正定問(wèn)題 設(shè)二次型,其中,可以有以下結(jié)論: (1).的正慣性指數(shù)與秩都等于n正定。 (2).的負(fù)慣性指數(shù)與秩都等于n正定。 (3).的正慣性指數(shù)與秩相等半正定。例：設(shè)是階半正定矩陣，為階正定矩陣，證明，等號(hào)成立當(dāng)并且只當(dāng)。證：由題目知正定，半正定，正定，由矩陣的正定的結(jié)論知。當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，秩，正定，所以必有實(shí)可逆矩陣，有 其中，所以秩 設(shè)個(gè)特征值為，而秩，由半正定，因此最少有個(gè)，不妨設(shè)。那么的個(gè)特征值為，故有所以，故，即證得。