直角三角形等腰直角三角形斜邊直線專題

1、直角三角形、斜邊中線、等腰直角三角形專題一、直角三角形的性質(zhì)1一塊直角三角板放在兩平行直線上，如圖，1+2=度2如圖，ABC中，BAC=90°，ADBC，ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，AG平分DAC，求證：BAD=C；AEF=AFE；AGEF3如圖所示，在ABC中，CD，BE是兩條高，那么圖中與A相等的角有 4如圖，已知ABC中，ABAC，BE、CF都是ABC的高，P是BE上一點(diǎn)且BP=AC，Q是CF延長線上一點(diǎn)且CQ=AB，連接AP、AQ、QP，求證：APQ是等腰直角三角形二、含30°角的直角三角形的性質(zhì)5在RtABC中，ACB=60°，DE是斜邊AC的中垂線

2、，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)若BD=2，求AD的長 6如圖，AOP=BOP=15°，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC=6，求PD的長 7如圖所示，矩形ABCD中，AB=AD，E為BC上的一點(diǎn)，且AE=AD，求EDC的度數(shù) 8如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，DFAB于點(diǎn)F，點(diǎn)E在BA的延長線上，且ED=EC，若AE=2，求AF的長 9如圖所示，已知1=2，AD=BD=4，CEAD，2CE=AC，求CD的長 10如圖，在RtABC中，ACB=90°，B=30°，AD平分BAC，DEAB于E，求證：（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD

3、=2CD； 3、 直角三角形斜邊中線問題11如圖，在ABC中A=60°，BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，求證：PMN為等邊三角形； 12已知銳角ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M是線段BC的中點(diǎn)，連接DM，EM（1）若DE=3，BC=8，求DME的周長；（2）若A=60°，求證：DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求A的度數(shù)13如圖，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=AD，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，EF=2，求AC的長 14如圖，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點(diǎn)，PEAB于E，

4、PFAC于F，M為EF中點(diǎn)，求AM的最小值 15如圖，在ABC中，ACB=90°，B=20°，D在BC上，AD=BD，E為AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于點(diǎn)F，求DFE等于多少 16如圖，在RtABC中，ACB=90°，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB，若B=50°，求ACB=17如圖，ABC中，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BEAC，若DE=5，AE=8，求BC的長度 18 如圖，在平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作RtACE，又BED=90°求證：AC=BD19已知：如圖，在RtABC中，ACB=90°，點(diǎn)M是AB邊的

5、中點(diǎn)，CHAB于點(diǎn)H，CD平分ACB（1）求證：1=2（2）過點(diǎn)M作AB的垂線交CD延長線于E，求證：CM=EM；（3）AEB是什么三角形？證明你的猜想20如圖，已知在ABC中，延長CA到D，使BA=BD，延長BA到E，使CA=CE，設(shè)P、M、N分別是BC、AD、AE的中點(diǎn)求證：PMN是等腰三角形四、等腰直角三角形問題21如圖，ACB、CDE為等腰直角三角形，CAB=CDE=90°，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，求證：AFDF，AF=DF22已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，AE平分CAB交CD于E，在DB上取點(diǎn)F，使DF=DE，求證：CF平分DCB23如圖，OBD和OCA是等腰直

6、角三角形，ODB=OCA=90°M是線段AB中點(diǎn)，連接DM、CM、CD若C在直線OB上，試判斷CDM的形狀24如圖，已知點(diǎn)D在AC上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)（1）求證：BMD為等腰直角三角形；（2）將圖中的ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖所示，則（1）題中的結(jié)論“BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請說明理由25已知：如圖ABC中，A=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且EDF=90°（1）求證：DEF為等腰直角三角形；（2）求證：S四邊形AEDF=SBDE+SCDF；（3）如果點(diǎn)E運(yùn)動

7、到AB的延長線上，F(xiàn)在射線CA上且保持EDF=90°，DEF還仍然是等腰直角三角形嗎？請畫圖說明理由26ABC中，ABC=45°，ABBC，BEAC于點(diǎn)E，ADBC于點(diǎn)D（1）如圖1，作ADB的角平分線DF交BE于點(diǎn)F，連接AF求證：FAB=FBA；（2）如圖2，連接DE，點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，連接DG、EG依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；用等式表示線段AE、BE、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明27如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，D為BC中點(diǎn)，DEAB，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFAC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF、AF、AD，AD與CF交于點(diǎn)G（1）求證：AC

8、DCBF；（2）AD與CF的關(guān)系是；（3）求證：ACF是等腰三角形；（4）ACF可能是等邊三角形嗎？（填“可能”或“不可能”）直角三角形斜邊中線等腰直角三角形專題參考答案與試題解析1【解答】解：如圖，1=3，2=4（對頂角相等），3+4=90°，1+2=90°故答案為：90【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，對頂角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2如圖，ABC中，BAC=90°，ADBC，ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，AG平分DAC，給出下列結(jié)論：BAD=C；AEF=AFE；EBC=C；AGEF其中正確的結(jié)論是（）ABCD【分析】根據(jù)同角的余角相等求出BAD

9、=C，再根據(jù)等角的余角相等可以求出AEF=AFE；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AGEF【解答】解：BAC=90°，ADBC，C+ABC=90°，BAD+ABC=90°，BAD=C，故正確；BE是ABC的平分線，ABE=CBE，ABE+AEF=90°，CBE+BFD=90°，AEF=BFD，又AFE=BFD（對頂角相等），AEF=AFE，故正確；ABE=CBE，只有C=30°時EBC=C，故錯誤；AEF=AFE，AE=AF，AG平分DAC，AGEF，故正確綜上所述，正確的結(jié)論是故選C【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線

10、合一的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵3如圖所示，在ABC中，CD，BE是兩條高，那么圖中與A相等的角的個數(shù)有（）A1個B2個C3個D4個【分析】根據(jù)已知條件CD，BE是兩條高可知：A+DCA=90°，ABE+BHD=90°，A+ABE=90°，CHE+HCE=90°，再根據(jù)同角的余角相等即可得到答案【解答】解：CDAB，CDA=BDH=90°，A+DCA=90°，ABE+BHD=90°，BEAC，A+ABE=90°，CHE+HCE=90&

11、#176;，A=BHD=CHE，故選：B【點(diǎn)評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)垂直得到有哪些角互余4如圖，已知ABC中，ABAC，BE、CF都是ABC的高，P是BE上一點(diǎn)且BP=AC，Q是CF延長線上一點(diǎn)且CQ=AB，連接AP、AQ、QP，判斷APQ的形狀【分析】利用BE、CF都是ABC的高，求證1=2，然后求證ACQPBA，利用AQ=AP，AQAP，即可證明APQ是等腰直角三角形【解答】解：APQ是等腰直角三角形BE、CF都是ABC的高，1+BAE=90°，2+CAF=90°（同角（可等角）的余角相等）1=2又AC=BP，CQ=AB，在ACQ和PBA中，ACQ

12、PBAAQ=AP，CAQ=BPA=3+90°QAP=CAQ3=90°AQAPAPQ是等腰直角三角形【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生對全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題5（2016秋泰山區(qū)期中）在RtABC中，ACB=60°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)若BD=2，則AD的長是（）A3B4C5D4.5【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出A的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，解答即可【解答】解：ACB=60°，B=90°，A=30°，DE是斜邊AC的中垂線，DA=DC，ACD=A=

13、30°，BD=2，AD=4，故選B【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵6（2016秋大豐市月考）如圖，AOP=BOP=15°，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC=6，則PD等于（）A4B3C2D1【分析】過點(diǎn)P作PEOB于E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得AOP=COP，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出PCE=AOB=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PEOB于E，PCOA，AOP=C

14、OP，PCE=BOP+COP=BOP+AOP=AOB=30°，又PC=6，PE=PC=3，AOP=BOP，PDOA，PD=PE=3，故選B【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵7（2015春蘭溪市期末）如圖所示，矩形ABCD中，AB=AD，E為BC上的一點(diǎn)，且AE=AD，則EDC的度數(shù)是（）A30°B75°C45°D15°【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出C=ABC=90°，AB=CD

15、，DCAB，推出AE=2AB，得出AEB=30°=DAE，求出EDC的度數(shù)，即可求出答案【解答】解：四邊形ABCD是矩形，C=ABC=90°，AB=CD，DCAB，AB=AD，E為BC上的一點(diǎn)，且AE=AD，AE=2AB，AEB=30°，ADBC，AEB=DAE=30°，AE=AD，ADE=AED=（180°EAD）=75°，ADC=90°，EDC=90°75°=15°，故選D【點(diǎn)評】本題考查了矩形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的

16、關(guān)鍵是求出ABC和EBA的度數(shù)，題目比較好，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目8（2013春重慶校級期末）如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，DFAB于點(diǎn)F，點(diǎn)E在BA的延長線上，且ED=EC，若AE=2，則AF的長為（）AB2C+1D3【分析】過點(diǎn)E作EHAC交BC的延長線于H，證明ABH是等邊三角形，求出CH，得到BD的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BF，計算即可【解答】解：過點(diǎn)E作EHAC交BC的延長線于H，H=ACB=60°，又B=60°，EBH是等邊三角形，EB=EH=BH，CH=AE=2，ED=EC，EDC=ECD，又B=H，BED=HEC，在BED和HEC中，

17、BEDHEC，BD=CH=2，BA=BC=4，BF=BD=1，AF=3故選：D【點(diǎn)評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、等邊三角形的三個角都是60°是解題的關(guān)鍵9（2012春古冶區(qū)校級期中）如圖所示，已知1=2，AD=BD=4，CEAD，2CE=AC，那么CD的長是（）A2B3C1D1.5【分析】在RtAEC中，由于=，可以得到1=2=30°，又AD=BD=4，得到B=2=30°，從而求出ACD=90°，然后由直角三角形的性質(zhì)求出CD【解答】解：在RtAEC

18、中，=，1=2=30°，AD=BD=4，B=2=30°，ACD=180°30°×3=90°，CD=AD=2故選A【點(diǎn)評】本題利用了：（1）直角三角形的性質(zhì)；（2）三角形內(nèi)角和定理；（3）等邊對等角的性質(zhì)10（2012秋包河區(qū)期末）如圖，在RtABC中，ACB=90°，B=30°，AD平分BAC，DEAB于E，以下結(jié)論（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；（4）DE=AC中，正確的有（）A1個B2個C3個D4個【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，AC=BE，結(jié)合含30°角的直角三角形

19、的性質(zhì)可得BD=2CD，而AC和BD不一定相等，所以可得出答案【解答】解：ACB=90°，B=30°，AD平分BAC，DEAB，DC=DE，ADC=ADE=60°，AD平分CDE，AC=AE，在RtBDE中，B=30°，BD=2DE=2CD，在RtADE中，DE=AE=AC，正確的有（1）、（2）、（3），故選C【點(diǎn)評】本題主要考查角平分線的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵11（2015秋江陰市期中）如圖，在ABC中A=60°，BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接P

20、M，PN，則下列結(jié)論：PM=PN；PMN為等邊三角形；下面判斷正確是（）A正確B正確C都正確D都不正確【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出ABM=ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出BCN+CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出BPN+CPM=120°，從而得到MPN=60°，又由得PM=PN，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷正確【解答】解：BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正

21、確；A=60°，BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，ABM=ACN=30°，在ABC中，BCN+CBM180°60°30°×2=60°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BMAC，CNAB，PM=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2CBM，BPN+CPM=2（BCN+CBM）=2×60°=120°，MPN=60°，PMN是等邊三角形，正確；所以都正確故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12已知

22、銳角ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M是線段BC的中點(diǎn)，連接DM，EM（1）若DE=3，BC=8，求DME的周長；（2）若A=60°，求證：DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求A的度數(shù)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ABC+ACB=120°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DM=BM，EM=CM，推出ABC=BDM，ACB=CEM，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（3）求出EM=EN，解直角三角形求出EMD度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可【解答】解：（

23、1）CD，BE分別是AB，AC邊上的高，BDC=BEC=90°，M是線段BC的中點(diǎn)，BC=8，DM=BC=4，EM=BC=4，DME的周長是DE+EM+DM=3+4+4=11；（2）證明：A=60°，ABC+ACB=120°，BDC=BEC=90°，M是線段BC的中點(diǎn)，DM=BM，EM=CM，ABC=BDM，ACB=CEM，EMC+DMB=ABC+ACB=120°，DME=180°120°=60°；（3）解：過M作MNDE于N，DM=EM，EN=DN=DE，ENM=90°，EM=DM=BC，DN=EN=D

24、E，BC2=2DE2，（2EM）2=2（2EN）2，EM=EN，sinEMN=，EMN=45°，同理DMN=45°，DME=90°，DMB+EMC=180°90°=90°，ABC=BDM，ACB=CEM，ABC+ACB=（180°DMB+180°EMC）=135°，BAC=180°（ABC+ACB）=45°【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度

25、，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半13（2014春永川區(qū)校級期中）如圖，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=AD，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，EF=2，則AC的長是（）A3B4C5D6【分析】連結(jié)AF由AB=AD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AFBD再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC=2EF=4【解答】解：如圖，連結(jié)AFAB=AD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，AFBD在RtACF中，AFC=90°，E是AC的中點(diǎn)，EF=2，AC=2EF=4故選B【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半利用等腰三角形三

26、線合一的性質(zhì)得出AFBD是解題的關(guān)鍵14（2011秋姜堰市期末）如圖，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為（）A2B2.4C2.6D3【分析】先求證四邊形AFPE是矩形，再根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得AP最短時的長，然后即可求出AM最短時的長【解答】解：連結(jié)AP，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，BAC=90°，PEAB，PFAC，四邊形AFPE是矩形，EF=APM是EF的中點(diǎn)，AM=AP，根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短

27、，即APBC時，AP最短，同樣AM也最短，當(dāng)APBC時，ABPCBA，=，=，AP最短時，AP=4.8當(dāng)AM最短時，AM=2.4故選B【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對相似三角形判定與性質(zhì)、垂線段最短和直角三角形斜邊上的中線的理解和掌握，此題涉及到動點(diǎn)問題，有一定的拔高難度，屬于中檔題15（2010武隆縣模擬）如圖，在ABC中，ACB=90°，B=20°，D在BC上，AD=BD，E為AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于點(diǎn)F，DFE等于（）A40°B50°C60°D70°【分析】根據(jù)已知得，BAC=70°，BAD=B，再根據(jù)直角三角形斜邊上的

28、中線等于斜邊的一半，得出ECB=B，從而得出ACE，再由三角形的內(nèi)角和定理得AFC，根據(jù)對頂角相等求出答案【解答】解：ACB=90°，B=20°，BAC=70°，AD=BD，BAD=B=20°，DAC=50°，E為AB的中點(diǎn)，BE=CE，ECB=B=20°，ACE=70°，在ACF中，ACF+AFC+FAC=180°，AFC=60°，DFE=AFC=60°（對頂角相等），故選C【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握16（2016江岸區(qū)模擬）

29、如圖，在RtABC中，ACB=90°，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB，若B=50°，則ACB=10°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求出BCD、DCA的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出BCD的度數(shù)，計算即可【解答】解：ACB=90°，B=50°，A=40°，ACB=90°，CD是斜邊上的中線，CD=BD，CD=AD，BCD=B=50°，DCA=A=40°，由翻折變換的性質(zhì)可知，BCD=BCD=50°，ACB=BCDDCA=10°，故答案為：10

30、76;【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵17（2016秋嵊州市期末）如圖，ABC中，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BEAC，若DE=5，AE=8，則BC的長度為2【分析】由BEAC，D為AB中點(diǎn)，DE=5，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求得AB的長，然后由勾股定理求得BC的長【解答】解：BEAC，AEB=90°，D為AB中點(diǎn)，AB=2DE=2×5=10，AE=8，BE=6BC=2，故答案為：2【點(diǎn)評】此題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及勾股定理注意掌握直角三角形斜邊的

31、中線等于斜邊的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵18如圖，在平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作RtACE，又BED=90°求證：AC=BD【分析】連接EO，首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=CO，BO=DO，即O為BD和AC的中點(diǎn)，在RtAEC中EO=AC，在RtEBD中，EO=BD，進(jìn)而得到AC=BD，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可證出結(jié)論【解答】證明：連接EO，四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO，BO=DO，在RtEBD中，O為BD中點(diǎn)，EO=BD，在RtAEC中，O為AC中點(diǎn)，EO=AC，AC=BD【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，關(guān)鍵是掌握

32、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半19已知：如圖，在RtABC中，ACB=90°，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，CHAB于點(diǎn)H，CD平分ACB（1）求證：1=2（2）過點(diǎn)M作AB的垂線交CD延長線于E，求證：CM=EM；（3）AEB是什么三角形？證明你的猜想【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性質(zhì)得到CAB=ACM，由余角的性質(zhì)得到CAB=BCH，等量代換得到BCH=ACM，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到ACD=BCD，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)EMAB，CHAB，得到EMAB，由平行線的性質(zhì)得到HCD=MED，由于HCD=MCD，于是得到MCD=

33、MED，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù) CM=EM AM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出AEB是直角三角形，由于 EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到結(jié)論【解答】證明：（1）RtABC中，ACB=90°，M是AB邊的中點(diǎn)，AM=CM=BM，CAB=ACM，CAB=90ABC，CHAB，BCH=90ABC，CAB=BCH，BCH=ACM，CD平分ACB，ACD=BCD，ACDACM=BCDBCH，即1=2；（2）EMAB，CHAB，EMCH，HCD=MED，HCD=MCD，MCD=MED，CM=EM；（3）AEB是等腰直角三角形，CM=EM AM=CM=BM，EM=AM=BM

34、，AEB是直角三角形，EM垂直平分AB，EA=EB，AEB是等腰三角形，AEB是等腰直角三角形【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵20如圖，已知在ABC中，延長CA到D，使BA=BD，延長BA到E，使CA=CE，設(shè)P、M、N分別是BC、AD、AE的中點(diǎn)求證：PMN是等腰三角形【分析】連接BM、CN，根據(jù)等腰三角形三線合一得到BMC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MP=BC，同理NP=BC，得到答案【解答】證明：連接BM、CN，BA=BD，DM=MA，BM

35、AD，BMC=90°，又BP=PC，MP=BC，同理，NP=BC，MP=NP，PMN是等腰三角形【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵21如圖，ACB、CDE為等腰直角三角形，CAB=CDE=90°，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，求證：AFDF，AF=DF【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=BF=AE，DF=BF=AE，再根據(jù)等邊對等角可得ABF=BAF，DBF=BDF，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出AFD=2ABC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可

36、【解答】證明：CAB=CDE=90°，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，AF=BF=AE，DF=BF=AE，AF=DF，ABF=BAF，DBF=BDF，由三角形的外角性質(zhì)得，AFD=ABF+BAF+DBF+BDF=2ABC，ABC是等腰直角三角形，ABC=45°，AFD=90°，AFDF，綜上所述，AFDF，AF=DF【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵22已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，AE平分CAB交CD于E，在DB上取點(diǎn)F，使DF=DE，

37、求證：CF平分DCB【分析】延長FE交AC于點(diǎn)G，利用角平分線的性質(zhì)可知EG=ED，然后證明CEGFED，得出CE=FE，利用等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)即可求出ECF=BCF【解答】解：延長FE交AC于點(diǎn)G，DE=DF，CD是斜邊AB上的高，DEF=45°，DCB=45°，EFBC，EFC=FCB，CGF=90°，AE平分CAB，CGF=BDC=90°，GE=DE，在CGE與FDE中，CGEFDE（ASA），CE=FE，ECF=EFC，ECF=BCF，CF平分DCB【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，平

38、行線的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合程度較高23如圖，OBD和OCA是等腰直角三角形，ODB=OCA=90°M是線段AB中點(diǎn)，連接DM、CM、CD若C在直線OB上，試判斷CDM的形狀【分析】由OBD和OCA是等腰直角三角形得到ACB=ADB=90°，OBD=45°，由M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，則CM=DM，MBD=MDB，MCB=MBC，理由三角形外角性質(zhì)得AMD=2MBD，AMC=2MBC，則AMDAMC=2（MBDMBC）=2OBD=90°，于是可得到CDM為等腰直角三角形【解答】解：CDM為等腰

39、直角三角形理由如下：OBD和OCA是等腰直角三角形，ACB=ADB=90°，OBD=45°，而M為AB的中點(diǎn)，DM=AM=BM，CM=AM=BM，CM=DM，MBD=MDB，MCB=MBC，AMD=2MBD，AMC=2MBC，AMDAMC=2（MBDMBC）=2OBD=90°，即CMD=90°，CM=DM，CDM為等腰直角三角形同理可得：第2個圖中CDM為等腰直角三角形【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，靈活利用直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)是關(guān)鍵24（2010渝中區(qū)模擬）如圖，已知點(diǎn)D在AC上，ABC和

40、ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)（1）求證：BMD為等腰直角三角形；（2）將圖中的ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖所示，則（1）題中的結(jié)論“BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請說明理由【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可以證明BMD=90°，所以BMD為等腰直角三角形；（2）延長DM交BC于N，先根據(jù)EDB=ABC=90°證明EDBC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出DEM=MCN，從而證明EDM與MNC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DM=MN，然后即可證明

41、BMDM，且BM=DM【解答】（1）證明：點(diǎn)M是RtBEC的斜邊EC的中點(diǎn)，BM=EC=MC，MBC=MCBBME=2BCM（2分）同理可證：DM=EC=MC，EMD=2MCDBMD=2BCA=90°，（4分）BM=DMBMD是等腰直角三角形（5分）（2）（1）題中的結(jié)論仍然成立理由：延長DM與BC交于點(diǎn)N，（6分）DEAB，CBAB，EDB=CBD=90°，DEBCDEM=MCN又EMD=NMC，EM=MC，EDMMNC（8分）DM=MNDE=NC=AD又AB=BC，ABAD=BCCN，BD=BNBMDM即BMD=90°（9分）ABC=90°，BM=D

42、N=DMBMD是等腰直角三角形（10分）【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，難度中等25（2011秋昌平區(qū)校級期中）已知：如圖ABC中，A=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且EDF=90°（1）求證：DEF為等腰直角三角形；（2）求證：S四邊形AEDF=SBDE+SCDF；（3）如果點(diǎn)E運(yùn)動到AB的延長線上，F(xiàn)在射線CA上且保持EDF=90°，DEF還仍然是等腰直角三角形嗎？請畫圖說明理由【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰直角三角

43、形的性質(zhì)可得ADBC，AD=BD，1=45°，從而得到1=B，再根據(jù)同角的余角相等求出2=4，然后利用“AAS”證明BDE和ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF，從而得證；（2）同理求出ADE和CDF全等，根據(jù)全等三角形的面積相等即可得證；（3）依然成立，連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD，CAD=45°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出DAF=DBE，然后利用“AAS”證明BDE和ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF，從而得證【解答】（1）證明：如圖，連接AD，A=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，ADBC，AD=BD，1

44、=45°，1=B=45°，EDF=90°，2+3=90°，又3+4=90°，2=4，在BDE和ADF中，BDEADF（ASA），DE=DF，又EDF=90°，DEF為等腰直角三角形；（2）解：同理可證，ADECDF，所以，S四邊形AEDF=SADF+SADE=SBDE+SCDF，即S四邊形AEDF=SBDE+SCDF；（3）解：仍然成立如圖，連接AD，BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，ADBC，AD=BD，1=45°，DAF=180°1=180°45°=135°，DBE=180°ABC=180°45°=135°，DAF=DBE，EDF=90°，3+4=90°，又2+3=90°，2=4，在BDE和ADF中，BDEADF（ASA），DE=DF，又EDF=90°，DEF為等腰