理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 概率與統(tǒng)計

1、第三節(jié) 統(tǒng)計一、基本知識概要：1.三種常用抽樣方法:（1）簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為N。如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。簡單隨機抽樣的常用方法：抽簽法，隨機數(shù)表法用隨機數(shù)表進行抽樣的步驟：將總體中的個體編號；選定開始號碼；獲取樣本號碼。（2）系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）：當(dāng)總體的個數(shù)較多時，采用簡單隨機抽樣較為費事。這時可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）。系統(tǒng)抽樣的步驟：采用隨機的方式將總體中的個體編號；整個的編號分段

2、（即分成幾個部分），要確定分段的間隔k。當(dāng)N/n（N為總體中的個體的個數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，k=N/n;當(dāng)N/n不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體的個數(shù)N能被n整除，這時k=N/n；在第一段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號1；按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將1加上間隔k得到第2個編號1+k,第3個編號1+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本）。（3）分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾個部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做“分層抽樣”，其中所分成的各部分叫做“層”。三種抽樣方法的比較類別共同

3、點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取總體中的個數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成2、總體分布的估計：隨著試驗次數(shù)的不斷增加,試驗結(jié)果的頻率值在相應(yīng)的概率值附近擺動.當(dāng)試驗次數(shù)無限增大時,頻率值就變成相應(yīng)的概率了.此時隨著樣本容量無限增大其頻率分布也就會排除抽樣誤差,精確地反映總體取的概率分布規(guī)律,通常稱為總體分布.用樣本的頻率分布去估計總體分布：由于總體分布通常不易

4、知道,我們往往用樣本的頻率分布去估計總體分布,一般地,樣本容量越大,估計越精確.總體分布的估計的兩種方式(1)頻率分布表 (2)頻率分布直方圖。3、正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)：正態(tài)分布的概念：如果連續(xù)型隨機變量的概率密度曲線為，其中為常數(shù)，并且，則稱服從正態(tài)分布，簡記為。正態(tài)分布的期望與方差：若，則。正態(tài)分布的主要性質(zhì)：）曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x=對稱；）曲線在x=時處于最高點，由這一點向左右延伸時，曲線逐漸降低；）曲線的對稱軸位置由確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越：“矮胖”；反之曲線越“高瘦”。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)=0，=1時，可以寫成，這時稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，簡記為。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)

5、表：由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布應(yīng)用十分廣泛，已制成專門的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)表，供人們查閱。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中，相應(yīng)于每一個的函數(shù)值是指總體取小于的值的概率（函數(shù)實際上是正態(tài)總體N(0,1)的累積分布函數(shù)），即=。若，則，4、線性回歸：(1)相關(guān)關(guān)系：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系。注：與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。(2)回歸分析：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法。(3)散點圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形。(4)回歸直線方程：，其中， 。相應(yīng)的直線叫回歸直線，對兩個變量所進行的上述統(tǒng)計叫做回歸分析。(5)相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：（1）|

6、r|1。（2）|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小二、例題：例1：某批零件共160個，其中一級品有48個，二級品64個，三級品32個，等外品16個從中抽取一個容量為20的樣本請說明分別用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被取到的概率相同解：（1）簡單隨機抽樣法：可采用抽簽法，將160個零件按160編號，相應(yīng)地制做160號的160個簽，從中隨機抽個。顯然每個個體被抽到的概率為。（2）系統(tǒng)抽樣法：將160個零件按160編號，按編號順序分成20組，每組8個。先在第一組用抽簽法抽得號，則在其余組中分別抽得第號，此時每個個體被抽到的概率為。（3）分層抽樣法

7、：按比例，分別在一級品，二級品，三級品，等外品，是抽取個，個，個，個。每個個體被抽到的概率分別為，即都是。綜上所述，無論采取哪種抽樣，總體和每個個體被抽到的概率都是。說明：三種抽樣方法的共同點就是每個個體被抽到的概率相同，這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性。例2：將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在，液體的溫度（單位：）是一個隨機變量，且。（1） 若，求的概率（2） 若要保持液體的溫度至少為的概率不低于0.99，問至少是多少？（其中若）。剖析：（1）要求P（）F（89），因為不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而給出的是，故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值。（2）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率，再

8、利用解：（1）（2）由已知滿足說明：（1）若（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)，時，為增函數(shù)，時，為減函數(shù)。例3：已知測量誤差，必須進行多少次測量，才能使至少有一次測量誤差的絕對值不超過的頻率大于0.9？解：設(shè)表示次測量中絕對誤差不超過的次數(shù)，則其中由題意，因此，至少要進行3次測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過的概率大于0.9。例4：有一個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：（1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計數(shù)據(jù)小于30.5的概率。解：（1）樣本的頻率分布如下：分組頻數(shù)頻率12.515.560.0615.518.5160.1618.521.51

9、80.1821.524.5220.2224.527.5200.2027.530.5100.1030.533.580.08合計100100（2）頻率分布直方圖如圖（3）數(shù)據(jù)大于等于30.5的頻率是0.08，所以，小于30.5的頻率是0.92. 所以，小于30.5的概率約是0.92.例5：一個工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y（萬元）與該月產(chǎn)量x（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù)：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50(1) 畫出散點圖(2) 求月成本與月產(chǎn)量之間的回歸直線方程。解：（1）畫出散點圖如圖所示：（2）列出下表，并用科學(xué)計算器進行有關(guān)計算i123456789101112xi1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07yi2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50xiyi2.432.6542.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.09666537.245 ,于是由公式可得：，因此所求的回歸直線方程是說明：求線