理工大學(xué)高數(shù)上學(xué)期復(fù)習(xí)

1、高等數(shù)學(xué)第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)一、函數(shù)1.函數(shù)分類概念分類類型分類研究函數(shù)的主要問(wèn)題：初等性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、有界性、奇偶性、周期性。分析性質(zhì)：極限、連續(xù)性、可微性、可積性2. 例題（僅限于對(duì)應(yīng)）引例 ，求解 例1 ，求。解 例2 ，且，求，并寫出定義域。解 ，。例3 設(shè)滿足，其中均為常數(shù)，且，求的表達(dá)式。解 ，消掉得。小結(jié)：上述四例均強(qiáng)調(diào)或說(shuō)體現(xiàn)“對(duì)應(yīng)”，即自變量在抽象函數(shù)中的位置與具體函數(shù)中的位置相對(duì)應(yīng)。抓住“對(duì)應(yīng)”一點(diǎn)。函數(shù)問(wèn)題基本解決。其他問(wèn)題從略（本類題考率三年一次）。3. 習(xí)題1 設(shè)，則 1 。2 設(shè)，則（D）（A） （B）（C） （D）3 設(shè)，則（B）（A）0（B）1（C）（D）。4

2、 是（D）（A） 有界函數(shù)（B）單調(diào)函數(shù)（C）周期函數(shù)（D）偶函數(shù)5 設(shè)連續(xù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（D）。（A）（B）（C）（D）二、極限1內(nèi)容總結(jié)1）基本型：型，2）等價(jià)代換當(dāng)時(shí)，3）重要極限（）其他極限不存在例：4）用泰勒公式求極限5）用夾逼定理和單調(diào)有界原理求極限（主要用于數(shù)列極限問(wèn)題）2、例題基礎(chǔ)題目1（型） ；（型）；2（等價(jià)代換）；（）（注意的處理。，。）3冪指4泰勒公式（注對(duì)泰勒公式只需熟悉展開式）5夾逼定理與單調(diào)有界1） 表示取整函數(shù)解1 當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，故從而 解2 ，表示小數(shù)部分2）對(duì)于數(shù)列，已知，證明。證：由歸納法易證，又 ，即當(dāng)時(shí)有下界同時(shí)，即單減，從而收斂。設(shè)，對(duì)遞

3、推式取極限得，解得，（舍）。注：為兩點(diǎn)遞推式，寫成連續(xù)型函數(shù)，若，則為單調(diào)數(shù)列，若，則不是單調(diào)的，據(jù)此可以調(diào)整證明目標(biāo)。3、專題訓(xùn)練類題目1）重要極限與冪指型極限例1例2例32）等價(jià)代換例1例2例33）反問(wèn)題例1，求值解 原式，故。例2，求。解 原式，由此，有回代原式 例3，求。解 當(dāng)時(shí)，故，則從而 ，由此。三、連續(xù)函數(shù)1定義：，稱在點(diǎn)連續(xù)。（本質(zhì)上 ）2、問(wèn)題分類1）討論函數(shù)的連續(xù)性2）指出函數(shù)間斷點(diǎn)，且分類3）介值定理應(yīng)用4）連續(xù)性應(yīng)用（）3、例題例1 討論的連續(xù)性。解 當(dāng)時(shí)，考查三點(diǎn)；（除以上三點(diǎn)外，函數(shù)連續(xù)）；，為第一類間斷點(diǎn)；是第一類間斷點(diǎn)（可去間斷）同法 ；，是第一類間斷點(diǎn)。例2

4、設(shè)，討論的間斷點(diǎn)及其類型。解 在點(diǎn) ，為可去間斷點(diǎn)。在點(diǎn) 不存在，為第二類間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)）。例3 設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，求與的關(guān)系。解 ，于點(diǎn)連續(xù)，則。例4 證明，恰有三個(gè)實(shí)根證 令，則于上連續(xù)，而，由零點(diǎn)存在定理 ，使即方程有三個(gè)實(shí)根，又三次方程至多有三個(gè)實(shí)根，故恰有三實(shí)根。方程有根問(wèn)題當(dāng)與微分學(xué)結(jié)合時(shí)會(huì)很精彩。例5 設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)都使，證明在上。證：在上連續(xù)。則有界，即，使。又，使，故又使，同理 ，使令，則有。例6 設(shè)在上連續(xù)，且，證明，使。證 設(shè)，假設(shè)，則，相加，與矛盾，即恒大于0，不可能。同理（恒）也不可能，即必有大于0的點(diǎn)，也有小于0的點(diǎn)，由連續(xù)性和介值定理，使，即。第二章一元函數(shù)微分學(xué)

5、及其應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)概念的三類問(wèn)題1“分析”形式問(wèn)題例1 在處可導(dǎo)，求。解 原式例2 可導(dǎo)，。求。解 原式。例3 設(shè)在點(diǎn)可導(dǎo)，且，求。分析：例4 設(shè)有導(dǎo)數(shù)，且，求。分析：原式例5 設(shè)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，且于的某鄰域內(nèi)滿足（*）其中是當(dāng)時(shí)比高階無(wú)窮小量，且于處可導(dǎo)，求曲線于點(diǎn)的切線方程。分析：由(*)式，令（湊定義）：令，。切線方程：，。2“隱式”導(dǎo)數(shù)問(wèn)題例1 在點(diǎn)連續(xù)，且，求。解 ，由分母，則（連續(xù)）則例2 設(shè)曲線在原點(diǎn)與相切，試求極限。解 在點(diǎn)兩曲線相切，。3導(dǎo)數(shù)物理解釋問(wèn)題（速度，變化率）（相關(guān)變化率）例1 有一底半徑為Rcm，高為h的錐形容器，現(xiàn)以Acm/s的速率向容器內(nèi)注水，試求當(dāng)容器內(nèi)

6、水位上升到時(shí)，水面上升的速率和液面面積的變化率。解 設(shè)坐標(biāo)系如圖令，則；令，則。注：體會(huì)物理解釋，“以速率注水”，“水面上升速度“面積變化率“例2 一動(dòng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)。已知P點(diǎn)橫坐標(biāo)的速率位30cm/s。當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，從原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離的變化率是多少？（設(shè)坐標(biāo)軸長(zhǎng)度單位為1cm）。解 方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，。記，則，對(duì)求導(dǎo)，得，。例3 設(shè)雨滴為球狀體，若雨滴聚集水分的速率與其表面積成正比。證明雨滴半徑增加的速率為一常數(shù)。證 ,則。二、導(dǎo)數(shù)計(jì)算（的四個(gè)重點(diǎn)）重點(diǎn)掌握：隱函數(shù)求導(dǎo)（含二階導(dǎo)數(shù)）；分段函數(shù)求導(dǎo)；積分上限函數(shù)求導(dǎo)；參數(shù)方程所確定函數(shù)求導(dǎo)。1復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）例1，求。解 ；例2，求。解

7、 ，例3，求。解 法（1）方程兩邊對(duì)求導(dǎo) 。法（2），。2隱含數(shù)求導(dǎo)例1，求。解 ，兩邊對(duì)求導(dǎo)得整理 (1)(2)(1)兩邊對(duì)求導(dǎo)：，例2設(shè)，求。解 令得，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)：（1）由（1）得。對(duì)（1）再求導(dǎo)得：（2）當(dāng)時(shí)，代入（2），。3參數(shù)方程求導(dǎo),.例1. ，求，。解 ，。例2且，求。解 ，。例3設(shè)是由方程組所確定的函數(shù)，求。解 ，方程兩邊對(duì)微分得從而，。將代入得。4絕對(duì)值函數(shù)與分段函數(shù)求導(dǎo)1設(shè)，則使存在的最高階導(dǎo)數(shù)解 由于因而，從而類似地可求得，以及而因而不存在。可見(jiàn)，存在的最高階數(shù)為。例2設(shè)在x=0可導(dǎo)，求之值。解 要在點(diǎn)連續(xù)，則，則，由于在可導(dǎo)，所以5、積分上限求導(dǎo)，。,例1，求。解

8、，；例2連續(xù) ，求。解 令，；例3設(shè)由方程確定，求（1）；（2）過(guò)點(diǎn)切線方程（3）。解 在，對(duì)方程求導(dǎo)（1）再求導(dǎo) （2）將代入（1），切線，將代入得代入（2），得，6關(guān)于高階導(dǎo)數(shù)例1，求。解 ，。例2，求。解 例4，求。解 ，則，即。注：1. 高階導(dǎo)數(shù)直接用公式的已推廣到2結(jié)合泰勒公式如3，4尤其4應(yīng)注意。例5、三階導(dǎo)數(shù)存在，求，。解 ，。三、微分中值定理與Taylor公式1內(nèi)容小結(jié)1）費(fèi)馬引理：在點(diǎn)處取得極值，并且在處可導(dǎo)，那么。2）羅爾定理：滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。3）拉格朗日中值定理 滿足（1）在閉區(qū)

9、間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使4）柯西中值定理 滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）對(duì)任一，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使5）泰勒中值定理 含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一，有其中?；蛘咔罢哒归_到項(xiàng)常用于求極限，后者余項(xiàng)確切常用于估計(jì)誤差。要點(diǎn):中值定理：證等式（含方程有根），放縮一下也可以證不等式。泰勒公式：“建立兩點(diǎn)連續(xù)”，“一點(diǎn)在另一點(diǎn)展開”，“尋求函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系。2例題1）關(guān)于羅爾定理直接法例1 設(shè)拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，又二階可導(dǎo)，且，同時(shí)上述兩曲線在上有一交點(diǎn)。證明使。證 令，則，（在點(diǎn)兩曲線相交），由羅爾定理，使，使，從而，使

10、，即。倒推法例2 在上連續(xù)，在可導(dǎo)，證明，使。分析：，。，驗(yàn)證例3 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，證明正整數(shù)，使。分析 。（乘一因子，使之易求原函數(shù)，考題難度合適?。┢渌?） 欲證，2） ；3）4） ；5）6） ；7）8）9）2）關(guān)于拉格朗日中值定理 例1 求極限。解 原式，介于之間例2 設(shè)在內(nèi)有界?？蓪?dǎo)且存在，證明證 ，若，則，但矛盾，說(shuō)明小注：（1）凡遇到先用一下中值定理往往有效。（2）有時(shí)要刻意構(gòu)造同一類函數(shù)在兩點(diǎn)做差。3）關(guān)于泰勒公式問(wèn)題已知一點(diǎn)信息例1 設(shè)二階可導(dǎo)，求。解 原式已知多點(diǎn)信息例2 設(shè)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明，使。分析：（1）求證泰勒公式，余項(xiàng)三階（2），故在點(diǎn)展開可去

11、掉一階項(xiàng)（3）兩端在中點(diǎn)展開相減可去掉二階項(xiàng)（4）三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)用介值定理證 相減：，若，則，由的連續(xù)性及介值定理，使，若否則可取。展開中再展開例1 設(shè)，又有，證明。證 與假設(shè)式比較 整理，令，得。四、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)1小結(jié)1）用極值定義判別極值（常用極限保號(hào)性）2）用一階導(dǎo)數(shù)判別極值3）用二階導(dǎo)數(shù)（或2n階）導(dǎo)數(shù)判別極值2習(xí)題例1 ，求極值點(diǎn)與極值。解 ，得駐點(diǎn)，及不可導(dǎo)點(diǎn)。如上三點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)，故是極大值。，不是極值，是極小值用一階導(dǎo)數(shù)，注意不可導(dǎo)點(diǎn)，畫圖，反映。例2 求所確定隱含數(shù)是極值。解 方程兩邊對(duì)求導(dǎo) 令得代入原方程得駐點(diǎn)，對(duì)（*）式再求導(dǎo)：。1） 將代入上式，是極大值。2）

12、將代入，是極小值。用二階導(dǎo)數(shù)，隱含數(shù)，對(duì)*求導(dǎo)直接代入，計(jì)算技巧。3單調(diào)性，凹凸性，拐點(diǎn)，漸近線，曲率等1）概念l 單調(diào)性判別定理：，l 凹凸性判別定理：，下凸（上凹）；，上凸（下凹）在兩邊變號(hào)，稱為拐點(diǎn)，特殊情況不存在。l 斜率：，。2）例題例1 求的單調(diào)區(qū)間，極值，凸性及拐點(diǎn)。解 定義域，令及駐點(diǎn)，單增。，單減，是極大值點(diǎn)，是極大值；得，當(dāng)，為拐點(diǎn)。下凸區(qū)間，上凸區(qū)間。例2 依圖的特點(diǎn)判斷函數(shù)的圖形特征。單增區(qū)間，單減區(qū)間，：拐點(diǎn)，極值點(diǎn)，極小值，單增，是拐點(diǎn)，下凸區(qū)間，上凸區(qū)間，極大值，不可導(dǎo)點(diǎn)，尖點(diǎn)。例3 對(duì)數(shù)曲線上的那點(diǎn)曲率半徑最小，并求該點(diǎn)的曲率半徑。解 ，令得，在兩邊附近異號(hào)，由

13、負(fù)到正，故在點(diǎn)曲率半徑最小，此時(shí)。第三章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用一、不定積分本節(jié)重點(diǎn)掌握（1）不定積分概念；（2）換元法；（3）分布積分法。1. 概念，。的原函數(shù)的一般式或全體2. 性質(zhì),或 ;,或記作 .3. 例題例1 ，求。解 ，則，。例2 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，求。解 (1)(2)例3 的一個(gè)原函數(shù)滿足，求。解 ，則可導(dǎo)，必連續(xù)。；即，則，。；即，則，。記，則滿足，則，故二、不定積分計(jì)算1湊分法簡(jiǎn)例例1.；例2.例3.。2拆項(xiàng)，補(bǔ)項(xiàng)積分例1例2例3例4例5；例6；3一般換元法注意積分中含有令，令，令例1 解 令4分布積分法例1 例2 令例3 例4 注意分母為平方項(xiàng)，原函數(shù)分母為一次方項(xiàng)，求導(dǎo)至

14、此，因此積分中先要營(yíng)造在分子中出現(xiàn)分母的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，而分母的導(dǎo)數(shù)易求得們?yōu)?，類似可完成下題。例4 三、定積分與不定積分相聯(lián)系，計(jì)算定級(jí)分，只須將原函數(shù)帶上下限即可解決問(wèn)題了。因此本節(jié)只須解決或說(shuō)注重一些特殊解即可，特殊問(wèn)題有那些呢？1和式極限問(wèn)題由定積分定義：實(shí)際和式極限問(wèn)題多是采用等分區(qū)間。（例）取分點(diǎn)。引例：求解 原式；（注意：識(shí)，定限方法：（下限）（上限）（有界）例1 （以上為標(biāo)準(zhǔn)和式極限）。例2 ，連續(xù)。（乘積變?yōu)楹褪剑。├? （夾擠一下）計(jì)算 解 ；故 。（放大、縮小無(wú)關(guān)緊要小量）2定積分計(jì)算中的幾個(gè)特殊問(wèn)題1）奇函數(shù)、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分（1）若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則 （2）若在上

15、連續(xù)且為奇函數(shù)，則 上述結(jié)論可推廣到關(guān)于對(duì)稱函數(shù)積分2）絕對(duì)值函數(shù)和分段函數(shù)積分：分區(qū)間去絕對(duì)值符號(hào)積之。3）注意公式例 ；4）周期函數(shù)積分5）（證：令代換即可證得，此處連續(xù)）例四、定積分與微分學(xué)相聯(lián)系問(wèn)題定積分與微分學(xué)相聯(lián)系“橋梁”是積分上限函數(shù)。引入這個(gè)函數(shù)。重寫微分學(xué)討論的到問(wèn)題，使問(wèn)題形式新穎，豐富多彩。1、極限與連續(xù)問(wèn)題例1例2例3求A為何值時(shí)，在點(diǎn)可導(dǎo)，且求。解 使在可導(dǎo)，則（連續(xù)）而即，2、導(dǎo)數(shù)例1設(shè)由方程確定，（1）求（2）求過(guò)點(diǎn)的切線方程（3）求。解 在，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得（1），過(guò)點(diǎn)切線方程為。對(duì)（1）兩邊求導(dǎo)：，3中值定理例1設(shè)，均為上的連續(xù)函數(shù)，證明至少存在一點(diǎn)，使。證 令，則，故使，即，移項(xiàng)得證。4積分1，計(jì)算解 5不等式與零點(diǎn)例1設(shè)在上連續(xù)，且單增，證明證 令單增，即例2設(shè)在上連續(xù)，單減，設(shè)，對(duì)滿足，證明。證 記，令，則，（得證。例3設(shè)，且。證在上有且僅有一個(gè)實(shí)根。證 令，故 使，又，故實(shí)根唯一。例4若在二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，證明使。證明 由在上連續(xù)，必存在最大值和最小值，使，從而即由得連續(xù)性及介值定理，使，即例5在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明證 則即例6在上連續(xù)，且，證明使證 令，0（）6、其他例1設(shè)在可積，證明（柯西許瓦茨不等式）。證，（可衍生許多題目，略去）五、定積分應(yīng)用例題例1 設(shè)星形線的參數(shù)方程形式為，試求（1）它所圍的面積，（2）弧長(zhǎng)（3）繞軸