...我想把一章常見的題型歸納起來也應(yīng)當(dāng)是一種算法,學(xué)生了解后便可以

1、 通過培訓(xùn)算法，我想把一章常見的題型歸納起來也應(yīng)當(dāng)是一種算法，學(xué)生了解后便可以在思路上有據(jù)可依了。不知總結(jié)的恰當(dāng)不恰當(dāng)，希望老師專家們批評(píng)指正。 圓錐曲線中的八種常見題型解析幾何是用代數(shù)的知識(shí)解決幾何圖形的自然學(xué)科，是用代數(shù)中方程與函數(shù)的思想通過建立坐標(biāo)系把方程的解和曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來，其解題步驟是建立直線方程和圓錐曲線方程(消去或)的方程。當(dāng)a=0時(shí)，方程為一次方程有一解。直線與拋物線有一解，對(duì)雙曲線來說，直線與漸近線平行。當(dāng)a0時(shí)，方程是二次方程，再求判別式，通過看方程解的個(gè)數(shù)，從而判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理是聯(lián)系點(diǎn)的坐標(biāo)和方程解的橋梁。解析幾何有以下常見八種類型題。一.

2、用定義和幾何性質(zhì)解決圓錐曲線本身問題。用回到定義的方法解決數(shù)學(xué)中的疑難問題，歷來被數(shù)學(xué)家推崇，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)定義的研究，并在平時(shí)解題實(shí)踐中加以應(yīng)用，對(duì)于理解定義，發(fā)展思維，提高解題能力是非常有必要的。例1.已知橢圓（a>b>0），的外角平分線pL,過F1作垂線F1M，垂足為M, 求M的軌跡方程。 解析：延長F1M交F2P的延長線于點(diǎn)N，pL為的外角平分線，則NP=PF1MO為的中位線, MO=F2N=(NP+PF2)= (PF1+PF2)= 2= M的軌跡為以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓，設(shè)M的坐標(biāo)為，得M點(diǎn)的軌跡方程為：。二.直線與圓錐曲線相交時(shí)的中點(diǎn)弦問題。中點(diǎn)弦問題主要是求中點(diǎn)弦所在直

3、線的方程問題和求弦中點(diǎn)的軌跡問題。解決方法有兩種（1）根與系數(shù)的關(guān)系法：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個(gè)一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式求解。（2）“點(diǎn)差法”：若直線L與圓錐曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，一般地首先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)A，代入曲線方程，通過作差，構(gòu)造出，從而建立了中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系。例2.如圖，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，=5,點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，且。（1） 求點(diǎn)M的軌跡E的方程，并指明軌跡E是何種曲線。（2） 當(dāng)=時(shí)，過點(diǎn)P(1,1)的直線與軌跡E交于C,D兩點(diǎn)，且P為弦CD的中點(diǎn)，求直線CD的方程。解：（1）設(shè),A,B, ,=5。

4、當(dāng)=1時(shí)，方程化為，它表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，方程表示以為焦點(diǎn)，長軸長為的 橢圓；當(dāng)>1時(shí)，方程表示以為焦點(diǎn)，長軸長為的 橢圓。（2）當(dāng)=時(shí)，曲線方程為。設(shè)直線L與曲線交于,則（1）-（2）得,所以所求直線方程為。三.以弦為直徑的圓問題。此類問題先聯(lián)立方程組，再消去（或），得到關(guān)于(或)的方程，利用韋達(dá)定理和垂直等條件找到答案。例3. 直線L:與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)、（）求實(shí)數(shù)的取值范圍（）是否存在實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)？若存在求出的值；若不存在，說明理由解：（1）將直線的方程代入雙曲線C的方程后，整理得依題意，直線與雙曲線C的

5、右支交于不同兩點(diǎn)，得， 解得的取值范圍為。 （2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則由得假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c,0），則由FAFB得。既。整理得。把式及代入式化簡得。解得或（舍去）?？芍沟靡跃€段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)。四共線問題。此類問題大膽設(shè)端點(diǎn)坐標(biāo)，借助曲線方程構(gòu)造方程組，利用韋達(dá)定理與方程聯(lián)系在一起，達(dá)到消去參數(shù)的目的。例4.已知圓C的方程為，定點(diǎn)A(1,0),M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足,點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1) 求曲線E的方程。（2）若過定點(diǎn)F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)GH(點(diǎn)G在FH之間)且滿足,

6、求的取值范圍。解：（1）因?yàn)?，所以NP是AM的垂直平分線，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C(-1，0)，A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，2=2,c=1, .曲線E的方程為。（2）當(dāng)直線GH的斜率存在時(shí)，設(shè)G，直線GH的方程為，由得，則，。，。，。即。又。當(dāng)直線GH的斜率不存在時(shí)，GH的方程為.綜上。五.直線與圓錐曲線位置過定點(diǎn)問題。此類問題常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去(或消)得到關(guān)于(或)的一元二次方程形式，然后考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0及的情況來解決問題。例5.在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)C（0,p）作直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)。（1） 若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值。（2） 是否存在垂

7、直于y軸的直線L，使得L被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出L的方程；若不存在，說明理由。解：（1）依題意知N（0，-p），可設(shè)A，直線AB的方程為，與聯(lián)立得消去y得。由根與系數(shù)的關(guān)系得。于是=，當(dāng)=0時(shí)，。(2)假設(shè)滿足條件的直線L存在，其方程為，AC的中點(diǎn)為，L與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P,Q，PQ的中點(diǎn)為H，則點(diǎn)的坐標(biāo)為, ,。令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線L存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線。六.直線與圓錐曲線相交弦的線段成比例問題。此類問題可將線段比例轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)成比例，再借助方程求解。例6.已知：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，（1） 求漸近線

8、的方程。（2） 過雙曲線上點(diǎn)P的直線分別交漸近線于兩點(diǎn)，且，=9,求雙曲線的方程。解：（1）由題意設(shè)雙曲線的方程方程為：，由離心率為知：又漸近線方程為：，解得。設(shè)雙曲線方程為：-（）,=,則=2, 易求，=又，=9，則。（也可用=，又易求得，=9，則）。又，P。又由于P點(diǎn)位于雙曲線上，將P點(diǎn)代入（）中得=4，雙曲線的方程為。七.求參變數(shù)范圍問題。此類問題主要考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析與解決問題的能力，一般是列出一個(gè)等式，一個(gè)不等式，利用等式關(guān)系代入不等式解出范圍。例7.已知：（1） 求點(diǎn)P的軌跡C方程。（2） 若直線L：與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，D(0,-1)且有.試求的取值范圍。解：（1）=+=-=0=0,整理得=1.（2） 考慮方程組消去得，顯然，=，設(shè)為方程的兩根，則，設(shè)AB兩點(diǎn)的中點(diǎn)M， ,即M，線段AB的垂直平分線方程為：，將D(0,-1)的坐標(biāo)代入，化簡得：4m=.聯(lián)立：得或，又4>-1,即，或.八.圓錐曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離問題。此類問題通過圖形很難解決，因此可轉(zhuǎn)化為函數(shù)知識(shí)解決。例8.拋物線方程上任意一點(diǎn)p到對(duì)稱軸上定點(diǎn)A(a,0)的距離最小是頂點(diǎn)，求a的取值范圍。解：設(shè)是拋物線上的任意一點(diǎn)，則令，要想的最小值在頂點(diǎn)處取得，只需t在0,上單調(diào)遞增，即a-p0,即