第二章射影平面

1、第二章 射影平面本章是在歐氏平面的基礎(chǔ)上，通過引進無窮遠元素的方法來建立射影平面。然后又在歐氏平面上引進齊次坐標(biāo)，并介紹了對偶原理。§1 射影直線與射影平面 1.1 中心射影與無窮遠元素 定義1.1 設(shè)兩條直線a和a在同一平面內(nèi)，O是兩直線外一點，A為直線a上任一點，A與O連線交直線a于A，如此得到的直線a與a的對應(yīng)叫做以O(shè)為射心的中心射影。A叫做A從O投射到a上的對應(yīng)點。OA叫投射線，O叫投射中心，簡稱射心。顯然，A也叫A從O投射到a上的對應(yīng)點。選取射心不同，就會得到不同的中心射影。如果，a和a相交于點C，則C是自對應(yīng)點（二重點）。 在歐氏平面上，中心射影不是一一的。如果a上點P使

2、OPa，則P沒有對應(yīng)點。同樣，在a上也存在一點Q，使OQa，則Q的對應(yīng)點也不存在。點P和Q叫影消點。類似的，我們可以定義兩平面間的中心射影。而且，如果兩平面有交線l，則交線l上的每一點都是自對應(yīng)點（二重點），l叫自對應(yīng)直線（二重直線）。另外，在兩平面間的中心射影下，不但存在影消點（該點與射心連線平行于另一平面），還存在影消線(影消點的軌跡)。為使中心射影成為一一對應(yīng)，我們必須引進新的元素，從而將歐氏平面加以擴充。于是，我們約定：約定1 在平面內(nèi)的一組平行直線上引進唯一一點叫無窮遠點，此點在組中每一條直線上，記作：P。平面上原有的點稱為有窮遠點。由此可知，一組平行直線有且只有一個公共點，即無窮遠

3、點。另外，一條直線a與同它平行的平面交于無窮遠點。這是因為過直線a作與已知平面相交的平面，則交線平行于直線a，即兩條直線相交于無窮遠點。約定2 平面內(nèi)所有無窮遠點的集合叫做無窮遠直線，記作：l。平面內(nèi)原有的直線稱為有窮遠直線?？梢宰C明，一組平行平面相交于一條無窮遠直線。約定3 空間里所有無窮遠點的集合叫做無窮遠平面，記作：?？臻g中原有平面叫有窮遠平面。定義1.2 無窮遠點，無窮遠直線，無窮遠平面統(tǒng)稱為無窮遠元素。平面上的無窮遠元素為無窮遠點與無窮遠直線。例1 證明一組平行平面相交于一條無窮遠直線。證 在組中的一個平面內(nèi)任取一條直線l，設(shè)l上的無窮遠點為P，過l作一平面與組中其它平面必相交于一組

4、平行直線，此組平行直線有公共的無窮遠點P，于是P必在此組平行平面的每一個平面上。由于所取直線l的任意性，所以此組平行平面必有無數(shù)多個公共無窮遠點，其軌跡為一條無窮遠直線，即一組平行平面必相交于一條無窮遠直線。例2 在一個中心射影中，O為射影中心，在一平面a的影消線上取定兩點P，Q，在a平面上，任取一點R。求證PRQ經(jīng)中心射影后等于常量。證明 因為P，Q為影消線上兩點，O為射心，所以O(shè)Pb，OQb。若PRQ在平面b內(nèi)的射影為PRQ，則 OPRP，OQRQ于是POQ=PRQ 而POQ為定值，所以PRQ經(jīng)射影后為一定值。12 射影直線和射影平面定義1.3 在歐氏直線上添加了一個無窮遠點后所得到的直線

5、稱為仿射直線。定義1.4 歐氏平面上添加一條無窮遠直線即得到仿射平面。下面我們給出歐氏空間的仿射平面的模型。設(shè)有以O(shè)為球心的球面，過球心O作平面a交球面于大圓C，我們規(guī)定：半球面S為仿射平面，大圓C上的點為無窮遠點，且通過O的大圓C的每一直徑的兩個端點當(dāng)作一個無窮遠點，半球面上的其它點為非無窮遠點。大圓C為無窮遠直線。半球面上的大圓弧為普通直線，相交于C上同一點的半大圓弧就是平行直線。定義1.5 如果把仿射直線上的非無窮遠點與無窮遠點等同看待而不加區(qū)分，那么這條直線就叫做射影直線。射影直線是一條封閉直線，通常用圓作為射影直線的模型。定義1.6 在仿射平面上，如果對于普通元素和無窮遠元素不加區(qū)分

6、，即可得到射影平面（二維射影空間）。射影平面也是封閉的。因為射影直線是封閉的，一個點不能把它分成兩部分，要兩個不同的點才能把射影直線分成兩段。射影直線上的三個點，不能排成唯一的順序。同樣，射影平面也與歐氏平面很不相同。在歐氏平面上一條直線可以把平面分成兩個區(qū)域。在射影平面上，一條直線并不能把該平面分成兩個區(qū)域。因為連接兩個點的線段有兩個，其中只有一個線段與另一直線相交。在歐氏平面上，兩條相交直線可以把平面分成四個區(qū)域。而在射影平面上，由于直線是封閉的，而二直線有且只有一個交點，所以兩直線只能把射影平面分成兩個區(qū)域。在射影平面上，兩個不同的點決定一條直線，兩條不同的直線有且只有一個交點。 1.3

7、 圖形的射影性質(zhì)定義1.7 圖形經(jīng)過中心射影（透視對應(yīng)）后不變的性質(zhì)（量）稱為圖形的射影性質(zhì)（射影不變量）。結(jié)合性、同素性都是射影性質(zhì)。平行性不是射影性質(zhì)。單比不是射影不變量。二次曲線經(jīng)過中心射影的象仍為二次曲線，所以二次曲線是射影性質(zhì)。但是，圓不是射影性質(zhì)，因為存在一些中心射影會把圓變成不是圓的其它二次曲線。例 證明：（1）相交于影消線的二直線必成平行直線。 （2）單比不是射影不變量。證明 （1）設(shè)平面p上二直線l1,l2相交于影消線m上一點P，經(jīng)射影對應(yīng)后，l1與l2的對應(yīng)直線分別為l1與l2。由于射影對應(yīng)保持結(jié)合性不變，所以P點的對應(yīng)點是l1與l2的交點，即P點。由于l1與l2相交于無窮

8、遠點，所以 l1l2。（2）設(shè)三直線a,b,c交于O點，c平分（a,b）。直線l1與l2分別交三直線于A，B，C和A，B，C，并使|AO|<|BO|且|AO|>|BO|,于是 (ABC)= (ABC)= 所以 |（ABC）|<1 , |（ABC）|>1因此單比不是射影不變量。定義1.8 一直線m上所有點A，B，C，D，的集合稱為點列，記作：a（A，B，C，D，），直線m叫點列的底。定義1.9 一平面內(nèi)經(jīng)過一點O的所有直線a，b，c，的集合稱為線束,記作：O（a，b，c，），點O叫線束的中心。顯然點列與線束都是射影不變圖形。14 德薩格（Desargues）定理定義1.1

9、0 平面內(nèi)不共線的三點與其每兩點的連線所組成的圖形叫做三點形；平面內(nèi)不共點的三直線與其每兩條直線的交點所組成的圖形叫做三線形。德薩格定理是射影平面上的重要定理。許多定理以它為依據(jù)，利用它還可以證明初等幾何中一些共點或共線問題。德薩格定理 如果兩個三點形對應(yīng)頂點的連線交于一點，則對應(yīng)邊的交點在一直線上。證明 設(shè)有三點形 ABC和ABC，它們的對應(yīng)頂點連線AA，BB，CC交于一點O，其對應(yīng)邊的交點為BCBC=X，CACA=Y，ABAB=Z，下面分兩種情況證明X，Y，Z在一直線上。（1） 三點形ABC和ABC分別在兩個不同的平面a和a上，因為BBCC=O，所以和B，C， B，C和O共面，二直線BC和

10、 BC必相交，交點X在平面a和a的交線上。同理，CA與CA，AB與AB也相交，且相應(yīng)的交點Y，Z都在二平面a和a的交線上。因此，X，Y，Z三點共線。（2）三點形ABC和ABC在同一個平面a內(nèi)。通過O作不在平面a內(nèi)的直線l，在直線l 上任取兩點L，L，且不與O重合。因為AALL=O，所以A，A，L，L共面，LA與LA相交，記為LA LA= 同理LB LB= LC LC= 三點形所在的平面與平面a不同（如不在a內(nèi)） 由于三點形LBC與LBC不同在一個平面內(nèi)，LL，BB，CC都通過點O，BCBC=XCLCL= BLBL=由（1）可知X，共線，也就是說，X在平面所決定的平面內(nèi)，但X在平面a內(nèi)，則X在兩

11、個不同的平面與平面a的交線上。同理可證Y，Z也在平面a與平面的交線上，所以X，Y，Z都在平面a與平面的交線上，于是X，Y，Z共線。德薩格定理的逆定理 如果兩個三角形對應(yīng)邊的交點在一直線上，則對應(yīng)頂點的連線交于一點。定義1.11 如果兩個三角形的對應(yīng)邊交點共線，則這條直線叫做透視軸。如果兩個三點形的對應(yīng)頂點連線共點，則這個點叫做透視中心。例1 過三角形ABC的三個頂點，任作三條直線AD，BE，CF，分別與對邊交于D，E，F(xiàn)，且AD，BE，CF共點。若EFBC=X，F(xiàn)DCA=Y，DEAB=Z，則X，Y，Z三點共線。證明 在三角形DEF和三角形ABC中，由于AD，BE，CF共點，由薩格逆定理，可知X

12、，Y，Z三點共線。例2 證明三角形的三中線共點。證明 若三角形ABC三邊中點分別為D，E，F(xiàn)，則EFBC，DEAB，DFAC。對三角形ABC和三角形DEF，它們的對應(yīng)邊交點共無窮遠直線。由德薩格逆定理，可知其對應(yīng)頂點的連線AD，BE，CF共點O。§2 齊次坐標(biāo)2.1 齊次點坐標(biāo) 在歐氏直線上建立了坐標(biāo)系后，點與實數(shù)之間便建立了一一對應(yīng)關(guān)系。但是，對于無窮遠點卻沒有其對應(yīng)坐標(biāo)，為了刻畫無窮遠點，我們引入齊次點坐標(biāo)。定義2.1 設(shè)歐氏直線上普通點P的坐標(biāo)為x，則滿足=x的兩個數(shù)x1 ，x2（x20）叫做點P的一維齊次坐標(biāo)，記作P（x1 ，x2）。x稱為點P的非齊次坐標(biāo)。而當(dāng)x2=0時，即

13、（x1，0）（其中x10）或（1，0）規(guī)定為直線上無窮遠點的齊次坐標(biāo)。顯然：（1） 不同時為0的兩個數(shù)x1 ，x2唯一確定一點（x1 ，x2），或記x（x1 ，x2）。而（0，0）不表示任何點。（2） 若0，則（x1 ，x2）與（x1 ，x2）表示同一點，也就是任意一點的一維齊次坐標(biāo)有無窮多組。（3） 如果x20，則（x1 ，x2）決定軸上的一個普通點。它的非齊次坐標(biāo)為（4） 如果x2=0，x10，則（x1，0）或（1，0）規(guī)定為軸上無窮遠點。無窮遠點無非齊次坐標(biāo)。定義2.2 笛氏坐標(biāo)為（x，y）點的二維齊次坐標(biāo)（x1，x2，x3）是指任意滿足x=，y=的三個數(shù)x1，x2，x3（x30），記作

14、P（x1，x2，x3）。x，y稱為點P的非齊次坐標(biāo)。設(shè)有直線y=kx+b當(dāng)k不變動而b變動時，方程表示一組平行線。其上點的非齊次坐標(biāo)為（ x, kx+b）,其齊次坐標(biāo)為（x, kx+b，1），或（1，k+b/x,1/x）,當(dāng)從兩個方向趨于無窮遠時，得P的齊次坐標(biāo)的極限為（1，k, 0）,這組數(shù)與b無關(guān)，只與k有關(guān)，所以它決定以k為方向的一組平行直線上的無窮遠點的齊次坐標(biāo)（ ，k，0） 定義2.3 任意三個有序?qū)崝?shù)x1，x2，0，其中，（x10）決定一個以k所確定的方向上的無窮遠點，規(guī)定該無窮遠點的齊次坐標(biāo)為（x1，x2，0）或（1，k, 0）。當(dāng)x1=0時，（0，x2，0）（x20）或（0，1

15、，0）規(guī)定為y軸方向上的無窮遠點的齊次坐標(biāo)。注意 沒有以（0，0，0）為齊次坐標(biāo)的點。x軸方向上的無窮遠點的齊次坐標(biāo)為（1，0，0）定理2.1 設(shè)一直線的非齊次方程為a1x + a2y + a3 = 0 (a12 +a220)則此直線的齊次方程為a1x1+a2x2+a3x3=0過原點的直線的齊次方程為a1x1+a2x2 =0定理2.2 無窮遠直線的齊次方程為x3=0注意 無窮遠直線無非齊次坐標(biāo)方程。例 （1）求（5，6），（0，4），（3，0），（0，0）的齊次坐標(biāo)。（2）求直線上2x y +1=0，2x13x2+x3=0上的無窮遠點的坐標(biāo)。解 （1）（5，6），（0，4），（3，0），（0，

16、0）的齊次坐標(biāo)為（5，6，1），（0，4，1），（3，0，1），（0，0，1）。（2）2x y +1=0上的無窮遠點為（1，2，0）。2x13x2+x3=0上的無窮遠點為（1，0）或（3，2，0）2.2 齊次線坐標(biāo)平面的點采用齊次坐標(biāo)后，直線的方程為u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0。其中(x1，x2，x3)是直線上任一點的流動坐標(biāo)，顯然方程u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0。（0）與上方程表示同一直線定義2.4 一直線的齊次坐標(biāo)方程中的系數(shù)u1，u2，u3叫做該直線的齊次線坐標(biāo)。顯然，u1，u2，u3（0）也可以作為直線u的齊次線坐標(biāo)，因此直線的齊次線坐標(biāo)有無

17、窮多組。定理2.3 一點x(x1，x2，x3)在一直線uu1，u2，u3上的充要條件是u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0定義2.5 在齊次線坐標(biāo)中，一點的方程為以u1，u2，u3為流動線坐標(biāo)所構(gòu)成的方程，此方程能夠且僅能夠被過該點的動直線的坐標(biāo)所適合。定理2.4 在齊次坐標(biāo)中，一點a(a1，a2，a3)的方程是a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 = 0反之，u1，u2，u3所構(gòu)成的一次齊次方程必表示一點。注意 在線坐標(biāo)下原點的方程為 u3=0。例1寫出直線2x1+3x2x3=0，x軸，y軸，無窮遠直線的齊次線坐標(biāo)。解 直線2x1+3x2x3=0的齊次線坐標(biāo)為2，3，1。x軸的

18、方程為y=0，即x2=0，所以x軸的齊次線坐標(biāo)方程為0，1，0。同理 ，y軸的齊次線坐標(biāo)為1，0，0。無窮遠直線方程為x3=0，它的齊次線坐標(biāo)為0，0，1。例2 寫出點（0，1，2），原點，x軸上的無窮遠點，y軸上的無窮遠點的方程。解 點（0，1，2）的方程為 u2 + 2 u3 = 0。原點（0，0，1）的方程為u3 = 0。x軸上的無窮遠點（1，0，0）的方程為u1 = 0。y軸上的無窮遠點（0，1，0）的方程為u2 = 0。§3 對偶原理3.1 對偶圖形定義3.1 “點”與“直線”叫做射影平面上的對偶元素。定義3.2 “過一點作一直線”與“在一直線上取一點”叫做對偶作圖。定義3

19、.3 設(shè)有點和直線所組成的圖形，將此圖形中各元素改為它的對偶元素，各作圖改為對偶作圖。其結(jié)果形成另一圖形，這兩個圖形叫做對偶圖形。點列與線束是對偶圖形。點場（點域）：屬于同一平面的所有點的集合叫點場（點域），所在平面叫點場的底。線場（線域）：點場的對偶圖形是屬于同一平面的所有直線的集合，叫做線場（線域），所在平面叫做線場的底。例 作出下列圖形的對偶圖形 · ·解 對偶圖形如下： · · · · ·完全四點形由無三點共線的四個點，以及連接其中任意兩點的六條直線所構(gòu)成的圖形稱為完全四點形 （圖2-3）。四個點叫頂點，六條直線叫邊

20、。三對對邊的交點叫對邊點 ，它們構(gòu)成了對邊三點形。 完全四線形由無三線共點的四條直線，以及其中任意兩條直線的六個交點所構(gòu)成的圖形稱為完全四線形（圖2-4）。四條直線叫邊，六個交點叫頂點。三對對頂點的連線叫對頂線，它們構(gòu)成了對頂三線形。3.2 對偶命題與對偶原則定義3.4 在射影平面里設(shè)有點，直線及其相互結(jié)合和順序關(guān)系所組成的一個命題，將此命題中各元素改為它的對偶元素，各做圖改為它的對偶做圖，其結(jié)果形成另一個命題，這兩個命題叫做平面對偶命題。對偶原則 在射影平面里，如果一個命題成立，則它的對偶命題也成立。命題A的平面對偶命題記為PA。例1 A：通過不同兩點必有一直線。PA：兩不同直線必有一交點。

21、 例2 A：若兩個完全四點形的五對對應(yīng)邊的交點在同一直線上，則其第六對對應(yīng)邊的交點也在此直線上，其四對對應(yīng)頂點的連線必共點。 PA：若兩個完全四線形的五對對應(yīng)頂點的連線通過同一點，則其第六對對應(yīng)頂點的連線也通過此點，其四對對應(yīng)邊的交點必共線。注意 對偶原則是射影幾何所特有的，它只適用于幾何元素的結(jié)合與順序關(guān)系的命題，而不能應(yīng)用于度量關(guān)系。3.3 代數(shù)對偶定理 3.1 兩點a,b重合的條件為的秩為1。定理3.1兩直線=0，=0重合的條件為的秩為1。定理3.2 兩不同點a,b連線的齊次坐標(biāo)方程為此直線的線坐標(biāo)為定理3.2 兩不同直線=0，=0的交點的方程為：這點的坐標(biāo)為定理3.3 三個不同點a,b

22、,c共線的充要條件是：定理3.3 三條不同直線=0，=0,=0共點的充要條件是：定理3.4 以兩個不同已知點a,b的連線為底的點列中任一點的齊次坐標(biāo)能夠?qū)懽鰈 a+m b，其中 l , m 為不全為零的常數(shù)。定理3.4以兩條不同直線=0，=0的交點為頂點的線束中任一直線的齊次坐標(biāo)方程能夠?qū)懽?l+m=0，其中 l , m 為不全為零的常數(shù)。推論1 三相異點a,b,c共線的充要條件是有三個不全為零的常數(shù)p,q,r使pai+qbi+rci=0 (i=1,2,3)推論1三相異直線=0，=0,=0共點的充要條件是有三個不全為零的常數(shù)p,q,r使p+q+r=0 定理3.4的證明證明 因為=0所以由定理3

23、.3，可知a+b與a,b共線。反過來，若點c為a,b兩點連線上一點，則由定理3.3有=0因此，存在不全為0的三個數(shù)l，m，n,滿足l ai+m bi+n ci=0 ( I = 1 , 2 , 3)但是，n0（否則a,b成為重合點），所以若令=-，=-則有c=a+b，（其中，不全為0）。即點c的坐標(biāo)可以寫成a+b。 例1 求證a(1,2,-1) , b ( -1,1,2) , c(3,0,-5)共線，并求l,m的值，使ci = l ai + m bi (I=1,2,3).解 由可知a,b,c共線，由解得 所以例2 用代數(shù)法證明德薩格定理證明設(shè)有三點形ABC與ABC的對應(yīng)頂點連線共點于O，三對對邊的交點為X，Y，Z。因為 O，A，A共線，由定理3.4，存在不全為0的常數(shù)使O = lA+lA同理，O = mB+mBO = nC+nC于是有 lA+lA-（ mB+mB）即 lA+ - mB=-（ lA-mB）=Z同理mB nC =-（ mB-nC）=XnC lA =-（ nC-lA）=Y上面三個式子相加有 X+Y+Z=0由定理3.4推論知X，Y，Z共線。§4 復(fù)元素4.1 二維空間的復(fù)元素復(fù)點 設(shè)有一對有序復(fù)數(shù)x=x+xi,y=y+yi,如果x,y都是實