講義總結(jié)注冊(cè)結(jié)構(gòu)專業(yè)基礎(chǔ)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算講義

1、第三節(jié) 靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算 一、廣義力和廣義位移 以各種不同方式作用在結(jié)構(gòu)上的力，如集中力、集中力偶、分布力、分布力偶等都稱為廣義力，它可以是外力，也可以是內(nèi)力。與廣義力對(duì)應(yīng)的位移稱為廣義位移?；蚰芪ㄒ坏貨Q定結(jié)構(gòu)幾何位置改變的彼此獨(dú)立的量稱為廣義位移，如線位移、角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移等。本節(jié)主要介紹靜定結(jié)構(gòu)在廣義力、溫度變化、支座位移等因素作用下的廣義位移計(jì)算。 二、變形體系的虛功原理 變形體系的虛功原理可表述為：變形體系處于平衡的必要和充分條件是：在滿足體系變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件的任意微小虛位移過程中，變形體系上所有外力所做虛功的總和(W外)，等于變形體系中各微段截面上的內(nèi)力在其變

2、形上所做虛功的總和(W變)，即W外W變 (31) (32) 上式也稱為變形體系的虛功方程。式中P為作虛功的廣義力，為與P相應(yīng)的廣義 位移；C是支座的線位移或角位移，R是與C相應(yīng)的作虛功的支座反力或反力矩；M、N、V分別表示作虛功的平衡力系中微段上的彎矩、軸向力、剪力；d、du、d分別表示虛位移狀態(tài)中同一微段的彎曲變形、軸向變形、平均剪切變形。 對(duì)變形體系虛功方程(32)應(yīng)注意理解以下幾點(diǎn)： (1)剛體系的虛功原理只是變形體系虛功原理的一種特殊情況，對(duì)剛體系來講，W變 0，式(32)即成為剛體系虛功方程。 (2)式(32)是一個(gè)既可作為幾何方程(變形協(xié)調(diào)方程)，又可作為平衡方程的綜合性方程。例如

3、當(dāng)受力平衡狀態(tài)為實(shí)際狀態(tài)，位移狀態(tài)為虛設(shè)狀態(tài)時(shí)，變形體系的虛功原理就稱為變形體系的虛位移原理，可利用它來求解受力平衡狀態(tài)中的未知力，這時(shí)的虛功方程，實(shí)質(zhì)上代表平衡方程；當(dāng)位移狀態(tài)為實(shí)際狀態(tài)，受力平衡狀態(tài)為虛設(shè)狀態(tài)時(shí)，變形體系的虛功原理就稱為變形體系的虛力原理，可利用它來求解位移狀態(tài)中的未知位移，此時(shí)的虛功方程，實(shí)質(zhì)上代表幾何方程。本章的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算，就是以變形體系的虛力原理作為理論依據(jù)的。 (3)變形體系的虛功原理適用于彈性、非彈性、線性、非線性等變形體系的結(jié)構(gòu)分析。三、靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算 (一)位移計(jì)算的一般公式單位荷載法 單位荷載法的理論依據(jù)是虛力原理，這時(shí)虛功方程(32)中的

4、變形狀態(tài)、C、d、du、d是實(shí)際的，而平衡狀態(tài)中的P、R、N、M、V則是虛設(shè)的。單位荷載法的具體做法是：在結(jié)構(gòu)擬求位移處沿該位移方向施加相應(yīng)的廣義單位 力P1，它與支座反力、內(nèi)力構(gòu)成一個(gè)虛擬的平衡力系，然后令此平衡力系在結(jié)構(gòu)由荷 載產(chǎn)生的實(shí)際位移和變形上做虛功，則由虛功方程(32)得虛力方程為(設(shè)實(shí)際的位移狀態(tài)中，結(jié)構(gòu)無支座位移，即設(shè)C0)： (33) 式中 iP為結(jié)構(gòu)擬求位移的截面沿該位移方向(i方向)由廣義力P產(chǎn)生的廣義位移； Mi、Ni、Vi為由虛設(shè)的廣義單位力產(chǎn)生的彎矩、軸力、剪力；dp、dup、dp為實(shí)際狀態(tài)中桿件微段ds兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角、相對(duì)軸向位移、相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)，dp

5、、dup、dp分別為 代人式(33)后，即得線彈性結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算的一般公式為（34） 式中Mp、Np、Vp為結(jié)構(gòu)在實(shí)際荷載作用下產(chǎn)生的彎矩、軸力、剪力；E、G為材料的彈性模量、剪切模量；A、I為桿件橫截面面積、慣性矩；k為截面剪應(yīng)力不均勻分布系數(shù)，對(duì)矩形截面k1.2，圓形截面k109，薄壁環(huán)形截面k2。對(duì)理想平面桁架，上式為 （35） 當(dāng)Mi、Ni、Vi與相應(yīng)的Mp、Np、Vp的方向一致時(shí)，式(34)中相應(yīng)的各項(xiàng)為正，否則為負(fù)。當(dāng)按式(34)求出的iP為正時(shí)，表明iP的方向與施加的單位力同向，否則為反向。 上述單位荷載法也適用于溫度變化、支座位移等因素引起的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算。 (二)位

6、移計(jì)算的簡(jiǎn)化(實(shí)用)公式 根據(jù)理論分析和實(shí)驗(yàn)測(cè)定，對(duì)比較細(xì)長(zhǎng)的受彎桿件(桿件截面高度h與桿長(zhǎng)l之比<15時(shí))來講，式(34)中彎曲變形引起的位移是主要的，而軸向變形、剪切變形對(duì)位移的影響較小，一般可忽略不計(jì)，于是可得位移的簡(jiǎn)化計(jì)算公式為： 1梁和剛架 （36）2組合結(jié)構(gòu) （37） 3曲桿和拱 只有當(dāng)可以忽略桿件的曲率對(duì)位移的影響時(shí)(當(dāng)桿件的曲率半徑R與桿件的截面高度h之比>5時(shí)，可忽略曲率的影響)，才能近似地應(yīng)用式(34)計(jì)算曲桿和拱的位移。計(jì)算比較表明，對(duì)于薄拱，剪切變形對(duì)位移的影響?？珊雎圆挥?jì)；當(dāng)拱軸線與合理拱軸比較接近，或計(jì)算扁平拱(f<l5)中的水平位移時(shí)，需要同時(shí)考

7、慮彎曲變形和軸向變形對(duì)位移的影響，即 (38) 而對(duì)于一般的拱和曲桿，通常只要考慮彎曲變形的影響。 (三)虛擬(設(shè))狀態(tài)的建立應(yīng)用單位荷載法計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，虛擬狀態(tài)的建立要根據(jù)擬求廣義位移的性質(zhì) 來確定廣義單位力，使虛設(shè)廣義單位力在擬求廣義位移上做功，將擬求的廣義位移引入虛 功方程。例如擬求豎向線位移時(shí)，可在擬求位移處的豎向施加單位集中力；擬求角位移時(shí)，可在擬求位移處施加單位集中力偶；擬求兩點(diǎn)之間的相對(duì)水平線位移時(shí)，可在此兩點(diǎn)施加一對(duì)大小相等方向相反的水平單位集中力；擬求桁架中桿長(zhǎng)為d的某桿的轉(zhuǎn)角時(shí)，可在此桿兩端垂直于桿軸方向各施加方向相反、數(shù)值為1d的集中力，等等。例31 求圖31a所

8、示桁架結(jié)點(diǎn)3的豎向位移3V ，各桿EA相同，E21000kNcm2，A100cm2。 解 虛設(shè)狀態(tài)如圖31b所示，求出實(shí)際狀態(tài)(圖31a)和虛設(shè)狀態(tài)中各桿的軸力Np和Ni后，即可由式(35)求得3V 為所得結(jié)果為正，表示結(jié)點(diǎn)3的豎向位移的實(shí)際方向?yàn)橄蛳?。（a）圖31 例32 圖32a所示為半徑為R的等截面圓弧形曲桿，桿的橫截面為矩形，高度為h，寬度為b，材料的彈性模量為E，剪變模量G=0.4E。試求B點(diǎn)的豎向位移BV。要求同時(shí)考慮彎曲變形、軸向變形、剪力變形的影響，并比較各部分對(duì)位移影響的大小。計(jì)算中不考慮桿件曲率的影響。圖32解 (1)虛設(shè)狀態(tài)如圖32a所示。 (2)實(shí)際狀態(tài)和虛設(shè)狀態(tài)中任意

9、截面C的內(nèi)力方程為 (3)將各內(nèi)力方程及dsRd代人式(34)，積分后得： 將k1.2，G=0.4E代人上式，得上式等號(hào)右邊括號(hào)內(nèi)的第一、第二、第三項(xiàng)分別為彎曲變形、軸向變形、剪切變形對(duì) 位移的影響?？梢?，當(dāng)hR較小時(shí)，軸向變形、剪切變形對(duì)位移的影響相對(duì)于彎曲變形對(duì)位移的影響甚小，通?？珊雎圆挥?jì)。所得結(jié)果為正，表示B點(diǎn)豎向位移的實(shí)際方向與Pi=1的指向相同。 (四)圖形相乘法 1計(jì)算公式及其適用條件 當(dāng)桿件為直桿、桿件的EI為常數(shù)，Mi和MP圖中至少有一個(gè)是線性變化時(shí)，則 (39) 式中 Mi或MP圖的面積； y 與相應(yīng)的彎矩圖的形心位置C所對(duì)應(yīng)的另一彎矩圖的坐標(biāo)值。 式(39)就是用圖形相乘

10、法的公式，應(yīng)用該式時(shí)，除必須滿足前述三個(gè)條件外，還應(yīng)該注意下面兩點(diǎn)： (1)當(dāng)Mi、MP使桿件同一側(cè)受拉(或受壓)時(shí)，圖乘結(jié)果為正，否則為負(fù)； (2)當(dāng)Mi、MP圖中有一個(gè)是曲線變化時(shí)，必須取曲線變化的彎矩圖面積。 2常用圖形的面積計(jì)算公式及形心位置圖33 圖33列出了幾種常用圖形的面積計(jì)算公式及其形心位置。圖中頂點(diǎn)是指該點(diǎn)的 切線平行底邊的點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)拋物線是指頂點(diǎn)在圖形的中點(diǎn)或端點(diǎn)的拋物線。對(duì)于圖34所示兩個(gè)梯形的圖乘結(jié)果為 (310) 對(duì)于其他較為復(fù)雜的彎矩圖，可根據(jù)直桿彎矩圖的疊加原理，將其分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，然后分別將簡(jiǎn)單圖形相乘后再疊加。圖34例33 試求圖35a所示結(jié)構(gòu)D點(diǎn)的豎向線

11、位移DV和鉸C左、右兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角cc，并討論當(dāng)軸力桿EF改為剛度系數(shù)為kN的彈性支撐后(圖35e)，DV及cc如何計(jì)算。解 圖35(1)MP圖、EF桿軸力Np，以及求DV及cc的虛設(shè)狀態(tài)和相應(yīng)的Mi、Ni分別如圖35b、c、d所示。 (2)應(yīng)用組合結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化位移計(jì)算公式(37)，并用圖形相乘法，得 (3)討論 對(duì)圖35f所示的體系，只要將上面DV及cc中最后一項(xiàng)軸力桿的柔度系數(shù)改為彈性支撐的柔度系數(shù)(其他各項(xiàng)均相同)，就可得到該體系的DV及cc。四、靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化及桿件長(zhǎng)度制造誤差引起的位移計(jì)算 靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化時(shí)會(huì)產(chǎn)生變形，但不產(chǎn)生內(nèi)力。計(jì)算溫度變化引起的結(jié)構(gòu)位移 時(shí)，通常假定

12、溫度沿桿件截面高度h是直線變化的。設(shè)桿件兩側(cè)表面的溫度改變分別為t1和t2，材料的線膨脹系數(shù)為。，則由圖36可知微段的溫度變形為 其中t0（h1t2h2t1）/ h，為桿件軸線處的溫度改變；t為桿件兩側(cè)表面溫度變化差的絕對(duì)值。圖36應(yīng)用單位荷載法，將dt、dut、dt代入變形體虛力方程 得溫度變化引起的位移計(jì)算公式為 (311) 如果、t0、t、h沿桿長(zhǎng)不變，則上式為 (312) 式中 it為結(jié)構(gòu)的擬求位移處沿i方向由溫度變化引起的位移；Ni、Mi分別為桿件Ni圖、Mi圖的面積。當(dāng)Ni及t0引起的桿件軸向變形方向相同時(shí)，上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)為正，否則為負(fù)；當(dāng)Mi及溫度變化引起的桿件彎曲方向一致時(shí)

13、，上式等號(hào)右邊的第二項(xiàng)為正，否則為負(fù)。 例34 圖37所示剛架施工時(shí)的溫度為300C，冬季外側(cè)溫度為200C，內(nèi)側(cè)溫度為100C，各桿截面相同，均為矩形截面，截面高度為h，材料的線膨脹系數(shù)為。試求剛架在冬季溫度時(shí)B點(diǎn)的水平位移BH。 解 各桿外側(cè)溫度變化為 t12030500C 內(nèi)側(cè)溫度變化為 t21030200C 于是得各桿的t0、t為 t0（t1+t2）2350C t300C 虛設(shè)狀態(tài)的Mi及Ni圖分別如圖37b、c所示。由式(312)，得 BH35l60l2h在計(jì)算中應(yīng)注意各項(xiàng)正、負(fù)號(hào)的確定。（a）（b）（c） 圖37 圖38 例35 圖38a所示桁架的六根下弦桿制造時(shí)比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度均縮短了

14、ue2cm，試求桁架在拼裝后結(jié)點(diǎn)C的豎向位移cv。 解 虛設(shè)狀態(tài)如圖38b所示，求出有制造誤差的各下弦桿的軸力N后，就可按變形體系虛功原理得 因?yàn)楦飨孪覘U的制造誤差均為縮短，而虛設(shè)狀態(tài)中各下弦桿均為受拉，兩者方向相反，故計(jì)算結(jié)果為負(fù)號(hào)，表示C點(diǎn)的豎向位移的實(shí)際方向?yàn)橄蛏?，即C點(diǎn)向上的起拱度為10cm。 五、靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移引起的位移計(jì)算 靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時(shí)，各桿件產(chǎn)生剛體位移，不產(chǎn)生內(nèi)力。這時(shí)采用單位荷載法，由變形體系虛功方程(32)，得虛力方程為于是得靜定結(jié)構(gòu)由支座位移C引起的位移計(jì)算公式為 (313)式中 ic為結(jié)構(gòu)擬求位移處沿i方向由支座位移C引起的位移；C為實(shí)際的支座位移； Ri

15、為與C相應(yīng)的由虛設(shè)狀態(tài)的廣義單位力產(chǎn)生的支座反力。當(dāng)Ri與C的方向一致時(shí)，其乘積為正，否則為負(fù)。 例36 圖39a所示三鉸剛架的支座B向右移動(dòng)BH6cm，向下移動(dòng)BV8cm，試求結(jié)點(diǎn)E的角位移E。（a）（b） 圖39 解 虛設(shè)狀態(tài)及虛設(shè)狀態(tài)中支座B處的反力大小和方向如圖39b所示。于是由式(313)可得 E0.015rad所得結(jié)果為正，表示E的實(shí)際方向與假設(shè)的Mi1的方向相同。 例37 圖310所示桁架的支座B向下移動(dòng)BVC，試求BD桿的角位移BD。解 虛設(shè)狀態(tài)及虛設(shè)狀態(tài)中支座B處的反力大小及方向如圖310b所示。于是由式(313)可得（a）（b） 圖310 六、彈性體系的互等定理 下面四個(gè)互

16、等定理，適用于線性彈性體系，線性彈性體系的特征是應(yīng)力應(yīng)變之間為線性關(guān)系，體系的位移是微小的，可以應(yīng)用疊加原理。 (一)虛功互等定理 T12T21 (314) 即任一線性彈性體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功T12T21等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功T21。 由虛功原理可以導(dǎo)出下面三個(gè)互等定理 (二)位移互等定理 1221 (315) 上式表示同一線性彈性體系由單位荷載P11所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移21 等于由單位荷載P21所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移12。這里的荷載可以是廣義荷載，因而位移可以是相應(yīng)的廣義位移。如圖311a、b中的1221。 位移互等定理在力法及其他結(jié)構(gòu)分析的柔度法中得到應(yīng)用。 (三)反力互等定理 R12R21 (316) 上式表示同一線性彈性體系由單位位移cl1所引起的與位移c2相應(yīng)的反力R21等于由單位位移c21所引起的與