解析幾何中的切線問題

1、1、如圖，過點(diǎn)作拋物線 的切線，切點(diǎn)A在第二象限.()求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);()若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過切點(diǎn)A，設(shè)切線交橢圓的另一點(diǎn)為B，記切線，OA，OB的斜率分別為，求橢圓方程解：()設(shè)切點(diǎn)，且，由切線的斜率為，得的方程為，又點(diǎn)在上，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)5分()由() 得，切線斜率，設(shè)，切線方程為，由，得，7分所以橢圓方程為，且過，9分由，11分將，代入得：，所以，橢圓方程為15分2、設(shè)拋物線的方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為,.（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求過三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關(guān)系； （2）求證：直線恒過定點(diǎn).解：(1)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，代入，

2、整理得，令，解得，代入方程得，故得， 因?yàn)榈降闹悬c(diǎn)的距離為，從而過三點(diǎn)的圓的方程為 易知此圓與直線相切. （2）證法一：設(shè)切點(diǎn)分別為,過拋物線上點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得 由已知得，求導(dǎo)得，切點(diǎn)分別為,，故過點(diǎn)的切線斜率為從而過拋物線上點(diǎn)的切線方程為即又切線過點(diǎn)，所以得 即 10分同理可得過點(diǎn)的切線為，又切線過點(diǎn)，所以得 12分即 即點(diǎn)，均滿足即，故直線的方程為 14分又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過定點(diǎn) . 16分1、如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（）求拋物線的方程；（）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn), 滿足，且與拋物線在點(diǎn)處的切線垂直? 若

3、存在, 求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（）解：設(shè)拋物線C的方程是，由于焦點(diǎn)為，即， 故所求拋物線C的方程為4分（）解：設(shè)，則拋物線C在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程是： ， 直線的方程是 6分將上式代入拋物線C的方程，得，故 ，。又， 12分令，得y14, 此時(shí), 點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 經(jīng)檢驗(yàn), 符合題意.所以, 滿足條件的點(diǎn)存在, 其坐標(biāo)為14分xyOPQAMF1BF2N2、設(shè)橢圓C1：的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，下頂點(diǎn)為A，線段O的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖若拋物線C2：與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2點(diǎn)（）求橢圓C1的方程；（）設(shè)M（0，），N為拋物線C2上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點(diǎn)，求面積的最大值（）解：由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2 令y=0得即，則F1(-1，0)，F(xiàn)2（1，0），故c=1所以于是橢圓C1的方程為：4分 （）設(shè)N（），由于知直線PQ的方程為： 即6分代入橢圓方程整理得：, =, , ,故 10分設(shè)點(diǎn)M到直線PQ