解析江蘇省鹽城市南京市高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷Word含解析

1、2015年江蘇省鹽城市、南京市高考數(shù)學(xué)二模試卷一、填空題1函數(shù)f（x）=sinxcosx的最小正周期是2已知復(fù)數(shù)z=（2i）（1+3i），其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限3如圖是一個(gè)算法流程圖，如果輸入x的值是，則輸出S的值是4某工廠為了了解一批產(chǎn)品的凈重（單位：克）情況，從中隨機(jī)抽測(cè)了100件產(chǎn)品的凈重，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間96，106中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的100件產(chǎn)品中，凈重在區(qū)間100，104上的產(chǎn)品件數(shù)是5袋中有大小、質(zhì)地相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球若摸出紅球，得2分，摸出黑球，得1分，則3次摸球所得總分至少是4分的概

2、率是6如圖，在平面四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)，若（，R），則 +=7已知平面，直線m，n，給出下列命題：若m，n，mn，則，若，m，n，則m|n，若m，n，mn，則，若，m，n，則mn其中是真命題的是（填寫所有真命題的序號(hào)）8如圖，在ABC中，D是BC上的一點(diǎn)已知B=60°，AD=2，AC=，DC=，則AB=9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)A（2，0），若射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則FM：MN=10記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則a13=11已知知函

3、數(shù)f（x）=，xR，則不等式f（x22x）f（3x4）的解集是12在平面直角坐標(biāo)系xOy中已知圓C：x2+（y1）2=5，A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓C的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M若OA=OM，則直線AB的斜率為13已知，均為銳角，且cos（+）=，則tan的最大值是14已知函數(shù)f（x）=，當(dāng)x0，100時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x的所有解的和為二、解答題15在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c已知cosC=（1）若=，求ABC的面積；（2）設(shè)向量=（2sin，），=（cosB，cos），且，求 sin（BA）的值16如圖，在四棱錐PABCD中，AD=CD=AB，ABDC

4、，ADCD，PC平面ABCD（1）求證：BC平面PAC；（2）若M為線段PA的中點(diǎn)，且過(guò)C，D，M三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)N，求PN：PB的值17如圖為某倉(cāng)庫(kù)一側(cè)墻面的示意圖，其下部是矩形ABCD，上部是圓AB，該圓弧所在的圓心為O，為了調(diào)節(jié)倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，現(xiàn)要在墻面上開(kāi)一個(gè)矩形的通風(fēng)窗EFGH（其中E，F(xiàn)在圓弧AB上，G，H在弦AB上）過(guò)O作OPAB，交AB 于M，交EF于N，交圓弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（單位：m），記通風(fēng)窗EFGH的面積為S（單位：m2）（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)POF=（rad），將S表示成的函數(shù)；（ii）設(shè)MN=x（m），將S表示成x的

5、函數(shù)；（2）試問(wèn)通風(fēng)窗的高度MN為多少時(shí)？通風(fēng)窗EFGH的面積S最大？18如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E：+=1（ab0）的離心率為，直線l：y=x與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，AB=2，C，D是橢圓E上異于A，B兩點(diǎn)，且直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)N（1）求a，b的值；（2）求證：直線MN的斜率為定值19已知函數(shù)f（x）=1+lnx，其中k為常數(shù)（1）若k=0，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程（2）若k=5，求證：f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（3）若k為整數(shù)，且當(dāng)x2時(shí)，f（x）0恒成立，求k的最大值20給定一個(gè)數(shù)列an，在這個(gè)數(shù)列里，任取m（m3，mN

6、*）項(xiàng)，并且不改變它們?cè)跀?shù)列an中的先后次序，得到的數(shù)列an的一個(gè)m階子數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=（nN*，a為常數(shù)），等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列an的一個(gè)3子階數(shù)列（1）求a的值；（2）等差數(shù)列b1，b2，bm是an的一個(gè)m（m3，mN*）階子數(shù)列，且b1=（k為常數(shù)，kN*，k2），求證：mk+1（3）等比數(shù)列c1，c2，cm是an的一個(gè)m（m3，mN*）階子數(shù)列，求證：c1+c1+cm2三、選修4-1；幾何證明選講21如圖，過(guò)點(diǎn)A的圓與BC切于點(diǎn)D，且與AB、AC分別交于點(diǎn)E、F已知AD為BAC的平分線，求證：EFBC四、選修4-2：矩陣與變換22已知矩陣A=，A的逆矩陣A1

7、=（1）求a，b的值； （2）求A的特征值五、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線C：（s為參數(shù)），直線l：（t為參數(shù)）設(shè)曲線C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度六、選修4-5：不行等式選講24已知x，y，z都是正數(shù)且xyz=1，求證：（1+x）（1+y）（1+z）825甲乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立（1）分別求甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率；（2）若比賽結(jié)果3：0或3：1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分，對(duì)方得

8、1分，求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望26已知m，nN*，定義fn（m）=（1）記 am=f6（m），求a1+a2+a12的值；（2）記 bm=（1）mmfn（m），求b1+b2+b2n所有可能值的集合2015年江蘇省鹽城市、南京市高考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、填空題1函數(shù)f（x）=sinxcosx的最小正周期是考點(diǎn)： 二倍角的正弦；三角函數(shù)的周期性及其求法專題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析： 根據(jù)二倍角的正弦公式，化簡(jiǎn)可得f（x）=sin2x，再由三角函數(shù)的周期公式即可算出函數(shù)f（x）的最小正周期解答： 解：sin2x=2sinxcosxf（x）=sinxcosx=sin2x，因

9、此，函數(shù)f（x）的最小正周期T=故答案為：點(diǎn)評(píng)： 本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)的周期，著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和三角函數(shù)周期的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題2已知復(fù)數(shù)z=（2i）（1+3i），其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析： 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出解答： 解：復(fù)數(shù)z=（2i）（1+3i）=5+5i，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（5，5）位于第一象限故答案為：一點(diǎn)評(píng)： 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，屬于基礎(chǔ)題3如圖是一個(gè)算法流程圖，如果輸入x的值是，則輸出S的值是2考點(diǎn)： 程序框

10、圖專題： 算法和程序框圖分析： 由已知中的程序算法可知：該程序的功能是利用條件結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，可得答案解答： 解：由已知中的程序算法可知：該程序的功能是利用條件結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出S=的值，當(dāng)x=時(shí)，S=2，故答案為：2點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，其中分析出程序的功能是解答的關(guān)鍵4某工廠為了了解一批產(chǎn)品的凈重（單位：克）情況，從中隨機(jī)抽測(cè)了100件產(chǎn)品的凈重，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間96，106中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的100件產(chǎn)品中，凈重在區(qū)間100，104上的產(chǎn)品件數(shù)是55考點(diǎn)： 頻率分布直方圖專題： 概率與統(tǒng)計(jì)分析： 根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率、頻

11、數(shù)與樣本容量的關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)的頻數(shù)即可解答： 解：根據(jù)頻率分布直方圖，得；凈重在區(qū)間100，104上的產(chǎn)品頻率是（0.150+0.125）×2=0.55，對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品件數(shù)是100×0.55=55故答案為：55點(diǎn)評(píng)： 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率=的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目5袋中有大小、質(zhì)地相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球若摸出紅球，得2分，摸出黑球，得1分，則3次摸球所得總分至少是4分的概率是考點(diǎn)： 古典概型及其概率計(jì)算公式專題： 概率與統(tǒng)計(jì)分析： 一共有8種不同的結(jié)果，“3次摸球所得總分為低于4分”為事件A，事件A包含的基本事件為

12、：（黑、黑、黑），由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出3次摸球所得總分至少是4分的概率解答： 解：一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：（紅、紅、紅、）、（紅、紅、黑）、（紅、黑、紅）、（紅、黑、黑）、（黑、紅、紅）、（黑、紅、黑）、（黑、黑、紅）、（黑、黑、黑）“3次摸球所得總分為低于4分”為事件A事件A包含的基本事件為：（黑、黑、黑），3次摸球所得總分至少是4分的概率：p=1p（A）=1=故答案為：點(diǎn)評(píng)： 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用6如圖，在平面四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)，若（，R），則 +=考點(diǎn)： 平面向量的

13、基本定理及其意義專題： 平面向量及應(yīng)用分析： ，可得由E為線段AO的中點(diǎn)，可得，再利用平面向量基本定理即可得出解答： 解：，E為線段AO的中點(diǎn)，2=，解得=，+=故答案為：點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平面向量基本定理、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題7已知平面，直線m，n，給出下列命題：若m，n，mn，則，若，m，n，則m|n，若m，n，mn，則，若，m，n，則mn其中是真命題的是（填寫所有真命題的序號(hào)）考點(diǎn)： 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系專題： 空間位置關(guān)系與距離分析： 利用線面平行、面面平行、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析解答解答： 解：對(duì)于，若m，n，mn，則與

14、可能平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，m，n，則m與n的位置關(guān)系有：平行、相交或者異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若m，n，mn，利用線面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理可以判斷，故正確；對(duì)于，若，m，n，利用面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理可以得到mn；故正確；故答案為：點(diǎn)評(píng)： 本題考查了線面平行、面面平行、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是熟練掌握定理8如圖，在ABC中，D是BC上的一點(diǎn)已知B=60°，AD=2，AC=，DC=，則AB=考點(diǎn)： 解三角形的實(shí)際應(yīng)用專題： 綜合題；解三角形分析： 利用余弦定理求出ADB=45°，再利用正弦定理，即可求出AB解答： 解：由題意，cosADC=

15、，ADC=135°，ADB=45°，B=60°，AD=2，AB=，故答案為：點(diǎn)評(píng)： 本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)A（2，0），若射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則FM：MN=1：3考點(diǎn)： 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)專題： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析： 求出拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到AF的斜率k=，過(guò)M作MPl于P，根據(jù)拋物線物定義得FM=PMRtMPN中，根據(jù)tanMNP=，從而得到PN=2PM，進(jìn)而算出MN=3PM，由此即可得到

16、FM：MN的值解答： 解：拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），拋物線的準(zhǔn)線方程為l：y=1，直線AF的斜率為k=，過(guò)M作MPl于P，根據(jù)拋物線物定義得FM=PM，RtMPN中，tanMNP=k=，=，可得PN=2PM，得MN=3PM因此可得FM：MN=PM：MN=1：3故答案為：1：3點(diǎn)評(píng)： 本題給出拋物線方程和射線FA，求線段的比值著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題10（5分）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則a13=50考點(diǎn)： 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列分析： 由題意可

17、得，的值，由數(shù)列也為等差數(shù)列可得2=+，解方程可得d值，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得解答： 解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a1=2，=，=，=，數(shù)列也為等差數(shù)列，2=+，解得d=4，a13=2+12×4=50，故答案為：50點(diǎn)評(píng)： 本題考查等差數(shù)列的求和公式，屬基礎(chǔ)題11已知知函數(shù)f（x）=，xR，則不等式f（x22x）f（3x4）的解集是（1，2）考點(diǎn)： 其他不等式的解法專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用分析： 討論x的符號(hào)，去絕對(duì)值，作出函數(shù)的圖象，由圖象可得原不等式即為或，分別解出它們，再求并集即可解答： 解：當(dāng)x0時(shí)，f（x）=1，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=1，作出f（x）的

18、圖象，可得f（x）在（，0）上遞增，不等式f（x22x）f（3x4）即為或，即有或，解得x2或1x，即有1x2則解集為（1，2）故答案為：（1，2）點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，屬于中檔題和易錯(cuò)題12在平面直角坐標(biāo)系xOy中已知圓C：x2+（y1）2=5，A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作圓C的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M若OA=OM，則直線AB的斜率為2考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系專題： 綜合題；直線與圓分析： 因?yàn)閳A的半徑為，所以A（2，0），連接CM，顯然CMAB，求出圓的直徑，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sinOCM，利用OCM與OAM互

19、補(bǔ)，即可得出結(jié)論解答： 解：因?yàn)閳A的半徑為，所以A（2，0），連接CM，顯然CMAB，因此，四點(diǎn)C，M，A，O共圓，且AC就是該圓的直徑，2R=AC=，在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=，根據(jù)題意，OA=OM=2，所以，=，所以sinOCM=，tanOCM=2（OCM為鈍角），而OCM與OAM互補(bǔ)，所以tanOAM=2，即直線AB的斜率為2故答案為：2點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查正弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題13已知，均為銳角，且cos（+）=，則tan的最大值是考點(diǎn)： 兩角和與差的正弦函數(shù)專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的求值分析： 直接對(duì)三角函數(shù)關(guān)系式中的角進(jìn)行

20、恒等變換，再利用弦化切建立一元二次不等式，最后求出結(jié)果解答： 解：知，均為銳角，且cos（+）=，則cos（+）sin=sin=sin（+），化簡(jiǎn)為：cos（+）sin=sin（+）coscos（+）sin，轉(zhuǎn)化為：tan（+）=2tan，即，則：2tantan2tan+tan=0，所以：0，即：18tan20，解得：由于：為銳角，所以：，則tan的最大值為故答案為：點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式中角的恒等變換，弦化切在做題中得應(yīng)用，一元二次不等式有解得情況討論14已知函數(shù)f（x）=，當(dāng)x0，100時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x的所有解的和為10000考點(diǎn)： 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

21、專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析： 根據(jù)函數(shù)的解析式分別求出各段上方程的根的和，找出規(guī)律作和即可解答： 解：x0，1）時(shí)，f（x）=（x1）2+2（x1）+1=x2，令f（x）=x，得：x2x+=0，x1+x2=1；x1，2）時(shí)，f（x）=（x1）2+1，令f（x）=x，得：x3+x4=3，x3，4）時(shí)，f（x）=（x2）2+2，令f（x）=x，得：x5+x6=5，xn，n+1）時(shí)，f（x）=（xn）2+n，令f（x）=x，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，x99，100時(shí)，f（x）=（x99）2+99，令f（x）=x，得：x199+x200=199，1+3+5+199=10000，故答案為：

22、10000點(diǎn)評(píng)： 本題考查了分段函數(shù)問(wèn)題，考查了分類討論以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題二、解答題15在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c已知cosC=（1）若=，求ABC的面積；（2）設(shè)向量=（2sin，），=（cosB，cos），且，求 sin（BA）的值考點(diǎn)： 兩角和與差的正弦函數(shù)；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算專題： 三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用分析： （1）利用=，求出ab的值，然后求解ABC的面積（2）通過(guò)，求出tanB的值，推出B，轉(zhuǎn)化sin（BA）=sin（A）=sin（C），利用兩角和與差的三角函數(shù)求解即可解答： 解：（1）由=，得abcos

23、C=又因?yàn)閏osC=，所以ab= （2分）又C為ABC的內(nèi)角，所以sinC= （4分）所以ABC的面積S=absinC=3 （6分）（2）因?yàn)椋?sincos=cosB，即sinB=cosB （8分）因?yàn)閏osB0，所以tanB=因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以B= （10分）所以A+C=，所以A=C所以sin（BA）=sin（A）=sin（C）=sinCcosC=××= （14分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，向量共線的充要條件的應(yīng)用，考查三角形的解法16如圖，在四棱錐PABCD中，AD=CD=AB，ABDC，ADCD，PC平面ABCD（1）求證：BC平面PAC；（

24、2）若M為線段PA的中點(diǎn)，且過(guò)C，D，M三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)N，求PN：PB的值考點(diǎn)： 直線與平面垂直的判定；余弦定理專題： 綜合題；空間位置關(guān)系與距離分析： （1）連結(jié)AC，證明BCAC，BCPC，利用線面垂直的判定定理，可得BC平面PAC；（2）證明ABMN，利用M為線段PA的中點(diǎn)，可得N為線段PB的中點(diǎn)，即可得出結(jié)論解答： （1）證明：連結(jié)AC不妨設(shè)AD=1因?yàn)锳D=CD=AB，所以CD=1，AB=2因?yàn)锳DC=90°，所以AC=，CAB=45°在ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2所以BCAC （3分）因?yàn)镻C平面ABCD，BC平面ABCD，所

25、以BCPC （5分）因?yàn)镻C平面PAC，AC平面PAC，PCAC=C，所以BC平面PAC （7分）（2）解：如圖，因?yàn)锳BDC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，所以AB平面CDMN （9分）因?yàn)锳B平面PAB，平面PAB平面CDMN=MN，所以ABMN （12分）在PAB中，因?yàn)镸為線段PA的中點(diǎn)，所以N為線段PB的中點(diǎn)，即PN：PB的值為 （14分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查線面平行、垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面平行、垂直的判定定理是關(guān)鍵17如圖為某倉(cāng)庫(kù)一側(cè)墻面的示意圖，其下部是矩形ABCD，上部是圓AB，該圓弧所在的圓心為O，為了調(diào)節(jié)倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，現(xiàn)要在墻面上開(kāi)一個(gè)

26、矩形的通風(fēng)窗EFGH（其中E，F(xiàn)在圓弧AB上，G，H在弦AB上）過(guò)O作OPAB，交AB 于M，交EF于N，交圓弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（單位：m），記通風(fēng)窗EFGH的面積為S（單位：m2）（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)POF=（rad），將S表示成的函數(shù)；（ii）設(shè)MN=x（m），將S表示成x的函數(shù)；（2）試問(wèn)通風(fēng)窗的高度MN為多少時(shí)？通風(fēng)窗EFGH的面積S最大？考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用專題： 計(jì)算題；應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析： （1）由題意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5（i）在RtONF中與矩形EFGH中表示出邊長(zhǎng)，從而由S

27、=EF×FG寫出面積公式S=10sin（20cos7），注意角的取值范圍；（ii）在RtONF中與矩形EFGH中利用勾股定理等表示出邊長(zhǎng)，從而寫出S=EF×FG=x，注意x的取值范圍；（2）方法一：選擇（i）中的函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而示函數(shù)的最大值及最大值點(diǎn)，再代入求NM的長(zhǎng)度即可；方法二：選擇（ii）中的函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而示函數(shù)的最大值及最大值點(diǎn)即可解答： 解：（1）由題意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5（i）在RtONF中，NF=OFsin=10sin，ON=OFcos=10cos在矩形EFGH中，EF=2MF=

28、20sin，F(xiàn)G=ONOM=10cos3.5，故S=EF×FG=20sin（10cos3.5）=10sin（20cos7）即所求函數(shù)關(guān)系是S=10sin（20cos7），00，其中cos0=（ii）因?yàn)镸N=x，OM=3.5，所以O(shè)N=x+3.5在RtONF中，NF=在矩形EFGH中，EF=2NF=，F(xiàn)G=MN=x，故S=EF×FG=x即所求函數(shù)關(guān)系是S=x，（0x6.5） （2）方法一：選擇（i）中的函數(shù)模型：令f（）=sin（20cos7），則f（）=cos（20cos7）+sin（20sin）=40cos27cos20由f（）=40cos27cos20=0，解得cos

29、=，或cos=因?yàn)?0，所以coscos0，所以cos=設(shè)cos=，且為銳角，則當(dāng)（0，）時(shí)，f（）0，f（）是增函數(shù)；當(dāng)（，0）時(shí)，f（）0，f（）是減函數(shù)，所以當(dāng)=，即cos=時(shí)，f（）取到最大值，此時(shí)S有最大值即MN=10cos3.5=4.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大方法二：選擇（ii）中的函數(shù)模型：因?yàn)镾=，令f（x）=x2（35128x4x2），則f（x）=2x（2x9）（4x+39），因?yàn)楫?dāng)0x時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=時(shí)，f（x）取到最大值，此時(shí)S有最大值即MN=x=4.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大點(diǎn)評(píng)： 本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中

30、的應(yīng)用及三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題18如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E：+=1（ab0）的離心率為，直線l：y=x與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，AB=2，C，D是橢圓E上異于A，B兩點(diǎn)，且直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)N（1）求a，b的值；（2）求證：直線MN的斜率為定值考點(diǎn)： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)專題： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題分析： （1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，利用離心率e以及AB的長(zhǎng)，求出a、b的值；（2）方法一：結(jié)合橢圓E的方程，求出A、B的坐標(biāo)，討論：CA，CB，DA，DB斜率都存在時(shí)，利用斜率的關(guān)系，寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求

31、出M、N的坐標(biāo)，計(jì)算kMN的值；CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時(shí)，求出M、N的坐標(biāo)，計(jì)算kMN的值；從而得出正確的結(jié)論方法二：利用橢圓E的方程，求出A、B的坐標(biāo)，討論：CA，CB，DA，DB斜率都存在時(shí)，設(shè)出直線的斜率，由直線與橢圓聯(lián)立，求出M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算kMN的值；CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時(shí)，求出M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算kMN的值，即可得出正確的結(jié)論解答： 解：（1）因?yàn)閑=，所以c2=a2，即a2b2=a2，所以a2=2b2；（2分）故橢圓方程為+=1；由題意，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以O(shè)A=，即b2+b2

32、=5，解得b2=3；故a=，b=； （5分）（2）方法一：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（2，1）；當(dāng)CA，CB，DA，DB斜率都存在時(shí)，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C（x0，y0），顯然k1k2；從而k1kCB=，所以kCB=； （8分）同理kDB=，于是直線AD的方程為y1=k2（x2），直線BC的方程為y+1=（x+2）；由解得；從而點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；用k2代k1，k1代k2得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；（11分）所以kMN=1；即直線MN的斜率為定值1； （14分）當(dāng)CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在，故

33、不妨設(shè)直線CA的斜率不存在，從而C（2，1）；仍然設(shè)DA的斜率為k2，由知kDB=；此時(shí)CA：x=2，DB：y+1=（x+2），它們交點(diǎn)M（2，1）；BC：y=1，AD：y1=k2（x2），它們交點(diǎn)N（2，1），從而kMN=1也成立；由可知，直線MN的斜率為定值1； （16分）方法二：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（2，1）；當(dāng)CA，CB，DA，DB斜率都存在時(shí)，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k1，k2；顯然k1k2；直線AC的方程y1=k1（x2），即y=k1x+（12k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（12k1）x+2（4k124k12）=0；設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x

34、1，y1），則2x1=，從而x1=；所以C（，）；又B（2，1），所以kBC=； （8分）所以直線BC的方程為y+1=（x+2）；又直線AD的方程為y1=k2（x2）；由解得；從而點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；用k2代k1，k1代k2得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；（11分）所以kMN=1；即直線MN的斜率為定值1； （14分）當(dāng)CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設(shè)直線CA的斜率不存在，從而C（2，1）；仍然設(shè)DA的斜率為k2，則由知kDB=；此時(shí)CA：x=2，DB：y+1=（x+2），它們交點(diǎn)M（2，1）；BC：y=1，AD：y1=k2（x2），它們交

35、點(diǎn)N（2，1），從而kMN=1也成立；由可知，直線MN的斜率為定值1 （16分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目19已知函數(shù)f（x）=1+lnx，其中k為常數(shù)（1）若k=0，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程（2）若k=5，求證：f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（3）若k為整數(shù)，且當(dāng)x2時(shí)，f（x）0恒成立，求k的最大值考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析： （1）求出f（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)和切線的斜率

36、和切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）求出k=5時(shí)f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，再由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得（1，10）之間有一個(gè)零點(diǎn)，在（10，e4）之間有一個(gè)零點(diǎn)，即可得證；（3）方法一、運(yùn)用參數(shù)分離，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出右邊函數(shù)的最小值即可；方法二、通過(guò)對(duì)k討論，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最小值，即可得到k的最大值為4解答： 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=1+lnx因?yàn)閒（x）=，從而f（1）=1又f （1）=1，所以曲線y=f（x）在點(diǎn) （1，f（1）處的切線方程y1=x1，即xy=0 （2）證明：當(dāng)k=5時(shí)，f（x）=lnx+4因?yàn)閒（x）=

37、，從而當(dāng)x（0，10），f（x）0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x（10，+）時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增所以當(dāng)x=10時(shí)，f（x）有極小值 因f（10）=ln1030，f（1）=60，所以f（x）在（1，10）之間有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)閒（e4）=4+40，所以f（x）在（10，e4）之間有一個(gè)零點(diǎn)從而f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn) （3）方法一：由題意知，1+lnx0對(duì)x（2，+）恒成立，即k對(duì)x（2，+）恒成立令h（x）=，則h（x）=設(shè)v（x）=x2lnx4，則v（x）=當(dāng)x（2，+）時(shí)，v（x）0，所以v（x）在（2，+）為增函數(shù)因?yàn)関（8）=82ln84=42ln80，v（9）=52ln90，所以存

38、在x0（8，9），v（x0）=0，即x02lnx04=0當(dāng)x（2，x0）時(shí)，h（x）0，h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x（x0，+）時(shí)，h（x）0，h（x）單調(diào)遞增所以當(dāng)x=x0時(shí)，h（x）的最小值h（x0）=因?yàn)閘nx0=，所以h（x0）=（4，4.5）故所求的整數(shù)k的最大值為4 方法二：由題意知，1+lnx0對(duì)x（2，+）恒成立f（x）=1+lnx，f（x）=當(dāng)2k2，即k1時(shí)，f（x）0對(duì)x（2，+）恒成立，所以f（x）在（2，+）上單調(diào)遞增而f（2）=1+ln20成立，所以滿足要求當(dāng)2k2，即k1時(shí)，當(dāng)x（2，2k）時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x（2k，+），f（x）0，f（x）單調(diào)遞增

39、所以當(dāng)x=2k時(shí)，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2kk從而f（x）0在x（2，+）恒成立，等價(jià)于2+ln2kk0令g（k）=2+ln2kk，則g（k）=0，從而g（k） 在（1，+）為減函數(shù)因?yàn)間（4）=ln820，g（5）=ln1030，所以使2+ln2kk0成立的最大正整數(shù)k=4綜合，知所求的整數(shù)k的最大值為4點(diǎn)評(píng)： 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間及極值、最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用分類討論的思想方法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵20給定一個(gè)數(shù)列an，在這個(gè)數(shù)列里，任取m（m3，mN*）項(xiàng)，并且不改變它們

40、在數(shù)列an中的先后次序，得到的數(shù)列an的一個(gè)m階子數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=（nN*，a為常數(shù)），等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列an的一個(gè)3子階數(shù)列（1）求a的值；（2）等差數(shù)列b1，b2，bm是an的一個(gè)m（m3，mN*）階子數(shù)列，且b1=（k為常數(shù)，kN*，k2），求證：mk+1（3）等比數(shù)列c1，c2，cm是an的一個(gè)m（m3，mN*）階子數(shù)列，求證：c1+c1+cm2考點(diǎn)： 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列分析： （1）利用等差數(shù)列的定義及其性質(zhì)即可得出；（2）設(shè)等差數(shù)列b1，b2，bm的公差為d由b1=，可得b2，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其不等式的性質(zhì)即

41、可證明；（3）設(shè)c1= （tN*），等比數(shù)列c1，c2，cm的公比為q由c2，可得q=從而cn=c1qn1（1nm，nN*）再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性即可得出解答： （1）解：a2，a3，a6成等差數(shù)列，a2a3=a3a6又a2=，a3=， a6=，代入得=，解得a=0（2）證明：設(shè)等差數(shù)列b1，b2，bm的公差為db1=，b2，從而d=b2b1= bm=b1+（m1）d又bm0，0即m1k+1mk+2又m，kN*，mk+1 （3）證明：設(shè)c1= （tN*），等比數(shù)列c1，c2，cm的公比為qc2，q=從而cn=c1qn1（1nm，nN*）c1+c2+cm+=，設(shè)函數(shù)f（x）=

42、x，（m3，mN*）當(dāng)x（0，+）時(shí)，函數(shù)f（x）=x為單調(diào)增函數(shù)當(dāng)tN*，12f（）2即 c1+c2+cm2點(diǎn)評(píng)： 本題考查了利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題三、選修4-1；幾何證明選講21如圖，過(guò)點(diǎn)A的圓與BC切于點(diǎn)D，且與AB、AC分別交于點(diǎn)E、F已知AD為BAC的平分線，求證：EFBC考點(diǎn)： 與圓有關(guān)的比例線段專題： 選作題；立體幾何分析： 由切線的性質(zhì)知BDE=BAD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的判定定理求出EFBC解答： 證明：如圖，連接ED因?yàn)閳A與BC切于D，所以BDE=BAD（4分）因?yàn)锳D平分B

43、AC，所以BAD=DAC又DAC=DEF，所以BDE=DEF所以EFBC（10分）點(diǎn)評(píng)： 主要考查的是相似三角形判定和性質(zhì)的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單四、選修4-2：矩陣與變換22已知矩陣A=，A的逆矩陣A1=（1）求a，b的值； （2）求A的特征值考點(diǎn)： 特征向量的定義；逆矩陣的意義專題： 選作題；矩陣和變換分析： （1）利用矩陣A=，A的逆矩陣A1=，建立方程組，求a，b的值； （2）確定A的特征多項(xiàng)式，可求A的特征值解答： 解：（1）因?yàn)锳A1=，所以解得a=1，b= （5分）（2）由（1）得A=則A的特征多項(xiàng)式f（）=（3）（1）令f（）=0，解得A的特征值1=1，2=3（10分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查逆變換與逆矩陣，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是記住公式，代入數(shù)據(jù)時(shí)，不要出錯(cuò)五、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線C：（s為參數(shù)），直線l：（t為參數(shù)）設(shè)曲線C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度考點(diǎn)： 參數(shù)方程化成普通方程專題： 坐標(biāo)系和參數(shù)方程分析：