計(jì)算方法練習(xí)題

1、練 習(xí) 題 一一、是非題1. 1.        12.0326作為x的近似值一定具有6位有效數(shù)字，且其誤差限£。 ( )2. 2.        對(duì)兩個(gè)不同數(shù)的近似數(shù)，誤差越小，有效數(shù)位越多。 ( )3. 3.        一個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)位愈多，其相對(duì)誤差限愈小。 ( )4. 4.        用近

2、似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。 ( )5. 5.        3.14和3.142作為的近似值有效數(shù)字位數(shù)相同。 ( )二、填空題1. 1.        為了使計(jì)算的乘除法次數(shù)盡量少，應(yīng)將該表達(dá)式改寫為 ；2. 2.        0.003457是x舍入得到的近似值，它有 位有效數(shù)字，誤差限為 ，相對(duì)誤差限為 ；3. 3.     &

3、#160;  誤差的來源是 ；4. 4.            截?cái)嗾`差為 ；5. 5.            設(shè)計(jì)算法應(yīng)遵循的原則是 。三、選擇題10.026900作為x的近似值，它的有效數(shù)字位數(shù)為( ) 。(A) 7； (B) 3；(C) 不能確定 (D) 5.2舍入誤差是( )產(chǎn)生的誤差。(A) 只取有限位數(shù) (B) 模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值(C) 觀

4、察與測量 (D) 數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值3用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( )誤差。(A). 模型 (B). 觀測 (C). 截?cái)?(D). 舍入4用s*=gt2表示自由落體運(yùn)動(dòng)距離與時(shí)間的關(guān)系式 (g為重力加速度)，st是在時(shí)間t內(nèi)的實(shí)際距離，則st - s*是（ ）誤差。(A). 舍入 (B). 觀測 (C). 模型 (D). 截?cái)?1.41300作為的近似值，有( )位有效數(shù)字。(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。四、計(jì)算題1 1  3.142，3.141，分別作為的近似值，各有幾位有效數(shù)字？     &

5、#160;  2 2  設(shè)計(jì)算球體積允許的相對(duì)誤差限為1%，問測量球直徑的相對(duì)誤差限最大為多少？        3 3  利用等價(jià)變換使下列表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果比較精確：(1) ， (2) (3) ， (4)            4 4真空中自由落體運(yùn)動(dòng)距離s與時(shí)間t的關(guān)系式是s=gt2，g為重力加速度?，F(xiàn)設(shè)g是精確的，而對(duì)t有秒的測量誤差，證明：當(dāng)t增加時(shí)，距離的絕對(duì)

6、誤差增加，而相對(duì)誤差卻減少。       5*. 采用迭代法計(jì)算，取 k=0,1,若是的具有n位有效數(shù)字的近似值，求證是的具有2n位有效數(shù)字的近似值。  練 習(xí) 題 二一、是非題1. 1.     單點(diǎn)割線法的收斂階比雙點(diǎn)割線法低。 ( )2. 2.     牛頓法是二階收斂的。 ( )3. 3.     求方程在區(qū)間1, 2內(nèi)根的迭代法總是收斂的。 ( )4. 4.  

7、60;  迭代法的斂散性與迭代初值的選取無關(guān)。 ( )5. 5.     求非線性方程 f (x)=0根的方法均是單步法。 ( )二、填空題1. 1.     用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為 ；2. 2.     設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是 ；3. 3.     用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為 ，要求準(zhǔn)確到，則至少應(yīng)二分 次； 4. 4.

8、0;    ，要使迭代格式局部收斂到，則的取值范圍是 ；5. 5.     求方程根的單點(diǎn)割線法是 ，其收斂階為 ；雙點(diǎn)割線法是 ，其收斂階為 。三、計(jì)算題1. 1.     用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05。         2. 2.     求方程在附近的一個(gè)根，將方程改寫為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)迭代公式。(1) ，迭代公式；(2) ，迭代公

9、式；(3) ，迭代公式；試分析每種迭代公式的收斂性，并選取收斂最快的方法求具有4位有效數(shù)字的近似值。         3. 3.            用牛頓切線法求的近似值。取, 計(jì)算三次，保留三位小數(shù)。           4. 4.    &#

10、160;       用割線法求方程的在附近的一個(gè)根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位。           四*、證明題已知方程，試導(dǎo)出求根公式并證明：當(dāng)是方程的單根時(shí)，公式是3階收斂的。   練 習(xí) 題 二一、是非題1. 1.     單點(diǎn)割線法的收斂階比雙點(diǎn)割線法低。 ( )2. 2.     牛頓法是二階收斂的。 ( )3. 3.&

11、#160;    求方程在區(qū)間1, 2內(nèi)根的迭代法總是收斂的。 ( )4. 4.     迭代法的斂散性與迭代初值的選取無關(guān)。 ( )5. 5.     求非線性方程 f (x)=0根的方法均是單步法。 ( )二、填空題2. 1.     用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為 ；6. 2.     設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是 ；7. 3.  

12、;   用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為 ，要求準(zhǔn)確到，則至少應(yīng)二分 次； 8. 4.     ，要使迭代格式局部收斂到，則的取值范圍是 ；9. 5.     求方程根的單點(diǎn)割線法是 ，其收斂階為 ；雙點(diǎn)割線法是 ，其收斂階為 。三、計(jì)算題5. 1.     用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05。         6. 2. &

13、#160;   求方程在附近的一個(gè)根，將方程改寫為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)迭代公式。(1) ，迭代公式；(2) ，迭代公式；(3) ，迭代公式；試分析每種迭代公式的收斂性，并選取收斂最快的方法求具有4位有效數(shù)字的近似值。         7. 3.            用牛頓切線法求的近似值。取, 計(jì)算三次，保留三位小數(shù)。    

14、60;      8. 4.            用割線法求方程的在附近的一個(gè)根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位。           四*、證明題已知方程，試導(dǎo)出求根公式并證明：當(dāng)是方程的單根時(shí)，公式是3階收斂的。   練 習(xí) 題 四 一、是非題1矩陣具有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢。 ( )2是弱對(duì)角優(yōu)勢矩陣。 ( )

15、3高斯塞德爾迭代法一定比雅可比迭代法收斂快。 ( )4是迭代格式收斂的必要條件。 ( )5*. 逐次超松弛迭代法是高斯賽德爾迭代法的一種加速方法。 ( ) 二、填空題1. 1.     解方程組 的雅可比迭代格式（分量形式）為 ， 該迭代矩陣的譜半徑 ；2. 2.     解方程組的高斯賽德爾迭代格式（分量形式）為 ，迭代矩陣 ， 該迭代矩陣的譜半徑 ；3. 3.     冪法的迭代公式為 ； 4*QR算法是用來求 矩陣的全部特征值的一種方法。5*雅可比方法是用來求 矩陣的全

16、部特征值及特征向量的一種變換方法。 三、選擇題1. 解方程組的迭代格式收斂的充要條件是( )（A）； （B）；（C）； （D）。2冪法的收斂速度與特征值的分布（ ） （A）有關(guān)； （B）無關(guān)； （C）不一定。3冪法是用來求矩陣（ ）特征值及特征向量的迭代法。（A）按模最大； （B）按模最小；（C）任意一個(gè)； （D）所有的。4解代數(shù)線性方程組的松弛法收斂的必要條件是 （ ）（A）； （B）；（C）； （D）。5反冪法是用來求矩陣（ ）特征值及特征向量的迭代法。（A）按模最大； （B）按模最小；（C）任意一個(gè)； （D）所有的。 四、計(jì)算題1. 1用簡單迭代法（雅可比迭代法）解線性方程組 取，列表計(jì)

17、算三次，保留三位小數(shù)。       2用高斯賽德爾迭代法解線性方程組取，列表計(jì)算三次，保留三位小數(shù)。        3用冪法求矩陣按模最大特征值及相應(yīng)特征向量，列表計(jì)算三次，取，保留兩位小數(shù)。         4*取，用松弛法解線性方程組 取，列表計(jì)算三次，保留三位小數(shù)。       5*

18、用雅可比方法求實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值及相應(yīng)特征向量（按四位小數(shù)計(jì)算，）。         6*用QR算法求矩陣的全部特征值。     練 習(xí) 題 五 一、是非題6. 1.        在求插值多項(xiàng)式時(shí)，插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，誤差越小。 ( )7. 2.        表示節(jié)點(diǎn)處的二次插值基函數(shù)。 ( )8. 3.

19、0;        牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是：在計(jì)算時(shí)，高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。 ( )9. 4.         在拉格朗日插值中，插值節(jié)點(diǎn)必須按順序排列。 ( )10. 5.         利用等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值公式計(jì)算附近的，用后插公式。 ( ) 二、填空題6. 1.     已知，則三次插值基函數(shù)=_。

20、7. 2.     n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)的和。8. 3.     已知，取節(jié)點(diǎn)），用線性插值求的近似值，其計(jì)算公式。9. 4.     _插值不僅要求插值函數(shù)和被插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)取已知函數(shù)值而且取已知導(dǎo)數(shù)值。10. 5.     已知?jiǎng)t_，_，牛頓二次插值多項(xiàng)式_。三、選擇題1函數(shù)表示線性插值( )點(diǎn)的基函數(shù). (A) ； (B) ； (C) (D) 。2過點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為( ).(A) 0.5 (B) 0.5 (

21、C) 2 (D) -23給定互異的節(jié)點(diǎn)是以它們?yōu)椴逯倒?jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，則是一個(gè)( ). (A). n+1次多項(xiàng)式 (B). n次多項(xiàng)式 (C). 次數(shù)小于n的多項(xiàng)式 (D). 次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式4 )(A) 0 (B) -3 (C) 50 (D) -75對(duì)于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式( ). (A) 任意n次多項(xiàng)式 (B) 任意不超過n次的多項(xiàng)式 (C) 本身 (D) 無法確定四、計(jì)算題1. 1.        已知求的牛頓插值多項(xiàng)式，及的近似值，取三位小數(shù)。      

22、;     2. 2.     證明：若f (x)二階連續(xù)可微，則對(duì)于f (x)的以為節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式，插值誤差          3. 3.        設(shè)，利用拉格朗日插值余項(xiàng)求以-1，0，1，2為插值節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式。         

23、; 4已知函數(shù)的數(shù)據(jù)，用基函數(shù)法求f (x)的二次插值多項(xiàng)式使.                 5要給出在區(qū)間-2,2上的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，用分段三次Hermite插值求，要使誤差不超過，問函數(shù)表的步長h應(yīng)為多少？         6. 已知的f(x)函數(shù)表-1 1 4 -2 4 5(1) (1)  

24、0;  求f (x)的二次插值多項(xiàng)式；(2) (2)     用反插值求x，使f (x)=0。練 習(xí) 題 六一、判斷題1 1  在等距節(jié)點(diǎn)的情況下，才能計(jì)算函數(shù)的差分。 ( )2 2  向前差分與向后差分不存在等量關(guān)系。 ( )3 3  已知觀察值(,n)，用最小二乘法求得的擬合多項(xiàng)式其次數(shù)為n次。 ( )4 4  利用最小二乘原理對(duì)一組數(shù)據(jù)找出合適的數(shù)學(xué)公式來擬合，首先應(yīng)確定公式的類型。 ( )5 5  數(shù)據(jù)擬合的步驟首先是建立正規(guī)方程組。 ( )二、填空題1 1  已知某函數(shù)的二階

25、向前差分為0.15,則其二階向后差分為_。2 2  利用牛頓前插公式計(jì)算某點(diǎn)的近似值，應(yīng)首先確定公式中的t，其計(jì)算公式為t =_。3 3  已知函數(shù)，則其三次樣條插值函數(shù)_。4 4  已知(,30)，其線性擬合的正規(guī)方程組為_。5 5  用形如的非線性擬合數(shù)據(jù)做變換_后為線性擬合=。三選擇題1. ( )是利用函數(shù)的值求自變量的值。 (A) 三次樣條插值 (B) 反插值 (C) 分段插值 (D) 愛爾米特插值 2記,最小二乘法原理要求下列哪個(gè)為最小 ( ) (A) (B) (C) (D)3當(dāng)線性方程組滿足 ( )時(shí)稱為超定方程組。(A) (A) 

26、    未知數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù) (B) (B)     未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)(C) (C)     未知數(shù)的個(gè)數(shù)小于方程的個(gè)數(shù)(D) (D)     未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)大小任意4是超定方程組的最小二乘解的充分必要條件是( ). (A) (B)(C) (D) 三者都不對(duì)5勒讓德多項(xiàng)式是 ( ) (A) 小于n次的多項(xiàng)式 (B) 等于n次的多項(xiàng)式 (C) 大于n次的多項(xiàng)式 (D) 小于等于n次的多項(xiàng)式 四、計(jì)算題1 1 &#

27、160;  已知函數(shù)0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 1.01 1.34 1.68 2.08 2.64(1) (1)          列出相應(yīng)的差分表；(2) (2)           分別寫出四次牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式；(3) (3)           用三次插值多項(xiàng)式求的

28、近似值。            2 2  已知，按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合上述數(shù)據(jù)。           3 3  求超定方程組 的最小二乘解。          4 4已知觀察值 利用的近似值。    &

29、#160;       5 5用形如的函數(shù)擬合下列數(shù)據(jù)3 5 10 203.5 3.8 4.2 4.5  練 習(xí) 題 七一、填空題1. 1.     已知，則三點(diǎn)式高斯求積公式為( )，用拋物線求積公式求得（ ）。2. 2.        已知，則用三點(diǎn)式可求得（ ），（ ），（ ），且（ ）。3. 3.        復(fù)合梯形

30、求積公式為（ ），當(dāng)時(shí),其余項(xiàng)( )。4. 4.        數(shù)值積分代數(shù)精確度的定義是（ ）。5. 5.        求積公式的代數(shù)精度以（ ）求積公式為最高，具有（ ）次代數(shù)精度，其節(jié)點(diǎn)稱為（ ）點(diǎn)。二、選擇題1. 1.     求積公式研究的誤差為（ ） 。A.觀測誤差 B.模型誤差 C.舍入誤差 D.截?cái)嗾`差2. 2.        已

31、知在a,b上，且，步長，則復(fù)合梯形求積公式的誤差限為（ ）。A. B. C. D. 3. 3.         梯形公式、拋物線公式及n階求積公式的代數(shù)精度分別至少為（ ）。 A. 1,2,n B. 2,3,n C. 1,3,n D. 1,4,n+14. 4.        數(shù)值微分的二點(diǎn)公式中，其誤差限為（ ），其中 。A B. C. D. 5. 5.     已知，在0，2內(nèi)，有兩位整數(shù)，用復(fù)合拋物線求

32、積公式計(jì)算要保證有5位有效數(shù)字，步長最多應(yīng)為（ ）。 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4三、判斷題1、 1、  高斯求積公式的代數(shù)精度為2n+1。 ( )2、 2、  梯形求積公式和拋物線求積公式都是高精度方法。 ( )3、 3、  在使用插值型求積公式時(shí)，勿須進(jìn)行誤差分析。 ( )4、 4、  n越大，求積公式的代數(shù)精確度就越高，相應(yīng)地求積公式的穩(wěn)定性也越好。 ( )5、 5、  具有n+1各節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n+1次代數(shù)精度。 ( )四、計(jì)算題1、 1、  分別用梯形公式和拋物線公式計(jì)算積分，0，1八

33、等分，并估計(jì)誤差。                      2、 2、         n=4，用復(fù)合梯形公式求的近似值，取四位小數(shù)，并估計(jì)誤差。            

34、0;      3、 3、  用復(fù)合拋物線公式計(jì)算，要使截?cái)嗾`差不超過，應(yīng)至少將區(qū)間0，1.5多少等份？            4、 4、  設(shè)有求積公式，求使代數(shù)精度盡量高。               5、 5、  利用二次插值推導(dǎo)出數(shù)

35、值微分的三點(diǎn)公式，并由此計(jì)算在和處的導(dǎo)數(shù)值。   練 習(xí) 題 八一、填空題1. 1.     用Euler方法解常微分方程初值問題 ，步長，計(jì)算格式為=（ ），=（ ）。2. 2.     求解常微分方程初值問題 改進(jìn)的歐拉公式為（ ）3. 3.     常微分方程初值問題的數(shù)值解法一般分為（ ）法和（ ）法。4. 4.     求解常微分方程初值問題的Adams公式是（ ）步法。5. 5. &#

36、160;   求解常微分方程初值問題的四階R-K方法的局部截?cái)嗾`差為（ ）。二、選擇題1、已知一個(gè)求解常微分方程的差分公式的局部截?cái)嗾`差為，則該方法的階是（ ）。A1 B2 C0 D32、求解一階常微分方程初值問題的梯形公式為（ ）步法。A多 B2 C3 D13、梯形公式是求解常微分方程的（ ）階方法。A2 B4 C3 D54、四階R-K方法每步要計(jì)算（ ）次的值。A4 B5 C2 D35、改進(jìn)的Euler公式的局部截?cái)嗾`差為（ ）。A. B. C. D.三、判斷題1、R-K法是一類低精度的方法。 ( )2、求解微分方程初值問題的二階R-K方法是多步法。 ( )3、梯形方法

37、是一種隱式的多步法。 ( )4、求解微分方程初值問題的向后Euler法是隱式方法。 ( )5、求解常微分方程初值問題的預(yù)估校正公式的局部截?cái)嗾`差為。 ( )四、計(jì)算題1、 1、  用Euler法求解 （），保留兩位小數(shù)。             2、 2、  用Euler法求在處的近似值，保留5位小數(shù)。               3、 3、  用改進(jìn)的Euler法（梯形公式）解初值問題 （）取步長，至少保留5位小數(shù)。