行列式的計算方法及應(yīng)用

1、行列式計算方法解析1.化三角形法此種方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表示為一個非零數(shù)與一個三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對角線一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對角線的三角形行列式等于主對角線上元素之積，涉及次對角線的N階三角形行列式等于次對角線上元素之積且?guī)Х?。?計算N階行列式解 2.利用遞推關(guān)系法所謂利用遞推關(guān)系法，就是先建立同類型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關(guān)系遞推關(guān)系式，再利用遞推關(guān)系求出原行列式的值。例2 計算n階行列式 ，其中解 將的第一列視為（a-c）+c,0+c,0+c,據(jù)行列式的性質(zhì)，得 (1)由b與c的對稱性，不難

2、得到 (2)聯(lián)立（1），(2）解之，得 例3 計算n階行列式 解 將按第一行展開，得于是得到一個遞推關(guān)系式 ，變形得 ，易知 所以 ，據(jù)此關(guān)系式再遞推，有 如果我們將 的第一列元素看作a+b,1+0,0+0,按第一列拆成兩個行列式的和，那么可直接得到遞推關(guān)系式 ，同樣可 的值。3.提取公因式法若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，稱為“型”；（2）有兩行（列）的對應(yīng)元素之和或差相等，稱為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱為“全和型”。滿足條件（1）的行列式可直接提取公因式a變?yōu)椤?，1，1型”，于是應(yīng)用按行（列）展開定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3

3、）的行列式都可以根據(jù)行列式的性質(zhì)變?yōu)闈M足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。例4計算N階行列式 解 該行列式各行元素之和都等于 x+，屬于“全和型”，所以4.利用拉普拉斯（Laplace）定理法 首先，讓我們先來看看拉普拉斯定理的內(nèi)容：設(shè)在行列式D中任意取定了k(1<=k<=n-1) 行，由這k 行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D。 拉普拉斯定理，在計算行列式時，主要應(yīng)用k=1的情形，而很少用一般形式，不過當行列式里零元素很多時，運用一般情形的拉普拉斯定理，往往會給行列式的計算帶來方便。例5 計算2n階行列式解 5.利用范德蒙（Vandermo

4、nde）行列式法著名的范德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要地位，研究它的應(yīng)用引起了一些數(shù)學家的興趣，因此在計算行列式時，可直接用其結(jié)果。例6 計算n階行列式 分析：由題目觀察知，行列式除第一行外每一行具有相同的形式，第一行可視為，再由行列式的性質(zhì)，將其化為兩個行列式的和，再來計算。解 原不等式可化為：把第一個行列式從第一行起依次將i行加到i+1行；第二個行列式的第i列提?。╥=1，2，3n），得6.利用乘法定理法在計算行列式時，有時可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個容易計算的或已知的行列式的乘積，從而求出給定行列式的值；有時不直接計算給定的行列式，而是選一個適當?shù)呐c給定行列式同階的行列式，計

5、算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問題簡單。例7計算n階行列式 解 所以，當n>2時，；當n=2時，；當n=1時， 7.裂項法 此法多用于將行列式某一行或某一列拆分后，行列式具有某種特殊算法 例8 計算=解：=+ =+=+ （1）同理 = （2）若，由（1），（2）組成的方程組解得 若，利用（1）遞推得到： 8.升階法在計算行列式時，我們往往先利用行列式的性質(zhì)變換給定的行列式，再用展開定理使之降階，從而使問題得到簡化。有時與此相反，即在原行列式的基礎(chǔ)上添行加列使其升階構(gòu)造一個容易計算的新行列式，進而求出原行列式的值。這種計算行列式的方法稱為升階法。凡可利用升階法計算的行

6、列式具有的特點是：除主對角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對應(yīng)元素成比例。升階時，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個位置？這要根據(jù)原行列式的特點作出選擇。例9計算n階行列式 ，其中分析：觀察行列式可知，除主對角線外，行列式的其它元素形式都相同，于是想到用升階法，對原行列式添加一行一列，運用行列式的性質(zhì)再來求解。解 將最后一個行列式的第j列的倍加到第一列（j=2,3,n+1），就可以變?yōu)樯先切涡辛惺?，其主對角線上的元素為 故 例10 計算n階行列式解 原行列式看似范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙行列式的結(jié)果，可以令 按第n+1列展開，則得到一個關(guān)于y的多項式， 的系數(shù)為，

7、另外 顯然，中的系數(shù)為，所以9.公式法根據(jù)分塊矩陣的知識，不難證明如下結(jié)論：（1） 設(shè)A為n階可逆矩陣,為n維列向量，則有 （2） 設(shè)A為n階可逆矩陣,為n維列向量，則有 （3） 設(shè)A，B，C，D都是n階方陣，且A可逆，則有 有些行列式可應(yīng)用上述結(jié)論計算，用上述結(jié)論計算行列式的方法，我們稱為公式法例11 計算n階行列式 解 令 A=則由結(jié)論（2），得3.10規(guī)律缺損補足法 此法多用于除去某些行列或?qū)蔷€的元素后行列式的各元素具有規(guī)律性，此時就須補足規(guī)律，而后再減去某些元素。例12 計算 解：（1）若 時D= (*)這里, , 所以(*)式= （）（2）若存在 ，則 這時（）同樣適用，因而（）為計算公式.11.特征根法 此法用于行列式所對應(yīng)矩陣的特征根已知或易求的情況下，利用，其中為的特征根.例13 已知的特征根之模長均小于1，求證.證明:首先沒有零特征根，否則存在可逆陣，使得 所以，= 所以，1為的特征根矛盾.設(shè)，所以，所以，<即1>-1即<2,所以，<即0<<.12.數(shù)學歸納法例14用數(shù)學歸納法證明：解：當時有： 命題成立。假設(shè)時，命題成立，要證時，等式成立。 按最后一行展開得： 將