考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)1

1、高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限：三角函數(shù)公式：·誘導(dǎo)公式： 函數(shù)角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90°-cossinctgtg90°+cos-sin-ctg-tg180°-sin-cos-tg-ctg180°+-sin-costgctg270°-cos-sinctgtg270°+-cossin-ctg-tg360°-sincos-tg-ctg360°+sincostgctg·和差角公式： ·和差化積公式：

2、83;倍角公式：·半角公式：·正弦定理：·余弦定理：·反三角函數(shù)性質(zhì)：高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：曲率：定積分的近似計(jì)算：定積分應(yīng)用相關(guān)公式：空間解析幾何和向量代數(shù)：多元函數(shù)微分法及應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：重積分及其應(yīng)用：柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：曲線積分：曲面積分：高斯公式：斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)審斂法：絕對(duì)收斂與條件收斂：冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：歐拉公式：三角級(jí)數(shù)：傅立葉級(jí)數(shù)：周期為的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：微分方程的相關(guān)概念

3、：一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)相等實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程概率公式整理1隨機(jī)事件及其概率吸收律：反演律：2概率的定義及其計(jì)算若對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有3條件概率乘法公式全概率公式Bayes公式4隨機(jī)變量及其分布分布函數(shù)計(jì)算5離散型隨機(jī)變量(1) 0 1 分布(2) 二項(xiàng)分布若P ( A ) = p *Possion定理有 (3) Poisson 分布6連續(xù)型隨機(jī)變量(1) 均勻分布(2) 指數(shù)分布(3) 正態(tài)分布N (m , s2 )*N (0,1)

4、 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布7.多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量( X ,Y )的分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)8.連續(xù)型二維隨機(jī)變量(1)區(qū)域G 上的均勻分布，U ( G )(2)二維正態(tài)分布9.二維隨機(jī)變量的條件分布10.隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望X 的k階原點(diǎn)矩X 的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩X 的k階中心矩X 的方差X ,Y 的k + l階混合原點(diǎn)矩X ,Y 的k + l階混合中心矩X ,Y 的二階混合原點(diǎn)矩X ,Y 的二階混合中心矩X ,Y 的協(xié)方差X ,Y 的相關(guān)系數(shù)X 的方差D (X ) = E (X - E(X)2) 協(xié)方差相關(guān)系數(shù)線性代數(shù)部分 梳理：條理化，給出一個(gè)系統(tǒng)的，有

5、內(nèi)在有機(jī)結(jié)構(gòu)的理論體系。 溝通：突出各部分內(nèi)容間的聯(lián)系。 充實(shí)提高：圍繞考試要求，介紹一些一般教材上沒(méi)有的結(jié)果，教給大家常見(jiàn)問(wèn)題的實(shí)用而簡(jiǎn)捷的方法。 大家要有這樣的思想準(zhǔn)備：發(fā)現(xiàn)我的講解在體系上和你以前學(xué)習(xí)的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你對(duì)它們了解了，掌握了，會(huì)提高你的解題能力的。基本運(yùn)算或。轉(zhuǎn)置值不變逆值變，3階矩陣有關(guān)乘法的基本運(yùn)算 線性性質(zhì) ， 結(jié)合律 不一定成立！，與數(shù)的乘法的不同之處不一定成立！無(wú)交換律因式分解障礙是交換性 一個(gè)矩陣的每個(gè)多項(xiàng)式可以因式分解，例如無(wú)消去律（矩陣和矩陣相乘） 當(dāng)時(shí)或 由和由時(shí)（無(wú)左消去律）特別的設(shè)可逆，則有消去律。 左消去律：。 右消

6、去律：。如果列滿秩，則有左消去律，即可逆矩陣的性質(zhì)i）當(dāng)可逆時(shí)，也可逆，且。也可逆，且。 數(shù)，也可逆，。ii），是兩個(gè)階可逆矩陣也可逆，且。 推論：設(shè)，是兩個(gè)階矩陣，則 命題：初等矩陣都可逆，且 命題：準(zhǔn)對(duì)角矩陣可逆每個(gè)都可逆，記伴隨矩陣的基本性質(zhì)： 當(dāng)可逆時(shí)， 得， （求逆矩陣的伴隨矩陣法） 且得： 伴隨矩陣的其他性質(zhì),，。 時(shí)， 關(guān)于矩陣右上肩記號(hào)：，*i) 任何兩個(gè)的次序可交換， 如，等ii)，但不一定成立！線性表示有解有解有解，即可用A的列向量組表示， 則。，則存在矩陣，使得 線性表示關(guān)系有傳遞性 當(dāng)， 則。 等價(jià)關(guān)系：如果與互相可表示 記作。線性相關(guān)，單個(gè)向量，相關(guān)，相關(guān)對(duì)應(yīng)分量成比

7、例 相關(guān)向量個(gè)數(shù)=維數(shù)，則線性相（無(wú)）關(guān)，有非零解如果，則一定相關(guān)的方程個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)如果無(wú)關(guān)，則它的每一個(gè)部分組都無(wú)關(guān)如果無(wú)關(guān)，而相關(guān)，則 證明：設(shè)不全為0，使得 則其中，否則不全為0，與條件無(wú)關(guān)矛盾。于是。當(dāng)時(shí)，表示方式唯一無(wú)關(guān) （表示方式不唯一相關(guān)）若，并且，則一定線性相關(guān)。 證明：記，則存在矩陣，使得 。有個(gè)方程，個(gè)未知數(shù)，有非零解，。 則，即也是的非零解，從而線性相關(guān)。各性質(zhì)的逆否形式如果無(wú)關(guān)，則。如果有相關(guān)的部分組，則它自己一定也相關(guān)。如果無(wú)關(guān)，而，則無(wú)關(guān)。如果，無(wú)關(guān)，則。推論：若兩個(gè)無(wú)關(guān)向量組與等價(jià)，則。極大無(wú)關(guān)組一個(gè)線性無(wú)關(guān)部分組，若等于秩，就一定是極大無(wú)關(guān)組無(wú)關(guān) 另一種說(shuō)法：

8、 取的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組也是的極大無(wú)關(guān)組相關(guān)。 證明：相關(guān)?？捎梦ㄒ槐硎揪仃嚨闹鹊暮?jiǎn)單性質(zhì)行滿秩：列滿秩：階矩陣滿秩：滿秩的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)可逆只有零解，唯一解。矩陣在運(yùn)算中秩的變化初等變換保持矩陣的秩時(shí)，可逆時(shí)， 弱化條件：如果列滿秩，則 證：下面證與同解。是的解是的解可逆時(shí)，若，則（的列數(shù)，的行數(shù)）列滿秩時(shí)行滿秩時(shí)解的性質(zhì)1的解的性質(zhì)。 如果是一組解，則它們的任意線性組合一定也是解。 2如果是的一組解，則也是的解是的解特別的：當(dāng)是的兩個(gè)解時(shí)，是的解如果是的解，則維向量也是的解是的解。解的情況判別 方程：，即有解無(wú)解唯一解無(wú)窮多解 方程個(gè)數(shù)：當(dāng)時(shí)，有解當(dāng)時(shí)，不會(huì)是唯一解 對(duì)于齊次線性方程組

9、， 只有零解（即列滿秩） （有非零解）特征值特征向量是的特征值是的特征多項(xiàng)式的根。 兩種特殊情形： （1）是上（下）三角矩陣，對(duì)角矩陣時(shí)，特征值即對(duì)角線上的元素。 （2）時(shí)：的特征值為特征值的性質(zhì) 命題：階矩陣的特征值的重?cái)?shù) 命題：設(shè)的特征值為，則 命題：設(shè)是的特征向量，特征值為，即，則對(duì)于的每個(gè)多項(xiàng)式，當(dāng)可逆時(shí)， 命題：設(shè)的特征值為，則的特征值為可逆時(shí)，的特征值為的特征值為的特征值也是特征值的應(yīng)用求行列式判別可逆性是的特征值不可逆可逆不是的特征值。當(dāng)時(shí)，如果，則可逆 若是的特征值，則是的特征值。不是的特征值可逆。n階矩陣的相似關(guān)系 當(dāng)時(shí)，而時(shí)，。 相似關(guān)系有i）對(duì)稱性：，則 ii）有傳遞性：

10、，則，則 命題 當(dāng)時(shí)，和有許多相同的性質(zhì)，的特征多項(xiàng)式相同，從而特征值完全一致。與的特征向量的關(guān)系：是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量。正定二次型與正定矩陣性質(zhì)與判別可逆線性變換替換保持正定性變?yōu)?，則它們同時(shí)正定或同時(shí)不正定，則，同時(shí)正定，同時(shí)不正定。 例如。如果正定，則對(duì)每個(gè) （可逆，！）我們給出關(guān)于正定的以下性質(zhì)正定存在實(shí)可逆矩陣，。的正慣性指數(shù)。的特征值全大于。的每個(gè)順序主子式全大于。 判斷正定的三種方法：順序主子式法。特征值法。定義法?；靖拍顚?duì)稱矩陣。反對(duì)稱矩陣。簡(jiǎn)單階梯形矩陣：臺(tái)角位置的元素都為1 ，臺(tái)角正上方的元素都為0。如果是一個(gè)階矩陣，是階梯形矩陣是上三角矩陣，反之不一定

11、矩陣消元法：（解的情況）寫(xiě)出增廣矩陣，用初等行變換化為階梯形矩陣。用判別解的情況。i）如果最下面的非零行為，則無(wú)解，否則有解。ii）如果有解，記是的非零行數(shù)，則時(shí)唯一解。時(shí)無(wú)窮多解。iii）唯一解求解的方法（初等變換法） 去掉的零行，得，它是矩陣，是階梯形矩陣，從而是上三角矩陣。 則都不為。就是解。一個(gè)階行列式的值：是項(xiàng)的代數(shù)和每一項(xiàng)是個(gè)元素的乘積，它們共有項(xiàng) 其中是的一個(gè)全排列。 前面乘的應(yīng)為的逆序數(shù)代數(shù)余子式為的余子式。定理：一個(gè)行列式的值等于它的某一行（列），各元素與各自代數(shù)余子式乘積之和。一行（列）的元素乘上另一行（列）的相應(yīng)元素代數(shù)余子式之和為。 范德蒙行列式個(gè)乘法相關(guān)的位元素是的第

12、行和的第列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。 乘積矩陣的列向量與行向量 （1）設(shè)矩陣，維列向量，則 矩陣乘法應(yīng)用于方程組 方程組的矩陣形式， 方程組的向量形式 （2）設(shè)，的第個(gè)列向量是的列向量組的線性組合，組合系數(shù)是的第個(gè)列向量的各分量。的第個(gè)行向量是的行向量組的線性組合，組合系數(shù)是的第個(gè)行向量的各分量。 矩陣分解當(dāng)矩陣的每個(gè)列向量都是的列向量的線性組合時(shí)，可把分解為與一個(gè)矩陣的乘積特別的在有關(guān)對(duì)角矩陣的乘法中的若干問(wèn)題對(duì)角矩陣從右側(cè)乘一矩陣，即用對(duì)角線上的元素依次乘的各列向量對(duì)角矩陣從左側(cè)乘一矩陣，即用對(duì)角線上的元素依次乘的各行向量 于是，兩個(gè)對(duì)角矩陣相乘只須把對(duì)角線上對(duì)應(yīng)元素相乘對(duì)角矩陣的次方冪只須把每個(gè)

13、對(duì)角線上元素作次方冪對(duì)一個(gè)階矩陣，規(guī)定為的對(duì)角線上元素之和稱為的跡數(shù)。 于是 其他形式方陣的高次冪也有規(guī)律 例如：初等矩陣及其在乘法中的作用 （1）：交換的第兩行或交換的第兩列 （2）：用數(shù)乘的第行或第列 （3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。初等矩陣從左（右）側(cè)乘一個(gè)矩陣等同于對(duì)作一次相當(dāng)?shù)某醯刃校校┳儞Q乘法的分塊法則 一般法則：在計(jì)算兩個(gè)矩陣和的乘積時(shí)，可以先把和用縱橫線分割成若干小矩陣來(lái)進(jìn)行，要求的縱向分割與的橫向分割一致。 兩種常用的情況 （1）都分成4塊， 其中的列數(shù)和的行數(shù)相等，的列數(shù)和的行數(shù)相關(guān)。 （2）準(zhǔn)對(duì)角矩陣矩陣方程與可逆矩陣 兩類基本的矩陣方程 （都

14、需求是方陣，且） （I）的解法： （II）的解法，先化為。 通過(guò)逆求解：，可逆矩陣及其逆矩陣 定義：設(shè)是階矩陣，如果存在階矩陣，使得，且，則稱是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，證作。 定理：階矩陣可逆求的方程（初等變換法） 伴隨矩陣 線性表示可以用線性表示，即可以表示為的線性組合，也就是存在使得 記號(hào)：線性相關(guān)性 線性相關(guān)：存在向量可用其它向量線性表示。 線性無(wú)關(guān)：每個(gè)向量都不能用其它向量線性表示定義：如果存在不全為的，使得則稱線性相關(guān)，否則稱線性無(wú)關(guān)。 即：線性相（無(wú)）關(guān)有（無(wú)）非零解有（無(wú)）非零解 極大無(wú)關(guān)組和秩定義：的一個(gè)部分組稱為它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，如果滿足：i）線性無(wú)關(guān)。ii）再擴(kuò)大就相關(guān)。

15、定義：規(guī)定的秩。如果每個(gè)元素都是零向量，則規(guī)定其秩為。有相同線性關(guān)系的向量組 定義：兩個(gè)向量若有相同個(gè)數(shù)的向量：，并且向量方程與同解，則稱它們有相同的線性關(guān)系。對(duì)應(yīng)的部分組有一致的相關(guān)性。的對(duì)應(yīng)部分組， 若相關(guān)，有不全為的使得， 即是的解， 從而也是的解，則有，也相關(guān)。極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)，從而秩相等。有一致的內(nèi)在線表示關(guān)系。設(shè)：，則 即 ， 即 。與有相同的線性關(guān)系即與同解。反之，當(dāng)與同解時(shí)，和的列向量組有相同的線性關(guān)系。矩陣的秩定理：矩陣的行向量組的秩=列向量組的秩 規(guī)定行（列）向量組的秩。的計(jì)算：用初等變換化為階梯形矩陣，則的非零行數(shù)即。命題：的非零子式階數(shù)的最大值。方程組的表達(dá)形式 1 2

16、是解 3 有解基礎(chǔ)解系和通解 1有非零解時(shí)的基礎(chǔ)解系是的基礎(chǔ)解系的條件：每個(gè)都是的解線性無(wú)關(guān)的每個(gè)解/ 通解如果是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的通解為，任意如果是的一個(gè)解，是的基礎(chǔ)解系，則的通解為，任意特征向量與特征值 定義：如果，并且與線性相關(guān)，則稱是的一個(gè)特征向量。此時(shí)，有數(shù)，使得，稱為的特征值。設(shè)是數(shù)量矩陣，則對(duì)每個(gè)維列向量，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。特征值有限特征向量無(wú)窮多 若，每個(gè)特征向量有唯一特征值，而有許多特征向量有相同的特征值。計(jì)算時(shí)先求特征值，后求特征向量。特征向量與特征值計(jì)算是的非零解 命題：是的特征值是屬于的特征向量是的非零解 稱多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式。是的特征

17、值是的特征多項(xiàng)式的根。的重?cái)?shù)：作為的根的重?cái)?shù)。階矩陣的特征值有個(gè)：，可能其中有的不是實(shí)數(shù)，有的是多重的。 計(jì)算步驟：求出特征多項(xiàng)式。求的根，得特征值。對(duì)每個(gè)特征值，求的非零解，得屬于的特征向量。n階矩陣的相似關(guān)系 設(shè)，是兩個(gè)階矩陣。如果存在階可逆矩陣，使得，則稱與相似，記作。n階矩陣的對(duì)角化 基本定理 可對(duì)角化有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 設(shè)可逆矩陣，則， 判別法則可對(duì)角化對(duì)于的每個(gè)特征值，的重?cái)?shù)。計(jì)算：對(duì)每個(gè)特征值，求出的一個(gè)基礎(chǔ)解系，把它們合在一起，得到個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，。令，則，其中為的特征值。二次型（實(shí)二次型）二次型及其矩陣 一個(gè)元二次型的一般形式為 只有平方項(xiàng)的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)二次型。

18、 形如：的元二次型稱為規(guī)范二次型。 對(duì)每個(gè)階實(shí)矩陣，記，則是一個(gè)二次型。 稱的秩為這個(gè)二次型的秩。 標(biāo)準(zhǔn)二次型的矩陣是對(duì)角矩陣。 規(guī)范二次型的矩陣是規(guī)范對(duì)角矩陣?？赡婢€性變量替換 設(shè)有一個(gè)元二次型，引進(jìn)新的一組變量，并把用它們表示。 （并要求矩陣是可逆矩陣） 代入，得到的一個(gè)二次型這樣的操作稱為對(duì)作了一次可逆線性變量替換。 設(shè)，則上面的變換式可寫(xiě)成 則 于是的矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣的合同 兩個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣和，如果存在階實(shí)可逆矩陣，值得。稱與合同，記作。 命題：二次型可用可逆線性變換替換化為二次型的標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化 1每個(gè)二次型都可以用可逆線性變量替換化為標(biāo)準(zhǔn)二次型和規(guī)范二次型。 也就是每個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都

19、會(huì)同于對(duì)角矩陣和規(guī)范對(duì)角矩陣。 設(shè)是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣，使得是對(duì)角矩陣。， 2標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的方法正交變換法 配方法 3慣性定理與慣性指數(shù) 定理：一個(gè)二次型用可逆線性變換替換化出的標(biāo)準(zhǔn)形的各個(gè)平方項(xiàng)的系數(shù)中，大于0的個(gè)數(shù)和小于0的個(gè)數(shù)是由原二次型所決定的，分別稱為原二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)。 一個(gè)二次型化出的規(guī)范二次型在形式上是唯一的，也即相應(yīng)的規(guī)范對(duì)角矩陣是唯一的。 用矩陣的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)：一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同于唯一規(guī)范對(duì)角矩陣。 定理：二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)在可逆線性變量替換下不變；兩個(gè)二次型可互相轉(zhuǎn)化的充要條件是它們的正、負(fù)慣性指數(shù)相等。實(shí)對(duì)稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)就等于正（負(fù)）特征值

20、的個(gè)數(shù)。正定二次型與正定矩陣 定義：一個(gè)二次型稱為正定二次型，如果當(dāng)不全為0時(shí)，。 例如，標(biāo)準(zhǔn)二次型正定， （必要性“”，取，此時(shí)同樣可證每個(gè)）實(shí)對(duì)稱矩陣正定即二次型正定，也就是：當(dāng)時(shí)，。 例如實(shí)對(duì)角矩陣正定，定義：設(shè)是一個(gè)階矩陣，記是的西北角的階小方陣，稱為的第個(gè)順序主子式（或階順序主子式）。附錄一 內(nèi)積，正交矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一向量的內(nèi)積1定義 兩個(gè)維實(shí)向量的內(nèi)積是一個(gè)數(shù)，記作，規(guī)定為它們對(duì)應(yīng)分量乘積之和。 設(shè)，則 2性質(zhì)對(duì)稱性：雙線性性質(zhì)：正交性：，且3長(zhǎng)度與正交 向量的長(zhǎng)度 單位向量：長(zhǎng)度為的向量， 若，則是單位向量，稱為的單位化。 兩個(gè)向量如果內(nèi)積為0：，稱它們是正交的。 如果

21、維向量組兩兩正交，并且每個(gè)都是單位向量，則稱為單位正交向量組。 例1如果向量組兩兩正交，并且每個(gè)向量都不為零向量，則它們線性無(wú)關(guān)。 證：記，則 則即。 例2若是一個(gè)實(shí)的矩陣，則。 二正交矩陣 一個(gè)實(shí)階矩陣如果滿足，就稱為正交矩陣。 定理 是正交矩陣的行向量組是單位正交向量組。的列向量組是單位正交向量組。 例3正交矩陣保持內(nèi)積，即 證： 例4（04）是3階正交矩陣，并且，求的解。三施密特正交化方法這是把一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組改造為與之等價(jià)的單位正交向量組的方法。 設(shè)線性無(wú)關(guān)正交化：令 （設(shè)， 當(dāng)時(shí)，正交。）單位化：令， 則是與等價(jià)的單位正交向量組。四實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 設(shè)是一個(gè)實(shí)的對(duì)稱矩陣，則的每

22、個(gè)特征值都是實(shí)數(shù)。對(duì)每個(gè)特征值，重?cái)?shù)。即可以對(duì)角化。屬于不同特征值的特征向量互相正交。 于是：存在正交矩陣，使得是對(duì)角矩陣。 對(duì)每個(gè)特征值，找的一個(gè)單位正交基礎(chǔ)的解，合在一起構(gòu)造正交矩陣。 設(shè)是階的有個(gè)特征值（二重），（三重），（一重） 找的個(gè)單位正交特征向量。 找的個(gè)單位正交特征向量。 找的一個(gè)單位特征向量。 例5（04）是階實(shí)對(duì)稱矩陣，是它的一個(gè)二重特征值，和都是屬于的特征向量。 （1）求的另一個(gè)特征值。 （2）求。 解：（1）另一個(gè)特征值為。 （2）設(shè)是屬于的特征向量，則 此方程組，基礎(chǔ)解系包含一個(gè)解，任何兩個(gè)解都相關(guān)。 于是，每個(gè)非零解都是屬于的特征向量。是一個(gè)解。附錄二 向量空間 1維向量空間及其子空間 記為由全部維實(shí)向量構(gòu)成的集合，這是一個(gè)規(guī)定了加法和數(shù)乘這兩種線性運(yùn)算的集合，我們把它稱為維向量空間。 設(shè)是的一個(gè)子集，如果它滿足 （1）當(dāng)都屬于時(shí)，也屬于。 （2）對(duì)的每個(gè)元素和任何實(shí)數(shù)，也在中。則稱為的一個(gè)子空間。 例如元齊次