第十章10.3第二課時復(fù)數(shù)三角形式的乘除法2019(秋)數(shù)學(xué)必修第四冊人教B版(新教材)改題型

1、第二課時復(fù)數(shù)三角形式的乘除法課標要求素養(yǎng)要求i.掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘、除及乘方 運算.2.掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的運 算特點.從向量的角度理解復(fù)數(shù)的三角形式的乘、除、乘方運算及幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí) 知識探究教材知識探究，情度引入復(fù)數(shù)代數(shù)形式可進行加、減、乘、除四則運算 .問題 三角形式表示的兩個復(fù)數(shù)的乘積，可否由代數(shù)形式的乘法法則得出？提示 三角形式下兩個復(fù)數(shù)的乘積仍可按代數(shù)形式進行計算，但過程繁雜，運用三角形式下兩復(fù)數(shù)的乘法法則可使運算簡便.B新知梳理1.復(fù)數(shù)三角形式的乘法簡記為：模數(shù)相乘，輻角相加設(shè)復(fù)數(shù) zi = ri (cos 削+ isi

2、n 例)，z2=r2(cos 色 + isin a)，則 ziz2= ri(cos 0i +isin d)x r2(cos (2+ isin (2) = rir2cos( 6 + (2)+isin(0i+ (2),即由兩個復(fù)數(shù) zi, z2 的三角形式可得ZiZ2的三角形式：Zi的模乘以Z2的模等于ZZ2的模,Zi的輻角與 Z2的輻角之和是ZiZ2的輻角.幾何意義：設(shè)Zi, Z2對應(yīng)的向量分別為OZi,粒2,將OZi繞原點旋轉(zhuǎn)J2,再將OZ i的模變?yōu)樵瓉淼腅倍，如果所得向量為OZ,則OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為ZiZ2.2JT數(shù)的乘方簡記為：模數(shù)乘方，幅角n倍r(cos 0+ isin 9n=rnco

3、s(n ®+isin(n 町,nCN,即復(fù)數(shù) n 次黑的模等干模的 n 次方,輻角等于復(fù)數(shù)輻角的n倍.3.復(fù)數(shù)三角形式的除法 簡記為：模數(shù)相除，輻角相減、門一3rzi ri (cos 8 +isin 削)設(shè)復(fù)數(shù) zi= ri(cos U + isin 制)，z2=r2(cos (2+ isin 但)，則二=;.一'八 '"z2 r2 (cos (2+isin 色)rizi= r2cos（如一（2）+isin（魚一切,即由兩個復(fù)數(shù)zi, z2（z2w0）的二角形式可得z2的二 zi . zi角形式：zi的模除以z2的模等于z2的模，zi的輻角減去z2的輻角是z

4、2的輻角.教材拓展補遺微判斷兀兀 1 .復(fù)數(shù)z= 2 cos 3+ isin 3的共腕復(fù)數(shù)的二角形式為 z = 2 cos - isin 3 .(X)提示 z與z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于x軸對稱，故z的三角形式為2 cos 3 + isin 3 .2. cos 3+isin 3微訓(xùn)練1 .把復(fù)數(shù)a+ bi（a, bC R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量繞原點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A.a biB.-a+biC.b-aiD.-b+ai解析 按順時針旋轉(zhuǎn)90°,即將復(fù)數(shù)與i相乘，所求復(fù)數(shù)為（a+bi） （-i）=b ai.答案 C一亡 了 了 . &2 .

5、 2 cos 4+isin 4 cos 3+ isin 3冗 冗4+351、 匚冗 冗斛析原式=42 cos 4+3 + isin =2 co鼐 + isin12.答案 42 cos 12+ isin 12-13 .z= 2(cos 20 平 isin 20 ),則 g=解析1 cos 0 4 isin 0 0z 2 cos 20 + isin 20)1= 2cos(20 )+isin( 20 ).答案 2cos(20 ) + isin( 20 )微思考1 .三角形式下兩個復(fù)數(shù)相乘，積的輻角等于這兩個復(fù)數(shù)的輻角的和，能將其中“輻角”換為“輻角主值”嗎，即arg(z1z2)與argz1, arg

6、z2有怎樣的關(guān)系？提示 積的輻角等于原來兩個復(fù)數(shù)的輻角集合中各任取一個，求和角，所有和角 組成的集合，即為積的輻角的集合，而積的輻角主值不一定等于這兩個復(fù)數(shù)的輻角主值和.arg(z1z2)=argz1 + argz2+2kTi；其中整數(shù) k使 argz1 + argz2+2kTtC 0 , 2兀.)2 .由三角形式的乘法法則，結(jié)合向量知識，如何理解復(fù)數(shù)乘法的幾何意義？提示復(fù)數(shù)的乘法實質(zhì)上就是向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮，旋轉(zhuǎn)方向與角度取決于從另一 復(fù)數(shù)的輻角集合中取出來的值，伸長或縮短及其倍數(shù)取決于另一復(fù)數(shù)的模的大小.課堂互動【例11題型一復(fù)數(shù)三角形式的乘法(1) 2 cos -3+ isin 53 co

7、s 6+ isin 6 ； (2)3(cos 20 +isin 20 ) 2(cos 50 +° isin 50 )10(cos 80 + isin 80 ) - 77. . 7 冗(3)( 1 + i)43 cos4 升 isin 解原式=2X3 8s 246+isin/6 =6 8s 衿 isin 5f = 3«+31 (2)原式=3x 2x 10cos(20 + 50 +80 )+ isin(20 書50 +80 )= 60(cos 150 + isin 150 戶二 30>/3+30i./7 7t 7 7t(3)( 1 + i) y3 cos 彳+ isin

8、彳=2cos isin ?cos + isin ?cos3+ 7f + isin 亨 + 7f55 7ticos 2冗+ isin -2 = p6i.規(guī)律方法兩個復(fù)數(shù)三角形式相乘，把模相乘作為積的模，把輻角相加作為積的 輻角.若遇到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式混合相乘時，需將相混的復(fù)數(shù)統(tǒng)一成代數(shù)形式或三角形式，然后再進行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘或三角形式相乘.【訓(xùn)練 1】 已知 zi =8(cos 240 書 isin 240 ),° z= 2(cos 150 isin 150 ),° 求 ziz2 的代數(shù)形式.解 Z2 = 2(cos 150 - isin 150 ) 0 =2co

9、s(150 )+ isin( 150 J, Z1Z2 = 8X2cos(240 - 150 ) + isin(240 - 150 )= 16(cos 90 +isin 90 )=l6i.題型二 復(fù)數(shù)三角形式的除法_ 一 。 1【例 2】 計算：i3+2 (cos 120 isin 120 ).1解 i3+2 (cos 120 +isin 120)1，。、。=i 5 (cos 120 +isin 120 )1，、二(cos 270 + is in 270 )博(cos 120 + isin 120 )=2cos(270 120 )°+ isin(270 120 )= 2(cos 150

10、 +isin 150 )=二V3+i.規(guī)律方法 兩個三角形式的復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0）,則商還是一個復(fù)數(shù)，它的模 等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，它的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的 輻角所得的差.出現(xiàn)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式先轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的三角形式再計算【訓(xùn)練2】 計算:(1)4 cosisin f +2 cosisin ; 3366(1+V3i) (V3+i) (1 + i) (-1-i) 2 (-1 + i)(1)4 cos -3- + isin _3+2 cos 6 + isin -6二2cos 432t 52t + isin 竽一年=2 cos 2+ isin 2 =2i._、，匚.一九.冗(2

11、) = 1 + y3i = 2 cos 3+ isin 3 , V3+ i = 2 cos 5T+ isin 562c, 1 + i="2 cos 4+isin 4 ,1 i =亞 cos 52t+ isin 學(xué)，1 + i =啦 cos #十 isin #,C) (-y3+i) (1 + i)( 1 _ i) 2 ( 1 + i)_tc 5jt jrcos 3+ 6 + 4+isin 3+ 沿 4cos 乎 + isin 5+ 寧九 5冗 冗 5冗 3冗 . 九 5冗 冗 5九 3冗2 cos 3+ 6 +4- 2 - 4 +isin 3+ 6 +4一 2 一 411. .11=2

12、 cos 6 冗 + isin - 6 九=3+i.題型三 復(fù)數(shù)乘法、除法的幾何意義【例3】若OZ1與OZ2分別表示復(fù)數(shù)zi = 1 + 2V3i, Z2 = 7 +#i,求/ Z2OZ1并判斷 OZ1Z2的形狀.Z1解 欲求/Z2OZ1,可計算Z2.Z1 1 + 2 5i (1+2*i) (7-V3i)1+V3iz2 7 + 正廠(7 + V3i)(7-V3i)一=-='1 冗，. .冗=2 cos 3+ isin 3，/ Z2OZ1 =3由余弦定理，設(shè)|OZi|=k, |OZ2|=2k(k>0),則 |ZiZ2|2= k 4- 3-2- 4- 3-=2 cos -3"

13、; + "3"+"4 +isin 萬+丁+(2k)2 2k 2k cos33k2, . Z億2| = V3k,而 k2+(V3k)2 = (2k)2, .OZ1Z2為有一角為60°的直角三角形.規(guī)律方法 復(fù)數(shù)相乘、相除實質(zhì)上就是復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮， 旋轉(zhuǎn)的 角度與方向，取決于另一復(fù)數(shù)的輻角的正、負與大小【訓(xùn)練3】 設(shè)復(fù)數(shù)Z1, Z2對應(yīng)的向量分別為OZ1, OZ2, O為坐標原點，且Z1=1+用,若把OZ1繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) 李，把OZ2繞原點順時針旋轉(zhuǎn) 丫 所得 34兩向量恰好重合，求復(fù)數(shù)Z2.解依題意知（病8苧isin短cos.4JT, .

14、. 4JT3jr, . . 3jt-Z2 = ( 1+3i) cos 3 + isin 3 cos 4 +isin 4八 11 , . . 11=2 cos 1 冗 + isin 彳兀=一2+ /2i.核心素養(yǎng)II全百捉升、素養(yǎng)落地1從向量的角度理解復(fù)數(shù)三角形式的乘、除、乘方等運算的幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生 的邏輯推理素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).2 .兩個三角形式的復(fù)數(shù)乘法法則：模數(shù)相乘，輻角相加；乘方法則：模數(shù)乘方, 輻角n倍；除法法則：模數(shù)相除，輻角相減.3 .做復(fù)數(shù)的乘法運算時，三角形式的代數(shù)形式可以交替使用，但結(jié)果一般保留代數(shù)形式，復(fù)數(shù)的乘、除法可以理解為對應(yīng)向量的旋轉(zhuǎn)與伸縮 .二、素養(yǎng)訓(xùn)練1

15、.復(fù)數(shù)z= sin6一icos若zn=z (nC N),則n的最小值是(A.1B.3C.5D.7解析z= sin7t7t6T8s 6=工，. 工 cos 3 + isin 3 ,工_不工nz cos 3+isin 3 cos 3 + isin 3n最小值為5.=cos Y + isin 孑,由于 n C N ,答案 C2 .復(fù)數(shù)z= (sin 25 +°icos 25 f的三角形式是()A.cos 195 + isin 195 0B.sin 75 書 icos 75 0C.cos 15 + isin 15 0D.cos 75 + isin 75 0解析 z= (sin 25 +

16、76;icos 25)3 = (cos 65+isin 65 )3=°cos 195 + isin 195.0答案 A3 .把復(fù)數(shù)3 J3i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)1冗，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()3A.2mB.-2V3iC.V3-3iD.3+V3i解析3 43i = 2V3 cos 6 + isin -6，順時針方向旋轉(zhuǎn)J即得z=7t7t7tcos6+isin 6 +cos 3+.冗 _ rrisin 3 =237t7tcos 2 + isin 2=2：3i.答案 B4 .計算:3(cos 15 isin 15 ) (1 + i)也(sin 22 -P icos 22 戶解析原式=3

17、 cos(15 ) + isin(15 )cos 45 4 isin 45 )、/2(cos 68 書 isin 68 ) 0=3X亞x 也 cos(15 °+ 45 °+68 ) + isin( 15 + 45 68 )= 6(cos 98+is in 98 ).答案6(cos 98° + isin 98 ) °課后作業(yè)基礎(chǔ)達標、選擇題1.復(fù)數(shù)Z= cos 15+isin消是方程x5+ a= 0的一個根，那么a的值為()3 1A.-2+2iB.2+當(dāng)C. 一122iD. 1當(dāng)解析z5=57tcos 15+ isin 岳 =cos3+ isin 3 =2

18、+返5a= - z =2.若復(fù)數(shù)1 + i1-i為實數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是(A.1B.2C.3D.4解析1+icos 4+ isin 41-icos亞 cos -4+isin_rc4n .5 2+ isin 2 =cos n+ isinnjt2，由sin，0,得n= 2k(kC Z),又n為正整數(shù)，n最小為2.答案 B3.計算 4cos75+isin 喘1sin 3+ icos 3的結(jié)果是（）1212233AC 5 j 5A.2 cos 12+isin 12 冗B.2 sin 12 + icos 12一冗，一冗C.2 cos 4+ isin 4_ _九，一冗D.8 cos 4+ isin 4

19、一 一，、冗斛析 原式=4 cos12+ isin7t7t12 2 cos 6+isin g2 cos 12+ 6 + isin 12 + 6冗冗=2 cos 4+ isin 4 .答案 C4 .已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x2 + x+ p=0的兩虛根a, b滿足|ab|=3,則p的值 是（）“ c-1-5一A.2B. 2C.2D.1解析 方程x2+x+ p = 0的兩虛根a, b互為共腕復(fù)數(shù)，設(shè)a= r（cos葉isin 0）, 則 b=rcos （一 + isin （ 9） , p=r2,又 a+b= 1, |ab|= 3,. 2rcos 9 =- 1, |2rsin 0i| = 3, r2=

20、 2.答案 C、-5 冗 ,cos 29+ isin 28,，一、，5 .設(shè)冗 線了，則復(fù)數(shù) 8s 0Tsin 0的輻角王值為（）A2 k 3 9B.3 9- 2 九C.3 9D.3 9-九cos 20+ isin 2 0 cos 20+ isin 2 0解析z=cos 30+ isin 3 0, = tK （Xcos 0 isin 0 cos （ 0） + isin （一 ®景，；3 代 3 k 15 .argz= 3 9- 2 7t.、填空題55556 .，3 cos 12 什 isin itt yJ6 cos 6 升 isin 6 冗=解析原式=3 2cos 12+ 6 冗 +

21、 isin 初九 + 6 冗=3 2cos 4+ isin 苧=3 3i.答案 3- 3i7 .設(shè) z= ( 3*+3/2i)n, nCN*zC R 時，n 的最小值為.解析 z=( 3也+32i)n= 6 cos 32t+ isin 芋=6n cos 344isin 34 R,sin =0, = k兀k C Z), n = 3k(kC Z),又 n C N ,n 的最小值為 4.答案48 .如果向量OZ對應(yīng)復(fù)數(shù)4i, OZ繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后再把模變?yōu)樵瓉淼腣2 倍，得到向量OZi,那么與OZi對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.解析zi = 4i42(cos 45 + isin 45 ) = 4

22、2 cos(90 + 45 ) + isin(90 書 45 ) = - 4 + 4i.答案 4+ 4i三、解答題9 .設(shè)復(fù)數(shù)zi = *+ i,復(fù)數(shù)z2滿足|冽=2,已知ziz2的對應(yīng)點在虛軸的負半軸上, 且argz2 (0,冗)求z2的代數(shù)形式.解 因為 zi = 2 cos 6+isin 6 ,設(shè) z2 = 2(cos a+ isin氏(0,九)2所以 ziz2= 8 cos 2 a+ $ + isin 2 a+ $ .,一 一 九 一 3 九由題設(shè)知 2a+ 6=2kTt+ _2(kZ), 一 2 兀所以 a= k 兀+ &(kC Z),325又延(0,冗)所以d= 3,所以

23、z2= 2 cos §+ isin § =1 +通1010.計算：（1）1一學(xué)制;(2)2(cos 50 + isin 50 ) . = 16cos( 200 ) +isin ( 200 ).能力提升 11.設(shè) z1=1 2i, z2=1 + i, z3=1 + 3i,則 argz1 + argz2+argz3=()A. 2B.35C.5.7D.725解析argz1+ argz2 + argz3 = arg(z1z2z3)+2k乃 kC 乙又 Z1Z2Z3=(1 2i)(1+i)(1 + 3i) = 10i, . arg(Z1Z2Z3) = 2.又argz1<2&am

24、p;argz2=4, 2<argz3< tt,argz1+ argz21冗斛(1)原式=cos 3 + isinio冗37t7t+3 cos 2+ isin /10幾=cos 3 + isin10幾7t7t+3 cos 2+ isin 27t7t= cos "3- + isin_3 -3 cos 2+isin 5_ 1二3cos "3"_2 + isin 萬一1二3,5.3.1.cos 6+ isin 6 ="6" + 6i.原式二2 (cos 50 4isin 50 )°1 4。4=2 cos(50 )+isin( 50 )4答案 C .兀一. 一一，一一12 .右復(fù)數(shù)z輛足arg(z+ 4)=6，WJ |z|的取小值為()A.1B.2