中考數(shù)學(xué)壓軸題專項匯編專題軸對稱之最短路徑

1、專題6軸對稱之最短路徑破解策略用軸對稱思想解決線段最值問題是常用的方法，本質(zhì)是利用三角形三邊關(guān)系解決問 題.常見的題型有：1.已知：在直線l同惻有A. B兩點，在l上找一點P,使得AP+ PB最小. BA l作法：如圖.作點 A關(guān)于直線l的對稱點A ,連結(jié)A B,與直線，的交點就是點 P2 / 82.已知：在直線l同側(cè)有 A B兩點，在l上找一點P,使得|AP PB最小 B A l 作法：如圖，連結(jié) AB作線段AB的垂甫平分線.與直線 l的交點就是點P3 .已知：在直線l同側(cè)有A, B兩點，在l上找一點P.使得|AP- PB最大 B A l作法：如圖，連結(jié) BA并延長，與直線，的交點就是點P4

2、 .已知：在直線l同側(cè)有 A B兩點.在l上找兩點C, D （其中CD勺長度固定，等于 所給線段d）,使得AO CN DB最小， BA alA ,作A關(guān)于直線l的對稱點A,過點A作AC/ A D,交直線l于點C.則作法：如圖，先將點 A向右平移口個單位長度到點 連結(jié)A B,與直線l的交點就是點 D.連結(jié)A D, 此時AC +C濟DB最小.5.已知：在 MONJ有一點P,在邊ON OM:分別找點Q, R 使得 PQ QRF RPM小.作法：如圖，分別作點 P關(guān)于射線OM勺對稱點P, P,連結(jié)PP,與射線ON OM勺交點就是點 Q, R.6.已知：在MONJ有一點P,在邊OM ONh分別找點 R,

3、 Q使得P& QRM小作法：如圖，作點 P關(guān)于射線OM勺對稱點P ,作P Q ON垂足為Q PQ與射線O廂交 點就是R.8 / 87.已知：在 MONfi有兩點P, Q在邊OM ON上分別找點 R S.使得P& RA SQ最小.作法：如圖，作點 P關(guān)于射線OM勺對稱點P ,作點Q關(guān)于射線ON的對稱點Q,連 納P Q .與射線OM ON的交點就是 R S.O例題講解例1(1)如圖1,等邊 ABC, AB= 2, E是AB的中點，AD是高，在AD上作出點P,使BP+ EP的值最小，并求 BF PE的最小值.(2)如圖2,已知。O的直徑CD為2, Ac的度數(shù)為60。，點B是Ac的中點，在直徑CD上作

4、出點 P,使B升AP的值最小，并求 BP+ AP的最小值.(3)如圖3,點P是四邊形 ABC咕一點，BP= mi Z ABC=風,分別在邊 AB, BC上作出 點M N,使 PMN勺周長最小，并求出這個最小值(用含m a的代數(shù)式表示).(1)乖(作法是：作點 B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點 C重合，連接Ca AD于一點，這點就是所求的點 P);(2) &(作法是：作點B關(guān)于CD的對稱點E,連接AE交CDT一點，這點就是所求的點P)；(3)分別作點 P關(guān)于邊AB BC的對稱點E, F,連結(jié)EF分別與邊 AB BC交于點 M N, 線段EF的長度即為 PMN勺周長的最小值.-如圖，連結(jié)BE, BF,

5、/EBF= 2ZABC= 2a, BE= BF= BP= mi過點B作BHL EF于點H,所以/ EBH= - / EBF= a , EH= FH 2EH在 RtABEHI, sin a = EH ,BE所以 EH= BE- sin a = m- sin a ,所以 EF= 2m sin a ,即 PMh PW MN= EF= 2m- sin a .例2如圖，在平面直角坐標系 xOy中，分別以點 A (2, 3), B (3, 4)為圓心，以1, 3 為半徑作。A, OB, M N分別是。A, OB上的動點，點P為x軸上的動點，求 PMF PN的最 小值.P,與OA,交點為M ,如圖，作。A關(guān)

6、于x軸的對稱圖形。A,連結(jié)AB,與x軸交于點與。B交點為N,連結(jié)PA PA與。A交點為 M 則此時PA PB值最小，從而 PW PM直也最 小，最小值為線段 M N的長.如圖，易得 A 2 3),由兩電間距離公式得 A B= 5版.故 M N= 572-4,即 PM PN= 5 72-4.例3如圖1,等邊 ABC勺邊長為6, AD BE是兩條邊上的高，點 O為其交點.P, N分別是BE, BC上的動點.圖1圖2(1)當PW PD的長度取得最小值時，求 BP的長度；(2)如圖2,若點Q在線段BO上，BQ= 1,求Q降NP+ PD的最小值.圖3解 (1)由等邊三角形軸對稱的性質(zhì)可得，點圖4D關(guān)于B

7、E的對稱點 D在AB上，且為 AB的中占如圖3,過點D作BC的垂線，垂足為 N ,DN交BE于點P,連結(jié)PD ,則PD = FD.此時DN的長度即為 PW PD長度的最小值.顯然DN/ AD即點N為BD的中點.所以 BN= - BC= 3 ,從而 BP= = V3 .(2)如圖4,作點Q關(guān)于BC的對稱點 Q ,則BQ =1, /CBQ =0 .點D是點D關(guān)于BE的對稱點，連接 DQ ,交BE于點P,交BC于點N.此時DQ即為QNF NP+ PD的最小值.顯然/ DBQ =90 ,所以 DQ = BD7BQ2 = 10 ,即QN NPPt PD的最小彳1為炳.進階訓(xùn)練1 .兩平面鏡 OM QN相

8、交于點 Q且OML ON 一束光線從點 A出發(fā)，經(jīng)過平面鏡反射后， 恰好經(jīng)過點B,光線可以只經(jīng)過平面鏡 OME射后過點B,也可以只經(jīng)過平面鏡 ONS射后過 點B.除了這兩種作法外，還有其他方法嗎？如果有，請在圖中畫出光線的行進路線，保留 作圖痕跡，并簡要說明理由.Na AN/ A答案：作點A關(guān)于OM勺對稱點A ,作點B關(guān)于ON的對稱點B,連接A B,與OM ON別交于. 點D, C.光線行進路線如圖.2 .(1)在A和B兩地之間有一條河，現(xiàn)要在這條河上建一座橋CD橋建在何處才能使從A到B的路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)(2)如圖2,在A和B兩地之間有兩條河， 現(xiàn)要在這兩

9、條河上各建一座橋，分別是MNF口 PQ橋分別建在何處才能使從 A到B的路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)解：(1)如圖，過點B作BB垂直于河岸，且使 BB長度等于這條河寬，連接 AB交河的 一岸于點C,過點C作CD垂直于河岸，與另一岸交點為 D,則CD即為架橋最合適的位置.(2)如圖，過點 A作AA垂直于距點 A較近的河岸，且使 AA長等于該河寬，同樣，過 點B作BB垂直于距點B較近的河岸，且使 BB長等于河寬，連接 A B分別交兩條河相 鄰的河岸于點N, P,過點N作NM垂直于該河河岸，與另一岸交點為M 過P作PQ垂直于該河河岸，與另一岸交點為 Q 則MN PQ即為架橋最合適的位置.3 2-，3.如圖，直線y x 3分別與x軸，y軸交于點A, B,拋物線y = x+2x+1與y 4軸交于點C.若點E在拋物線y= x2+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求 C&EF的最小值.提示：作點C關(guān)于