（四川卷）2014年普通高校招生統(tǒng)一考試（理數(shù)）

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理科）一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。1已知集合，集合為整數(shù)集，則A B C D【答案】A【解析】，故2在的展開式中，含項的系數(shù)為A B C D【答案】C【解析】含項為3為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)A向左平行移動個單位長度 B向右平行移動個單位長度C向左平行移動個單位長度 D向右平行移動個單位長度【答案】A【解析】因?yàn)?，故可由函?shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動個單位長度得到4若，則一定有A B C D【答案】D【解析】由，又，由不等式性質(zhì)知：，所以5執(zhí)行如圖

2、1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的最大值為A B C D 【答案】C【解析】當(dāng)時，函數(shù)的最大值為2.6六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有A種 B種 C種 D種【答案】B【解析】當(dāng)最左端為甲時，不同的排法共有種；當(dāng)最左端為乙時，不同的排法共有種。共有+種7平面向量，（），且與的夾角等于與的夾角，則A B C D【答案】D【解析1】因?yàn)?，所以，又所以即【解?】由幾何意義知為以，為鄰邊的菱形的對角線向量，又故8如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是 A B C D【答案】B【解析】直線與平面所成的角為的取

3、值范圍是，由于， 所以的取值范圍是9已知，?，F(xiàn)有下列命題：；。其中的所有正確命題的序號是A B C D 【答案】B【解析】故正確當(dāng)時，令（）因?yàn)?，所以在單增，即，又與為奇函數(shù)，所以成立故正確10已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是A B C D【答案】B【解析】方法1：設(shè)直線AB的方程為：，點(diǎn)，又，直線AB與軸的交點(diǎn)（不妨假設(shè)）由，所以又因?yàn)辄c(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，所以，故于是當(dāng)且僅當(dāng)時取“” 所以與面積之和的最小值是方法2：二填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11復(fù)數(shù) ?！敬鸢浮俊窘馕觥?2設(shè)是定義在R上的周期為2

4、的函數(shù)，當(dāng)時，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥?3如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，此時氣球的高是，則河流的寬度BC約等于 。（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位。參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【解析】，14設(shè)，過定點(diǎn)A的動直線和過定點(diǎn)B的動直線交于點(diǎn)，則的最大值是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥糠椒?：，因?yàn)椋怨剩ó?dāng)且僅當(dāng)時取“”）方法2：15以表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，存在一個正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間。例如，當(dāng)，時，?，F(xiàn)有如下命題：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”的充要條件是“，”；函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；若函數(shù)，的定義域相同，且，則；若函數(shù)

5、（，）有最大值，則。其中的真命題有 。（寫出所有真命題的序號）【答案】三解答題：本大題共6小題，共 75分。解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16已知函數(shù)。（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若是第二象限角，求的值。解：（1）由所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）（2）由因?yàn)樗杂质堑诙笙藿?，所以或由（）所以由所以綜上，或17一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得分）。設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立。

6、（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列；（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了。請運(yùn)用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因。解：（1）可能取值有，10，20，100，故分布列為1020100P（2）由（1）知：每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率是則玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是（3）由（1）知，每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為的數(shù)學(xué)期望是分這說明每盤游戲平均得分是負(fù)分，由概率統(tǒng)計的相關(guān)知識可知：許多人經(jīng)過若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而會減少。18三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示。設(shè)，分別為線

7、段，的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且。（1）證明：為線段的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值。解：（1）由三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖可知，在三棱錐中：平面平面，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，于是， 所以平面因?yàn)?，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，又，故假設(shè)不是線段的中點(diǎn)，則直線與直線是平面內(nèi)相交直線從而平面，這與矛盾所以為線段的中點(diǎn)（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，于是，設(shè)平面和平面的法向量分別為和由，設(shè)，則由，設(shè)，則所以二面角的余弦值19設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）。（1）若，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項和；（2）若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和。解：（1）點(diǎn)在函數(shù)的

8、圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為所以 因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，所以又，所以（2）由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為所以切線在軸上的截距為，從而，故從而， 所以故20已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q。（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（ii）當(dāng)最小時，求點(diǎn)T的坐標(biāo)。解：（1）依條件所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，又設(shè)中點(diǎn)為（i）因?yàn)?，所以直線的方程為：所以于是，所以。因?yàn)樗?，三點(diǎn)共線即OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（ii），所以，令（）則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）所以當(dāng)最小時，即或，此時點(diǎn)T的坐標(biāo)為或21已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)。（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍解：（1）因?yàn)?所以 又因?yàn)椋?所以：若，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單增，若，則，于是當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在區(qū)間上單減，在區(qū)間上單增，若，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單減，綜上：在區(qū)間上的最小值為（2）由，