尺規(guī)作圖角平分線(xiàn)

1、、尺規(guī)作圖1.作一個(gè)角等于已知角的方法B'作法：1 .以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交 OA OBT點(diǎn)G D;2 .畫(huà)一條射線(xiàn) O A ,以點(diǎn)O'為圓心，OC£為半徑畫(huà)弧，交 O' A于點(diǎn)C'3 .以點(diǎn)C'為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第 2步中所畫(huà)的弧交于點(diǎn) D'4 .過(guò)點(diǎn) D'畫(huà)射線(xiàn) O B',則/ A O' B' =Z AOB.2. 先任意畫(huà)出一個(gè) ABC.再畫(huà)一個(gè) A B' C',使A B ' =AB , B ' C' =BC, C' A =CA

2、.作法：畫(huà)一個(gè) A B' C'，使 A B' =AB, A ' C =AC, B' C =BC :(1)畫(huà) B' C' =BC;(2)分別以點(diǎn)B' ,C'為圓心，線(xiàn)段 AB, AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn) A'(3)連接線(xiàn)段A B' , A' C .二、角的平分線(xiàn) 導(dǎo)入:小明家居住在通州區(qū)一棟居民樓的一樓，剛好位于一條暖氣和天然氣管道所成角的平分線(xiàn)上的P點(diǎn)，要從P點(diǎn)建成兩條管道，分別與暖氣管道和天然氣管道相連問(wèn)題1:怎樣修建管道最短問(wèn)題2:新修建的兩條管道的長(zhǎng)有什么關(guān)系，畫(huà)來(lái)看一看圖是一個(gè)平分角的

3、儀器，其中AB= AD, BC=DC將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線(xiàn)AE, AE就 是這個(gè)角的平分線(xiàn)，你能說(shuō)明它的道理嗎A圖 12.37作已知角的平分線(xiàn)的方法./1已知：/ AOB.2求作：/ AOB的平分線(xiàn).作法：（1）以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N.（2） 分別以點(diǎn)M, N為圓心，大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在/ AOB勺內(nèi)部相交于點(diǎn)C.畫(huà)射線(xiàn)OC射線(xiàn)OC即為所求（如圖）.理論根據(jù)：作角平分線(xiàn)的理論根據(jù)是三角形全等的判定方法:“SSS'.拓展：根據(jù)角平分線(xiàn)的作法還可以作已知角的四等分線(xiàn).注意：“大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧”是

4、因?yàn)槿粢孕』虻扔诔龅膬苫〔荒芟嘟?MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧時(shí)，畫(huà)如圖所示，已知/ AOB求作：/ AO陣ZAOB.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)如圖，任意作一個(gè)角/ AOB作出 /AOB的平分線(xiàn) OC.在OC上任取一點(diǎn) P,點(diǎn)P畫(huà)出OAOB的垂線(xiàn)，分別記垂足為 D, E,測(cè)量PD, PE并作比較，你得到什么結(jié)論在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.通過(guò)以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線(xiàn)的什么性質(zhì)1.性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.要點(diǎn)精析：(1)點(diǎn)一定要在角平分線(xiàn)上；(2)點(diǎn)到角兩邊的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度;(3)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可用來(lái)證明兩條線(xiàn)段相等.2.書(shū)寫(xiě)格式：如圖，: OP平分/ AOBPD ±

5、 OA 于點(diǎn) D, P已 OBT點(diǎn) E,PD= PE.例 1、如圖,/ AOCW BOC 點(diǎn) P 在 OC 上，PDL OA,PE! QB垂足分另1J為 D, E.求證PD=PE.證明： PDL OA, PEXOB, / PDOh PEO=90 .在 PD麗 PEO43,/ PDO之 PEO, / AOC之 BOC,OP=OP,. PDO PEO(AAS). .PD=PE.例 1】如圖，在 ABC 中，/ C= 90° , AD 平分/ CAB DEL AB 于 E, F 在 AC 上，BE= FC,求證：BD= DF.導(dǎo)引：要證 BD= DF,可考慮證兩線(xiàn)段所在的4BDE和 FDC

6、全等，兩個(gè)三角形中已有一角和一邊相等，只要再證 DE= CD即可，這可由 AD平分/ CAB及垂直條件證得.1、如圖，在直線(xiàn) MNLh求作一點(diǎn)巳使點(diǎn)P到射線(xiàn)OA和OB的距離相等2、如圖，在 ABC中，/ 0= 90° , AC= BC, AD平分/ CAB交BC于D, D已AB于E,若AB=6 cm ，則 DBE的周長(zhǎng)是（）A . 6 cm B . 7 cm C . 8 cm3、如圖，已知在 ABC中，CD是AB邊上的高線(xiàn),DE= 14,則 BCE的面積等于 BE 平分/ ABC 交 CD于點(diǎn) E, BC= 50,總結(jié)：角的平分線(xiàn)圖形結(jié)構(gòu)中的“兩種數(shù)量關(guān)系”：如圖，OC平分/ AOB

7、 PD± OA于D, PELOB于E, DE交OC于點(diǎn)F.(1)角的相等關(guān)系：/ AOC= / BOC= / PDF= / PEF/ OD母 / OE已 / DFO= / EFO= / DFP= / EFP =90° ;/ DPO= / EPO= / ODF= / OEF.(2)線(xiàn)段的相等關(guān)系：OD= OE DP= EP, DF= EF.三、角平分線(xiàn)的判定角平分線(xiàn)的性質(zhì)為：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等交換上述已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎判定方法：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.書(shū)寫(xiě)格式：如圖，PD）± OA PH OB PA

8、 PE,.點(diǎn)P在/ AOB的平分線(xiàn)上（或/ AOC= / BOC）【例1】 如圖，BE= CF, DF± AC于點(diǎn)F, DEI AB于點(diǎn)E, BF和CE相交于點(diǎn) D.求證：AD平分/ BAC.導(dǎo)引：要證AD平分/ BAC已知條件中有兩個(gè)垂直，即有點(diǎn)到角的兩邊的距離，再證這兩個(gè)BD訝口 CDF全等來(lái)完成.距離相等即 可證明結(jié)論，證這兩條垂線(xiàn)段相等，可通過(guò)證明證明角平分線(xiàn)的“兩種方法”(1)定義法：應(yīng)用角平分線(xiàn)的定義 .(2)定理法：應(yīng)用“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上”來(lái)判定 .判定角平分線(xiàn)時(shí)，需要滿(mǎn)足兩個(gè)條件：“垂直”和“相等”.1、在正方形網(wǎng)格中，/ AOB的位置如圖所示，到/

9、 AOB 兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是()A .點(diǎn)M B .點(diǎn)N C .點(diǎn)P D .點(diǎn)Q2、如圖，在四邊形 ABCD43, AB= CD BA和CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) E,若點(diǎn)P使得S；A PAB= SAPCtD則滿(mǎn)足此條件的點(diǎn) P( )A .有且只有1個(gè)B .有且只有2個(gè)C.組成/ E的平分線(xiàn)D.組成/ E的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)(E點(diǎn)除外)三角形的角平分線(xiàn)如圖， ABC的角平分線(xiàn) BM CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB, BC, CA的距離相等三角形得角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三邊的距離相等，這個(gè)交點(diǎn)叫作三角形的內(nèi)心1到 ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是 ABCW ()A .三條中線(xiàn)的交點(diǎn)B .三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)C .三條高的交點(diǎn)D .以上均不對(duì)2如圖，4ABC的三邊AB, BC, CA的長(zhǎng)分別為40, 50, 60,其三條角平分線(xiàn)交于點(diǎn) O,則 S ABO： SA BCO： SACAO=.3如圖， ABC的/ABC的外角的平分線(xiàn) BD與/ACB的外角的平分線(xiàn) CE相 交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三