2011年高考試題——數(shù)學(xué)文（全國(guó)卷）解析版

1、2011年高考題全國(guó)卷II數(shù)學(xué)試題·文科全解全析科目： 數(shù)學(xué) 試卷名稱 2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·全國(guó)卷II(文科)知識(shí)點(diǎn)檢索號(hào)新課標(biāo)題目及解析1（1）設(shè)集合,則（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是掌握集合交并補(bǔ)的計(jì)算方法，易求,進(jìn)而求出其補(bǔ)集為.【精講精析】選D. .4（2）函數(shù)的反函數(shù)為（A） （B）（C） （D）【思路點(diǎn)撥】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范圍，它是反函數(shù)的定義域?！揪v精析】選B.在函數(shù)中，且反解x得，所以的反函數(shù)為.20（3）設(shè)向量滿足,則（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】本題要把充要條件的概念搞清，

2、注意尋找的是通過(guò)選項(xiàng)能推出a>b，而由a>b推不出選項(xiàng)的選項(xiàng).【精講精析】選A.即尋找命題P使P推不出P，逐項(xiàng)驗(yàn)證可選A。29（4）若變量x，y滿足約束條件，則的最小值為（A）17 （B）14 （C）5 （D）3【思路點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是作出如右圖所示的可行域。然后要把握住線性目標(biāo)函數(shù)的z的取值也其在y軸的截距是正相關(guān)關(guān)系，進(jìn)而確定過(guò)直線x=1與x-3y=-2的交點(diǎn)時(shí)取得最小值?！揪v精析】作出不等式組表示的可行域，從圖中不難觀察當(dāng)直線過(guò)直線x=1與x-3y=-2的交點(diǎn)（1，1）時(shí)取得最小值,所以最小值為5. 24（5）下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是（A） （B）

3、（C） （D）【思路點(diǎn)撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過(guò)選項(xiàng)能推出a>b，而由a>b推不出選項(xiàng)的選項(xiàng).【精講精析】選A.即尋找命題P使P推不出P，逐項(xiàng)驗(yàn)證可選A。11（6）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，則 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路點(diǎn)撥】思路一：直接利用前n項(xiàng)和公式建立關(guān)于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通項(xiàng)公式即可求解，運(yùn)算稍簡(jiǎn)?！揪v精析】選D.19（7）設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】此題理解好三角函數(shù)周期的概念至關(guān)重要，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，

4、所得的圖像與原圖像重合，說(shuō)明了是此函數(shù)周期的整數(shù)倍?！揪v精析】選C. 由題,解得，令，即得.40(8) 已知直二面角，點(diǎn)A，,C為垂足，點(diǎn)B，,D為垂足.若AB=2，AC=BD=1，則CD= （A） 2 （B） （C） （D）1【思路點(diǎn)撥】解決本題關(guān)鍵是找出此二面角的平面角，然后把要求的線段放在三角形中求解即可?！揪v精析】選C. 在平面內(nèi)過(guò)C作，連接BM，則四邊形CMBD是平行四邊形，因?yàn)椋?，?就是二面角的平面角。.所以代入后不難求出。45(9)4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門(mén)課程中選修1門(mén)，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有(A) 12種 (B) 24種 (C) 30種 (D)36種【

5、思路點(diǎn)撥】解本題分兩步進(jìn)行：第一步先選出2人選修課程甲，第二步再把剩余兩人分別選乙、丙.【精講精析】選A.第一步選出2人選修課程甲有種方法，第二步安排剩余兩人從乙、丙中各選1門(mén)課程有種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，有種選法。6(10)設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，=，則= (A) - (B) (C) (D)【思路點(diǎn)撥】解本題的關(guān)鍵是把通過(guò)周期性和奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間0,1上進(jìn)行求值?！揪v精析】選A.先利用周期性，再利用奇偶性得: .42(11)設(shè)兩圓、都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)（4，1），則兩圓心的距離= (A)4 (B) (C)8 (D) 【思路點(diǎn)撥】本題根據(jù)條件確定出圓心在直線y=x上

6、并且在第一象限是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵?！揪v精析】選D.由題意知圓心在直線y=x上并且在第一象限,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a)(a>0),則,求出a=1,a=9.所以C1(1,1),C2(9,9),所以由兩點(diǎn)間的距離公式可求出.42(12)已知平面截一球面得圓M，過(guò)圓心M且與成二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【思路點(diǎn)撥】做出如圖所示的圖示，問(wèn)題即可解決?！揪v精析】選B.作示意圖如，由圓M的面積為4，易得，中，。故.45(13)(1-)20的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為: .【思路點(diǎn)撥】解本題一

7、個(gè)掌握展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，另一個(gè)要注意.【精講精析】0. 由得的系數(shù)為, x9的系數(shù)為,而.17(14)已知a(，)，tan=2，則cos= .【思路點(diǎn)撥】本題考查到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，再由正切值求余弦值時(shí)，要注意角的范圍，進(jìn)而確定值的符號(hào)。【精講精析】 由a(，)，tan=2得.39（15）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為 .【思路點(diǎn)撥】找出異面直線AE與BC所成的角是解本題的關(guān)鍵。只要在平面A1B1C1D1內(nèi)過(guò)E作及B1C1的平行線即可。【精講精析】 取A1B1的中點(diǎn)M連接EM，AM，AE，則就是異面直線AE與BC所成的角

8、。在中，。33(15)已知F1、F2分別為雙曲線C: - =1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)AC，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，AM為F1AF2的平分線則|AF2| = .【思路點(diǎn)撥】本題用內(nèi)角平分線定理及雙曲線的定義即可求解?！揪v精析】6.由角平分線定理得：,故.12(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效) 設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知求和.【思路點(diǎn)撥】解決本題的突破口是利用方程的思想建立關(guān)于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解即可?！揪v精析】設(shè)的公比為q,由題設(shè)得解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.21（18）(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)AB

9、C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.己知. ()求B；（）若.【思路點(diǎn)撥】第（I）問(wèn)由正弦定理把正弦轉(zhuǎn)化為邊，然后再利用余弦定理即可解決。（II）在（I）問(wèn)的基礎(chǔ)上知道兩角一邊可以直接利用正弦定理求解?！揪v精析】(I)由正弦定理得由余弦定理得。故，因此。（II）故.46(19)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車(chē)主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立. (I)求該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率； （）求該地3位車(chē)主中恰有1位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率.【思路點(diǎn)撥】此題第

10、（I）問(wèn)所求概率可以看作“該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”和“該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”兩個(gè)事件的和。由于這兩個(gè)事件互斥，故利用互斥事件概率計(jì)算公式求解。(II)第（II）問(wèn)，關(guān)鍵是求出“該地的1位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)”的概率，然后再借助n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生k次的概率計(jì)算公式求解即可.【精講精析】記A表示事件：該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)：B表示事件：該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)。C表示事件：該地的1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種；D表示事件：該地的1位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)；E表示事件：該地的3位車(chē)主中恰有1位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)。（I）P(A

11、)=0.5,P(B)=0.3,C=A+BP(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.(II)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,P(E)=.39(20）(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)如圖，四棱錐中， ,，側(cè)面為等邊三角形. (I) 證明：(II) 求AB與平面SBC所成角的大小?！舅悸伏c(diǎn)撥】第（I）問(wèn)的證明的突破口是利用等邊三角形SAB這個(gè)條件，找出AB的中點(diǎn)E，連結(jié)SE，DE，就做出了解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵輔助線。(II)本題直接找線面角不易找出，要找到與AB平行的其它線進(jìn)行轉(zhuǎn)移求解。【精講精析】證明：（I）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則四邊形BCDE為矩形，

12、DE=CB=2。連結(jié)SE，則又SD=1，故所以為直角。由，得,所以.SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。所以（II）由知，作，垂足為F，則,作，垂足為G，則FG=DC=1。連結(jié)SG，則又，,故，作，H為垂足，則.即F到平面SBC的距離為。由于ED/BC，所以ED/平面SBC，E到平面SBC的距離d也為。設(shè)AB與平面SBC所成的角為，則,.解法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系C-xyz,設(shè)D（1，0，0），則A（2，2，0），B（0，2，0）。又設(shè)S（x,y,z），則x>0,y>0,z>0.(I)由得故x=1.由得，又由得，即，故。于是，故，又

13、所以.（II）設(shè)平面SBC的法向量，則又故取得，又.故AB與平面SBC所成的角為.53（21）(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)已知函數(shù)()證明：曲線（）若求a的取值范圍?！舅悸伏c(diǎn)撥】第(I)問(wèn)直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，然后易寫(xiě)出直接方程。(II)第（II）問(wèn)是含參問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住方程的判別式進(jìn)行分類討論.【精講精析】解：（I）.由得曲線在x=0處的切線方程為由此知曲線在x=0處的切線過(guò)點(diǎn)（2，2）。（II）由得（i）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極小值；(ii)當(dāng)或時(shí)，由得故。由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解不等式得綜合(i)(ii)得的取值范圍是。35（21）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為的直線與C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足()證明：點(diǎn)P在C上；（）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決這類問(wèn)題的基本思路，注意把用坐標(biāo)表示后求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把P點(diǎn)的縱坐標(biāo)也用A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來(lái)。從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn)P在C上。(II)此問(wèn)題證明有兩種思路：思路一：關(guān)鍵是證明互補(bǔ).通過(guò)證明這兩個(gè)角的正切值互補(bǔ)即可，再求正切值