概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試試卷(經(jīng),A卷)及參考答案

1、哈爾濱工業(yè)大學(xué)20172018年度第I學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試試卷(經(jīng),A卷)及參考答案一.填空題(每空兩分，共30分)1 .若A,B為隨機(jī)事件，且 P(A) 0,6, P(B A) 0.2.當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí),P(B) 0.5; A與B互不相容時(shí)，P(B) 0.2。2,若每次13t驗(yàn)時(shí) A發(fā)生的概率都是 0.2, X表示50次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，則 E(X) 10, Var(X) 8。3 .若隨機(jī)變量X只取 2,1之三個(gè)可能值，且P(X 2)0.15, P(X 1) 0,5。則E(X) 0.9, Var(X) 1.69。4 .若隨機(jī)變量XhX2相互獨(dú)立，且X1N(3, 32), X

2、2N(1, 22)。令X X 2X2, 則 E(X) J, Var(X) 25, P(X 1) = 0.5。1 n5.若X1, X2, ,Xn為抽自正態(tài)總體 N( , 2)的隨機(jī)樣本，記 X - X-n i 1c 1 nS2 (Xi X)2.則 4n(X)/ N(0,1),而(X)/MS2 n 1 i 1n n2tn 1, (n 1)S / n 1。進(jìn)一步，記Z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上分位2 一點(diǎn)，tm()為自由度為m的t分布上 分位點(diǎn)，m()為自由度為m的2分布上 分位點(diǎn)，m為自然數(shù)，01為常數(shù)。當(dāng)2已知時(shí)，的置信系數(shù)為1 的置信區(qū)間為2X ( /,n)Z /2,X ( /Mn)Z /2;當(dāng) 未知時(shí)

3、，的置信系數(shù)為1的置信區(qū)間為X (S/Jn)tn1( /2),X (S/Vn)tn 1( /2),2 的置信系數(shù)為 1的置信區(qū)間為2(n 1)S2n 1(/ 2)2(n 1)S223(1/ 2)注：做以下各題須寫出計(jì)算步驟，否則不能得分。計(jì)算題(共70分)1.(14分)盒中裝有8個(gè)乒乓球，其中有6個(gè)新的。第一次練習(xí)時(shí)，從中任取2個(gè)來(lái)用，用完后放回盒中。第二次練習(xí)時(shí)，再?gòu)暮兄腥稳?2個(gè)。(1) .求第二次取出的球都是新球的概率；(2) .求在第二次取出的球都是新球條件下，第一次取到的球都是新球的概率。解：設(shè)A表示第一次取到 i個(gè)新球，i 0,1,2； B表示第二次取到2個(gè)新球。則(1) .由全概

4、率公式，得2P(B) P(A)P(B|A)i 0c2c6 C52-c8rc82C2C c2 c2225784;(2) .由貝葉斯公式，得P(A2|B)P(A2)P(B| A2)P(B90/784225/7842. (15分)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x,y)Ax(x y), 0 x 2, |y| x,0,其他.(1) .確定常數(shù)A； (2).求X的邊緣概率密度函數(shù)fX(x)； (3).求E(X+Y).2x1解：(1).由 f (x, y)dxdy dx Ax(x y)dy 8A 1,得 A -；0x8(2) .fX (x)f (x, y)dyx(xy dy , 0 x 2;

5、x 84(3) .E(XY)(x y) f (x, y)dxdy2dx0x(x24162dx0x(x2y2)dyy2)dy153. （13分）若Xi,X2, ,Xn為抽自正態(tài)總體N（2,2）的簡(jiǎn)單樣本，求.2 .的矩估計(jì)；（2）.2 .的極大似然估計(jì)。解：（1）.由 EX 2 Var(X)_22(EX)4的矩估計(jì)為Xi2 1(2).建立似然函數(shù)cnL( ) i 12exp2)22取其對(duì)數(shù)后再對(duì)2求導(dǎo),令上式為零,4. (14 分)設(shè)隨機(jī)變量(1).Y的分布函數(shù)(2).(3).解：(1).(2).(3).4;(22)n/2expn(xi 2)2i 1d ln L(2)(xi 2)2, i 1n(

6、xii 12)2的極大似然估計(jì)為n(Xi2)2.x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Fy（y）；N(0,1),記 YY的概率密度函數(shù) fY（y）；Y的期望和方差。FY(y)fY(y)EYP(Y y)1y、2 e再由EY2Var(Y) EY2P(ey)P(X ln y)ln yx2 /2dx ；2(ln y)2/22xe0;x2/2 ,dx(EY)2 ,得1/2ex2/2 ,dx1 e(x1)2 /2 .1/2dx e ;(x 2)2/22 Rdx e及Var(Y) e2 e.5. (14分)對(duì)一批鎰的熔點(diǎn)做 5次測(cè)定，結(jié)果為1269,1267,1271,1263 和1265oC。若 鎰的熔點(diǎn)服從正態(tài)分布N( ,

7、 2),其中 和2為未知常數(shù)。對(duì)給定的檢驗(yàn)水平0.05,做假設(shè)檢驗(yàn)：(1) .H0：1266, H1:1266 ；(2) .Ho ： 24, H1: 2 4.附.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上 5%位點(diǎn)為1.645,上2.5%分位點(diǎn)為1.96;定義22 ,P tn tn( ), P n n()，有：t4(0.05) 2.1318, t4(0.025) 2.7764, t5(0.05) 2.0150, t5(0.025) 2,5706,2,_2_2_24 (0.025)11,143,4(0.05)9,488 ,4(0.95)0,711 ,2(0,975)0,484,2_ 22_2 一一5 (0.025)12,833 ,5 (0.05)11,071 ,5 (0.95)1,145,5 (0.975)0.831 .解：由 n 5,0.05, x11269, x2 1267, x5 1265 ,得_1 521 5_ 2x -xi 1267 , s一 (xi x) 10, s * 10 .5 i 14 i 1(1),因 1.0 |x 1266 |