圓中的分類討論

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上圓中的分類討論湖北省黃石市下陸中學宋毓彬由于圓中的點、線在圓中的位置分布可能有多種情況，經常會導致其答案的不唯一性。如：點與圓的位置關系，點可能在圓內，也可能在圓外；兩條弦的位置關系，可能在某一條直徑的同側，也可能在直徑的異側；圓與圓相切，可能外切，也可能內切，等等。因此，求解圓的有關問題時，要注意分類討論思想。 一、點與圓的位置關系不唯一性 例1.若所在O所在平面內一點P到O上的點的最大距離為a，最小距離為b（ab），則此圓的半徑為（   ）。 （A）   （B） &

2、#160;（C）或    （D）a+b或ab 分析：P可能在圓內，也可能在圓外。              圖11                      圖12  &

3、#160;P在圓內時。如圖11。 連接O、P所在的直線交O于A、B。 則PA=a，PB=b  直徑AB=PA+PB=a+b，半徑OA=OB=AB=（a+b） P在圓外時。如圖12。 此時直徑AB=PAPB=ab，半徑OA=OB=AB=（ab） 由可知，應選（C）。 二、弦與弦的位置關系不唯一性 例2.O的半徑為5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD之間的距離是（   ）。 （A）7cm    （B）8cm

4、   （C）7cm或1cm     （D1cm 分析：弦AB與CD可能在圓心的同側，也可能在圓心的異側。               圖21                  &#

5、160;      圖22 弦AB與CD在圓心的同側。如圖21。 過O作弦AB的垂線，交AB于M，交CD于N。連接OB，OD。 ABCD，OMAB，ONCD 由垂徑定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm 在RtBMO中，OM=4cm，同理ON=3cm MN= OMON=43=1 cm 弦AB與CD在圓心的異側。如圖22。 此時，MN=OM+ON=4+3=7cm      

6、;  故選（C）。 例3如圖，已知AB是O的直徑，AC是O的弦，AB=2，AC=，在圖中畫出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度數。 分析：弦AC與弦AD可能在直徑AB的同側，可能在直徑AB的異側。  弦AC與弦AD在直徑AB的同側。如圖31。 連OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC= OC+OD=AC AOC=90°，CAO=ACO=45° 又OA=OD=AD，DAO=60° DAC=DAOCAO=15° 弦AC與弦AD在直徑A

7、B的異側。 此時，DAC=DAO+CAO=115° 三、點在直徑上的位置不唯一性 例4已知O的直徑AB=10cm，弦CDAB于點于點M。若OM：OA=3：5，則弦AC的長為多少？ 分析：垂足M可能在半徑OA上，也可能在半徑OB上。  M在半徑OA上。如圖41。 連接OC。OC=OA=AB=5cm，  又OM：OA=3：5，OM=3cm AB是直徑，弦CDAB     在RtOMC中，  MC=4cm 又AM=OAOM

8、=2cm 在RtAMC中，AC=2（cm） M在半徑OB上。如圖42. 此時，AM=OA+OM=8cm AC=4（cm） 四、弦所對圓周角的不唯一性 例5圓的一條弦長等于它的半徑，那么這條弦所對的圓周角為（   ）。 30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°（A）       （B）     &#

9、160;分析：弦（不是直徑）所對的弧有兩條，一條優(yōu)弧，一條劣弧， 因此，一條弦所對的圓周角也有兩個，并且這兩個圓周角互補。 如圖5。劣弧所對的角為ACB，優(yōu)弧所對的角為ADB。  由AB=0A=OB，AOB=60° ACB=AOB=30° ADB=（360°AOB）=（360°60°）=150°   故選（D） 五、圓與圓的位置關系不唯一性 例6如果兩圓相切，兩圓的圓心距為8cm，圓A的半徑為3cm，則圓B的半徑是（ 

10、;  ）。 5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm（A）       （B）      分析：圓與圓相切，可能是內切，也可能是外切。              兩圓外切。如圖61。AB=8+3=11cm 兩圓內切。如圖62。AB=83=5cm    故選（D） 六、相交圓圓心與公共弦的位置關系不唯一性 例7已知相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長6cm，則這兩個圓的圓心距為           。 分析：兩圓圓心可能在公共弦的同側，也可能在公共弦的異側。    圓心在公共弦的異側。如圖71。 連接OA，OA。由圓的對稱性，O O垂直平分公共弦AB。 AD